긴 코드(수학)

수학 논리학
분류
유형	블록코드
블록 길이	${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$ $일부$ n${\displaystyle }$n ${\displaystyle N\mathbb{}}${\$displaystyle n\in \mathb {N}}$
메시지 길이	${\displaystyle \log n}$
알파벳 크기	${\displaystyle 2}$
표기법	${\displaystyle ({2n}^{}}$, ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n{}_{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}} -code$$
v t

이론 컴퓨터 과학과 코딩 이론에서 긴 코드는 국소적으로 해독할 수 있는 오류 수정 코드다. 긴 코드는 비율이 극히 낮지만 근사치 경도 이론에 근본적인 역할을 한다.

정의

Let ${\displaystyle f_{1},\dots ,f_{2^{n}}:\{0,1\}^{k}\to \{0,1\}}$ for ${\displaystyle k=\log n}$ be the list of all functions from ${\displaystyle \{0,1\}^{k}\to \{0,1\}}$. Then the long code encoding of a message ${\displaystyle x\in \{0,1{\}}^{}}$${\displaystyle x\in \{0,1\}^{k}}$ is the string ${\displaystyle f_{1}(x)\circ f_{2}(x)\circ \dots \circ f_{2^{n}}(x)}$ where ${\displaystyle \circ }$ denotes concatenation of strings. 이 문자열의 길이는 ${\displaystyle {2n}^{}}$= ${\displaystyle {{2k}^{}}^{}}$ ${\$ 입니다$.$

월시-하다마드 코드는 긴 코드의 하위 코드로, 유한한 필드에서 F$$$$2k${\displaystyle {}_{}^{}}$→ F ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}$ ${\$\mathb {$F} _{2}}}}}{$2}} 함수 $f$ ${\$ f_{$i}}$만 사용하여 얻을 수 있다. 그런$$ 기능이 ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\$ 2$^{k}$밖에 없기 때문에 월시-하다마드 코드의 블록 길이는 ${\displaystyle {2k}^{}}$ ${\$ 2$^{k}}$이다$.$

롱 코드의 등가 정의는 다음과 같다. The Long code encoding of ${\displaystyle j\in [n]}$ is defined to be the truth table of the Boolean dictatorship function on the ${\displaystyle j}$th coordinate, i.e., the truth table of ${\displaystyle f:\{0,1\}^{n}\to \{0,1\}}$ with ${\disp$$레이스타일 f(x_{1},\filename,x_{n}=x_{j$^[1] 따라서 Long 코드는 a${\displaystyle }$( ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle n}$) ${\displaystyle (\log n)}$ -bit$$ 문자열을 ${\displaystyle {2n}^{}}$ ${\$ -bit$$ 문자열로 인코딩한다.

특성.

${\displaystyle {긴}_{}}$ 코드는 반복을 포함하지 않는다. $출력물$의 i ${\displaystyle f_$${i$$}$ 비트를$$ 계산하는$$ $함수{\displaystyle {}_{}}$ f ${\$가 $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle j}$ 비트를 계산하는$$ ${\displaystyle {함수}_{}}$ $f{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle$ j$}$과 다르다는 점에서 $.$반복을 포함하지 않는 모든 코드는 긴 코드는 가능한 가장 긴 출력을 가진다. 더욱이 서브코드로서 모든 비반복 코드를 포함하고 있다.

참조