랴푸노프 방정식

제어 이론에서 이산 랴푸노프 방정식은 형태다.

AXA^{H}-X+Q=0

여기서 $Q$ $Q$ 은 $Q$ (는) 은둔자 행렬이고 $A^{H}$ $A^{H}$ ${\$ A $^{$ $H}}$ 은 $A^{H}$ (는 $)$ A {\ $displaystyle A}$ 의 결합 전치물이다 $A$

연속 랴푸노프 방정식은 형식이다.

{\displaystyle AX+XA^{

H}+Q=0}

.

랴푸노프 방정식은 안정성 분석과 최적 제어와 같은 제어 이론의 많은 부분에서 발생한다. 이와 관련된 방정식은 러시아의 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 따서 명명되었다.^[1]^[2]

안정성 적용

$다음$ 이론에서 $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ , Q $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ∈ $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ $A,P,Q\in \mathbb {R} ^{n\times n}$ ${\$ , P ${\displaystyle$ $P$ $}$ $및$ Q $P$ ${\displaystyle$ Q $}$ 은 $Q$ 대칭이다. $P>0$ P $P>0$ > 0 $P>0$ 은 행렬 $P$ $P$ 이 $P$ (가) 양수 확정임을 의미한다 $P>0$ .

정리(연속 시간 버전). $Q>0$ > $Q>0$ ${\displaystyle$ Q $>0}$ 이 $Q>0$ 가) 있을 경우, $A^{T}P+PA+Q=0$ T $A^{T}P+PA+Q=0$ + $A^{T}P+PA+Q=0$ $A^{T}P+PA+Q=0$ + Q $A^{T}P+PA+Q=0$ = $A^{T}P+PA+Q=0$ ${\displaystyle A^{T}P+$ 를 충족하는 $P>0$ 고유한 $P>0$ > $P>0$ ${\displaystyle$ P $>0}$ 이(가) 있다. $PA$ + ${\dot {x}}=Ax$ =0 $}($ 선형 시스템 x ${\dot {x}}=Ax$ ${\dot {x}}=Ax$ ${\dot {x}}=Ax$ ${\dot {x}}=Ax$ ${\dot$ 스타일 {\ $dot{x}}}=$ $인$ 경우에만 $A^{T}P+PA+Q=0$ 해당 $)$ $Ax}$ 은(는) 전 세계적으로 증상이 없을 정도로 안정적이다 ${\dot {x}}=Ax$ . $V(x)=x^{T}Px$ 함수 $V(x)=x^{T}Px$ x $V(x)=x^{T}Px$ ) $V(x)=x^{T}Px$ = $V(x)=x^{T}Px$ T $V(x)=x^{T}Px$ $V(x)=x^{T}Px$ $V(x)=x^{T}Px$ 는 안정성을 검증하는 데 사용할 수 있는 랴푸노프 함수다 $V(x)=x^{T}Px$ .

정리(구체적인 시간 버전). Given any $Q>0$ , there exists a unique $P>0$ satisfying $A^{T}PA-P+Q=0$ if and only if the linear system ${\displaystyle x_{t+1}=$ $Ax_{t}}$ 는 전 세계적으로 증상이 없을 정도로 안정적이다 $x_{t+1}=Ax_{t}$ . 전과 같이 $x^{T}Px$ $x^{T}Px$ $x^{T}Px$ $x^{T}Px$ $x^{T}Px$ 는 랴푸노프 함수다 $x^{T}Px$ .

솔루션의 계산 측면

랴푸노프 방정식 해결을 위한 전문 소프트웨어를 이용할 수 있다. 이산 케이스의 경우 키타가와 스쿠르 방법이 자주 사용된다.^[3] 연속 랴푸노프 방정식의 경우 바텔스와 스튜어트의 방법을 사용할 수 있다.^[4]

분석용액

Defining the vectorization operator $\operatorname {vec} (A)$ as stacking the columns of a matrix $A$ and $A\otimes B$ as the Kronecker product of $A$ and $B$ , the continuous time and discrete time Lyapunov equations 행렬 방정식의 해법으로 표현될 수 있다. 나아가 매트릭스 $A$ $A$ 이(가) 안정적이라면 $A$ 용액은 적분(연속 시간 사례) 또는 무한 합계(구체 시간 사례)로도 표현할 수 있다.

이산 시간

$\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ ( $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ B $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ ) $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ = ( $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ A $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ ) $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ ( B $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ ) $\operatorname {vec$ (ABC $)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)}$ 결과를 사용하여 을 $\operatorname {vec} (ABC)=(C^{T}\otimes A)\operatorname {vec} (B)$ 를) 갖게 된다.

{\displaystyle(I_{n^{2}}-{\bar {A}\otimes A)\operatorname {vec}(X)=\operatorname {vec}(Q)}

where $I_{n^{2}}$ is a conformable identity matrix and ${\bar {A}}$ is the element-wise complex conjugate of $A$ .^[5] One may then solve for $\operatorname {vec} (X)$ by inverting or solving the linear equations. $X$ $X$ 을 $X$ 를) 얻으려면 $\operatorname {vec} (X)$ $\operatorname {vec} (X)$ ( $\operatorname {vec} (X)$ X $\operatorname {vec} (X)$ ) $\operatorname {vec}(X)$ 을(를) 적절하게 $\operatorname {vec} (X)$ 다시 구성해야 한다.

또한 $A$ $A$ 이(가) 안정적이라면 $A$ $솔루션$ X $X$ 도 다음과 같이 쓸 수 있다 $X$ .

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

=

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

=

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

Q

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

(

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

H

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

)

X=\sum _{k=0}^{\infty }A^{k}Q(A^{H})^{k}

{\

For comparison, consider the one-dimensional case, where this just says that the solution of $(1-a^{2})\,x=q$ is ${\textstyle x={\frac {q}{1-a^{2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }q\,a^{2k}}$ .

연속시간

Kronecker 제품 표기법과 벡터화 연산자를 다시 사용하여 행렬 방정식을 갖게 된다.

{\displaystyle(I_{n}\otime A+{\bar {A}\otime I_{n}\operatorname {vec}X=-\operatorname {vec} Q,}

여기서 ${\bar {A}}$ 는 ${\bar {A}}$ $displaystyle$ ${\bar$ { $A}$ 의 $A$ 을 복합적으로 결합하여 얻은 행렬을 ${\bar {A}}$ 의미한다 $A$

이산형 시간 사례와 마찬가지로 $A$ $A$ 이 $A$ (가) 안정적이라면 $솔루션$ X $X$ 도 다음과 같이 쓸 수 있다 $X$ .

X=\int _{0}^{\infty }{e}^{A\,\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\,\tau }d\tau

H}\,\tau }d\tau

X=\int _{0}^{\infty }{e}^{A\,\tau }Q\mathrm {e} ^{A^{H}\,\tau }d\tau

For comparison, consider the one-dimensional case, where this just says that the solution of $2\,a\,x=-q$ is ${\textstyle x={\frac {-q}{2\,a}}=\int _{0}^{\infty }q\,{e}^{2a\tau }d\tau }$ .

이산 리아푸노프 방정식과 연속 리아푸노프 방정식의 관계

연속 시간 선형 역학부터 시작합시다.

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x}

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x}

=

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x}

{\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {A} \mathbf {x}

{\

그리고 다음과 같이 탈피한다.

{\dot스타일 {\dot {\mathbf {x}}}}}}\약간 {\frac {\mathbf {x} _{t+1}-\mathbf {x} _{t}{\mathbf }}}}}

여기서 $\delta >0$ > $\delta >0$ $\delta >0$ 은 시간의 작은 전방 변위를 나타낸다 $\delta >0$ . 아래쪽 방정식을 위쪽과 바깥쪽으로 섞은 용어로 대체하면 $\mathbf {x} _{t+1}$ $\mathbf {x} _{t+1}$ + $\mathbf {x} _{t+1}$ 1 {\displaystyle \ $mathbf$ {x} $_{$ t+1}에 대한 이산 시간 방정식을 얻을 수식: x $\mathbf {x} _{t+1}$ + 1 {\ $displaystyle$ \mathbf ${x}$ _{t+1 $\mathbf {x} _{t+1}$

$\mathbf {x} _{t+1}=\mathbf {x} _{t}+\delta \mathbf {A} \mathbf {x} _{t}=(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )\mathbf {x} _{t}=\mathbf {B} \mathbf {x} _{t}$

$\mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A}$ 서 B $\mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A}$ I $\mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A}$ + $\mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A}$ A ${\$ 을(를) 정의했다 $\mathbf {B} \equiv \mathbf {I} +\delta \mathbf {A}$ $\mathbf {B}$ B ${\$ 에 대해 이산 시간 랴푸노프 방정식을 사용할 수 있다 $\mathbf {B}$

$\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} -\mathbf {M} =-\delta \mathbf {Q}}$

$\mathbf {B}$ ${\$ 에 대한 정의를 입력하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다 $\mathbf {B}$

${\displaystyle(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )^{T}\mathbf {M}(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A})-\mathb =-\delta \mathbf {Q}}}}$

이 식을 확장하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

$(\mathbf {M} +\delta \mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} )(\mathbf {I} +\delta \mathbf {A} )-\mathbf {M} =\delta (\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {M} \mathbf {A} )+\delta ^{2}\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} \mathbf {A} =-\delta \mathbf {Q}$

$\delta$ $\delta$ 이(가) 시간의 작은 변위라는 $\delta$ 것을 기억하십시오. $\delta$ $\delta$ 을(를) 0으로 설정하면 $\delta$ 지속적인 역학 관계를 유지하는 데 점점 더 가까워지며, 이를 달성하는 한계에 도달하게 된다. 우리가 또한 한계에서 연속시간 랴푸노프 방정식을 회복해야 한다는 것은 이치에 맞다. 양쪽에서 $\delta$ $\delta \to 0$ $\delta$ 로 나눈 다음 Δ $\delta \to 0$ → 0 ${\displaystyle \delta$ \delta \ $to 0}$ 으로 나누면 다음과 같은 것을 $\delta \to 0$ 알 수 있다.

$\mathbf {A} ^{T}\mathbf {M} +\mathbf {A} \mathbf {Q} \mathbf {Q}$

원하는 대로 연속 시간 랴푸노프 방정식이지

참고 항목

참조

^ Parks, P. C. (1992-01-01). "A. M. Lyapunov's stability theory—100 years on *". IMA Journal of Mathematical Control and Information. 9 (4): 275–303. doi:10.1093/imamci/9.4.275. ISSN 0265-0754.
^ Simoncini, V. (2016-01-01). "Computational Methods for Linear Matrix Equations". SIAM Review. 58 (3): 377–441. doi:10.1137/130912839. hdl:11585/586011. ISSN 0036-1445.
^ Kitagawa, G. (1977). "An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S". International Journal of Control. 25 (5): 745–753. doi:10.1080/00207177708922266.
^ Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972). "Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C". Comm. ACM. 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.
^ Hamilton, J. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.

[1] Parks, P. C. (1992-01-01). "A. M. Lyapunov's stability theory—100 years on *". IMA Journal of Mathematical Control and Information. 9 (4): 275–303. doi:10.1093/imamci/9.4.275. ISSN 0265-0754.

[2] Simoncini, V. (2016-01-01). "Computational Methods for Linear Matrix Equations". SIAM Review. 58 (3): 377–441. doi:10.1137/130912839. hdl:11585/586011. ISSN 0036-1445.

[3] Kitagawa, G. (1977). "An Algorithm for Solving the Matrix Equation X = F X F' + S". International Journal of Control. 25 (5): 745–753. doi:10.1080/00207177708922266.

[4] Bartels, R. H.; Stewart, G. W. (1972). "Algorithm 432: Solution of the matrix equation AX + XB = C". Comm. ACM. 15 (9): 820–826. doi:10.1145/361573.361582.

[5] Hamilton, J. (1994). Time Series Analysis. Princeton University Press. Equations 10.2.13 and 10.2.18. ISBN 0-691-04289-6.

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