MacRobert E 함수

수학에서 E-기능은 토마스 머레이 맥로버트(1937–1938)에 의해 도입되어 일반화된 초기하계 시리즈 F_q(·)를 사례 p > q + 1까지 확장시켰다.기본적인 목적은 그 때까지 알려진 특수 기능의 대부분을 포함하는 매우 일반적인 기능을 정의하는 것이었다.그러나 이 함수는 마이어 G함수의 면에서는 항상 표현할 수 있는 반면, 그 반대는 사실이 아니므로 문학에 큰 영향을 미치지 못했기 때문에 G함수는 여전히 보다 일반적인 성질의 것이다.이는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle E(p;\alpha _{r};\rho _{s};z)\equiv {\frac {\Gamma (\alpha _{q+1})}{\prod _{k=1}^{q}\Gamma (\rho _{k}-\alpha _{k})}}\prod _{\mu =1}^{q}\int _{0}^{\infty }\lambda _{\mu }^{\rho _{\mu }-\alpha _{\mu }-a}(\lambda _{\mu }+1)^{-\rho _{\mu }}d\lambda _{\mu }\prod _{\nu =2}^{p-q-1}\int _{0}^{\infty }\lambda _{q+\nu }^{\alpha _{q+\nu }-1}\exp(-\lambda _{q+\nu })d\lambda _{q+\nu }\int _{0}^{\infty }\lambda _{p}^{\alpha _{p}-1}\exp(-\lambda _{p})\left[{\frac {\prod _{k=q+2}^{p}\lambda _{k}}{z\prod _{k=1}^{q}\lambda _{k}+1}}+1\right]d\lambda _{p}}$

정의

MacRobert E-기능을 정의하는 방법에는 여러 가지가 있다. 일반화된 초기하 함수의 정의는 다음과 같다.

• p ≤ q와 x ≠ 0 또는 p = q + 1과 x > 1인 경우:

$E\ 디스플레이 스타일 E\Displaystyle E\!\왼쪽(\왼쪽){\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,x\right)={\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j})}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j})}}\;_{p}F_{q}\!\왼쪽(\왼쪽)\\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \,-x^{1}\오른쪽)}$

• p ≥ q + 2 또는 p = q + 1 및 x < 1:

$E\ 디스플레이 스타일 E\Displaystyle E\!\왼쪽(\왼쪽){\begin{matrix}\mathbf {a_{p}} \\\mathbf {b_{q}} \end{matrix}}\;\right \,x\right)=\sum _{h=1}^{p}{\frac {\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a_{j}-a_{h})^{*}}{\prod _{j=1}^{q}\Gamma (b_{j}-a_{h})}}\Gamma (a_{h})\;x^{a_{h}}\;_{q+1}F_{p-1}\!\왼쪽(\왼쪽){\begin{matrix}a_{h},1+a_{h}-b_{1},\dots ,1+a_{h}-b_{q}\\1+a_{h}-a_{1},\dots ,*,\dots ,1+a_{h}-a_{p}\end{matrix}}\;\right \,(-1)^{p-q}\;x\right).}$

여기 별표는 다음과 같이 지수 j = h를 사용한 기여를 무시하도록 상기시킨다.제품에서 이는 γ(0)을 1로 대체하는 것과 같으며, 초기하 함수의 인수에서는 벡터 길이를 p에서 p - 1로 단축하는 것이다. 명백하게, 이 정의는 p와 q의 모든 값을 포함한다.

마이어 G-기능과의 관계

MacRobert E-function은 항상 Meijer G-function으로 표현할 수 있다.

$E\ 디스플레이 스타일 E\Displaystyle E\!\왼쪽(\왼쪽)\\mathbf {a_{p}\\\mathbf {b_{q}}\end{b}\\오른쪽 \x\오른쪽)=G_{q+1,\,p}^{\,p,\,1}\!\왼쪽(\왼쪽){\\mathbf{b_{q}}\\\\mathbf {a_{p}}\end{nd}\\오른쪽 \x\오른쪽)}$

매개변수 값이 제한되지 않는 경우, 즉 이 관계는 예외 없이 유지된다.

참조

• Andrews, L. C. (1985). Special Functions for Engineers and Applied Mathematicians. New York: MacMillan. ISBN 0-02-948650-5.
• Erdélyi, A.; Magnus, W.; Oberhettinger, F. & Tricomi, F. G. (1953). Higher Transcendental Functions (PDF). Vol. 1. New York: McGraw–Hill. (§ 5.2, "E-Function의 정의", 페이지 203 참조)
• Gradshteyn, Izrail Solomonovich; Ryzhik, Iosif Moiseevich; Geronimus, Yuri Veniaminovich; Tseytlin, Michail Yulyevich; Jeffrey, Alan (2015) [October 2014]. "9.4.". In Zwillinger, Daniel; Moll, Victor Hugo (eds.). Table of Integrals, Series, and Products. Translated by Scripta Technica, Inc. (8 ed.). Academic Press, Inc. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN 2014010276.
• MacRobert, T. M. (1937–38). "Induction proofs of the relations between certain asymptotic expansions and corresponding generalised hypergeometric series". Proc. Roy. Soc. Edinburgh. 58: 1–13. JFM 64.0337.01.
• MacRobert, T. M. (1962). "Barnes integrals as a sum of E-functions". Mathematische Annalen. 147 (3): 240–243. doi:10.1007/bf01470741. S2CID 121048026. Zbl 0100.28601.

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "MacRobert's E-Function". MathWorld.