마팅게일 중심 한계 정리

확률론에서 중심 한계정리는 특정 조건 하에서, 적절히 확장되었을 때, 분포에서 표준 정규 분포로 수렴되는 많은 독립적으로 동일한 분포의 많은 독립된 무작위 변수의 합은 표준 정규 분포로 수렴된다. 마팅게일 중심 한계정리는 공정의 값 변화가 시간 t에서 시간 t + 1로 기대치가 0인 확률적 공정인 마팅게일에 대한 무작위 변수에 대해 이 결과를 일반화하며, 이전 결과에 대해서도 조건화한다.

성명서

여기 마팅게일 중앙 한계 정리를 간단히 설명한 것이 있다. $X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$… ${\$을(를) 경계 증분 증분이 있는 마팅게일로$$ 두십시오. 즉, 다음과 같다.

${\displaystyle \operatorname {E} [X_{t+1}-X_{t}\vert X_{1},\dots,X_{t}]=0\}$

그리고

${\displaystyle X_{t+1}-X_{t} \leq k}$

거의 확실히 고정된 K와 모든 t에 대해. ${\displaystyle 또한{}_{}}$ X ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \le {}_{}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X_{1} \leq k}$이(가) 거의$$ 확실하다고 가정하십시오.

정의

${\displaystyle \sigma _{t}^{2}=\operatorname {E}[(X_{t+1}-X_{t})^{2} X_{1},\ldots ,X_{t},},}$

그리고 내버려두다

${\displaystyle \tau _{\nu }=\min \left\{t:\sum _{i=1}^{t}\chma _{i}^{2}}\geq \nu \right\}}.}$

그러면

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{\nu }}{\sqrt{\nu }}}}{\sqrt {\nu }}}}}}}$

평균이 0인 정규 분포로 수렴하고 분산 1은 $\nu {\displaystyle }$→ +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\$ $\backslash !\}.$ 보다 분명히,

${\displaystyle \lim _{\nu \to +\inflit }\operatorname {P} \좌측({\frac {X_{\tau _{\nu }}}{\sqrt{\nu }}}}}<x\rig)=\Phi (x)={\frac{1}{\sqrt{2\pi}}}\int_{-\nflac{u^{2}}\오른쪽)\,du,\quad x\in \mathb {R}}}}$

분산 합계는 무한대로 분산되어야 한다.

위의 결과에 대한 진술은 무한대에 대한 분산 합계를 암묵적으로 가정하므로, 다음은 확률 1을 가지고 있다.

${\displaystyle \sum \{t=1}^{\inful }\infully }{t}^{2}=\infully }$

이렇게 하면 확률 1로 다음을 보장할 수 있다.

${\displaystyle \tau _{v}<\flothy,\all v\geq 0}$

예를 들어, 이 조건은 거의 확실히 항상 0으로 정의된 마팅게일에 의해 위반된다.

결과에 대한 직관

그 결과는 다음과 같은 합으로 비율을 적음으로써 직관적으로 이해할 수 있다.

${\displaystyle {\frac {X_{\tau _{v}}}{\sqrt {v}}}={\frac {X_{1}}{\sqrt {v}}}+{\frac {1}{\sqrt {v}}}\sum _{i=1}^{\tau _{v}-1}(X_{i+1}-X_{i}),\forall \tau _{v}\geq 1}$

오른쪽 측면의 첫 번째 항은 무증상적으로 수렴되는 반면, 두 번째 항은 보다 간단한 i.i.d. 랜덤 변수의 경우 중심 한계 정리를 위한 합계 공식과 질적으로 유사하다. 위의 표현에 있는 용어들이 반드시 I.i.d는 아니지만 상관관계가 없고 평균이 0이다. 실제로:

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})]=0,\\all i\in \{1,2,3,...\}}$

${\displaystyle E[(X_{i+1}-X_{i})(X_{j+1}-X_{j})=0,\\neq j,i,j\in \{1,2,3,...\}}$

참조

마팅게일 중심 한계 정리의 다른 많은 변형들은 다음에서 찾을 수 있다.

• Hall, Peter; C. C. Heyde (1980). Martingale Limit Theory and Its Application. New York: Academic Press. ISBN 0-12-319350-8.
• 거기서 정리 5.4와 Corolarary 5.3(ii)의 정확한 형식에 대한 논의는 다음을 참조한다.