텐서 재형성

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다중선 대수학에서 텐서 재구성은 ${\displaystyle }$ d ${\displaystyle$d}텐서$$ 집합과 ${\displaystyle }$ $【\displaystyle \ell$\d}텐서$$ 집합 사이의 어떤 편향이다. 여기서 【 $[\displaystyle \ell \d$지수의 사용은 기준과 관련하여 좌표 표현에서 텐셔너를 전제로 한다.텐서의 좌표 표현은 다차원 배열로 간주될 수 있으며, 따라서 한 지수의 집합에서 다른 지수로의 편향은 배열 요소를 다른 형태의 배열로 재배열하는 것이다.이러한 재배열은 ${\displaystyle }$ d ${\displaystyle d}$ 텐서의$$ 벡터 공간과 순서 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle \ell}$ 텐서$$ 사이의 특정한 종류의 선형 지도를 구성한다.

정의

양의 정수 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$을$($를) 지정하면${\displaystyle }$[${\displaystyle d}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [d]$라는 표기법은 첫 번째 d 양의 정수 중$$${\displaystyle }${ ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle d}$} ${\displaystyle$\{$1,\dots,d\}}$의 집합을 가리킨다$$.

$양$의 정수 d ${\displaystyle d}$에 대해 $1{\displaystyle \mathrm{}}$$³{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle$ 1\\$leq k\leq d}$인 각 정수 k {\displaystyle d$}$에 대해$$V는_k $필드{\displaystyle }$ F ${\displaystystyle F}$ 위에 n차원_k 벡터 공간을 표시하도록 한다$.$ 그러면 벡터 공간 이형성(선형 맵)이 있다.

여기서 $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$는 모든 순열이며, $S{\displaystyle {\mathfrak{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\${\$mathfrak${S$}_{d}}}$는 d ${\displaystyd} 요소$의 대칭 그룹이다.이러한 (및 다른) 벡터 공간 이소모르픽스를 통해 텐서(tensor)는 여러 가지 방식으로 해석될 수 있다$.$ $여기$서${\displaystyle }$or$$ d ${\displaystyle \ell$$$$\leq d$

좌표 표현

The first vector space isomorphism on the list above, ${\displaystyle V_{1}\otimes \cdots \otimes V_{d}\simeq F^{n_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}}$, gives the coordinate representation of an abstract tensor.$각{\displaystyle }$ d$${\$displaystyle$ d$}$ 벡터$$ $공간{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle V_{}}$ k$${\$displaystyle V_{$${\displaystyle {}_{}^{}}$$},$${\displaystyle }$v ${\displaystyle {n{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ $}${$n_{1}^{k}, v_{2}^{k}}, v_{n_{k$^{k}}}}}}, v_${$n_}}}}:{k$$$\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}\}.$이 기준에 대한 텐서(tensor)의 표현은 형식을 가지고 있다.

${\displaystyle {여기}_{}}$서 계수 $a{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}_{}}$,${\displaystyle {{}_{}{}_{}}_{}}$ 2 ${\displaystyle {\dots ,}_{}}$j ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\$}}은$($는) $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$의 요소입니다$.$ $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 좌표 표현은 다음과$$ 같다. where ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}^{k}}$ is the ${\displaystyle j^{\text{th}}}$standard basis vector of ${\displaystyle F^{n_{k}}}$. This can be regarded as a d-dimensional array whose elements are the coefficients ${\displaystyle a_{j_{1},j_{2},\$$ldots,j_{d}}}$.

벡터화

By means of a bijective map ${\displaystyle \mu :[n_{1}]\times \cdots \times [n_{d}]\to [n_{1}\cdots n_{d}]}$, a vector space isomorphism between ${\displaystyle F^{n_{1}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{d}}}$ and ${\disp$$laystyle F^{n_{1}\cdots n_{d}}}$ is constructed via the mapping ${\displaystyle \mathbf {e} _{j_{1}}^{1}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{j_{d}}^{d}\mapsto \mathbf {e} _{\mu (j_{1},j_{2},\ldots ,j_{d})},}$ where for every natural number ${\displaystyle j}$${\displaystyle j}$ such that ${\displaystyle 1\leq j\leq n_{1}\cdots n_{d}}$, the vector ${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$ denotes the jth standard basis vector of ${\displaystyle F^{n_{1}\cdots n_{d}}}$. In such a reshaping, the tensor is simply interpreted as a vect또는 F ${\displaystyle {n{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {d_{}}^{}}$ ${\$에 $.$이것을 벡터화라고 하며, 행렬의 벡터화와 유사하다.바이어스 $[\displaystyle \mu }$의 표준 선택은 다음과$$ 같다.

${\displaystyle \operatorname {vec}({\mathcal{A}):={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},1,\ldots ,1}&a_{1,2,1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{d}}\end{bmatrix}}^{T},}$

Matlab과 GNU 옥타브의 콜론 운영자가 고차 텐서를 벡터로 재구성하는 방식과 일치한다.일반적으로 $A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$${\displaystyle {\mathrm{mathcal}}_{}}$ ${A}$의 벡터화는 벡터$$${\displaystyle }$[${\displaystyle {{\mathrm{1\mu }}^{}}_{}}$- 1 (${\displaystyle {{}^{}}_{}}$j${\displaystyle {}_{}{}_{}^{}}$)${\displaystyle j_{}^{}}$ = ${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}{n}_{}}_{}^{}}$ d ${\$

일반 평탄화

For any permutation ${\displaystyle \pi \in {\mathfrak {S}}_{d}}$ there is a canonical isomorphism between the two tensor products of vector spaces ${\displaystyle V_{1}\otimes V_{2}\otimes \cdots \otimes V_{d}}$ and ${\displaystyle V_$${\pi (1)}\otimes V_{\pi (2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (d)}}$. Parentheses are usually omitted from such products due to the natural isomorphism between ${\displaystyle V_{i}\otimes (V_{j}\otimes V_{k})}$ and ${\displaystyle (V_{i}\otimes V_{j})\otimes V_{k}}$, but may물론 특정 요인 그룹을 강조하기 위해 다시 도입해야 한다.그룹화에서

${\displaystyle (V_{\pi (1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{1})})\otimes (V_{\pi (r_{1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{2})})\otimes \cdots \otimes (V_{\pi (r_{\ell -1}+1)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{\ell })}),}$

$j$ ${\displaystyle {\text{th}}^{}}$ ${\$$^{\$$data.{$$j}-r_{$j-1}} 그룹에 r j$$- r - $r_{$$j-1$}-{$j-1$}:{j-1}:{j-1$}:{$$j-1$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {인자}_{}}$가 있는$$$\ell {\displaystyle }$ ${\$$displaystystyle r_$${0$$0$$}$ 및 $r$ $ℓ$= ${\d$}}}.$$

Letting ${\displaystyle S_{j}=(\pi (r_{j-1}+1),\pi (r_{j-1}+2),\ldots ,\pi (r_{j}))}$ for each ${\displaystyle j}$ satisfying ${\displaystyle 1\leq j\leq \ell }$, an ${\displaystyle (S_{1},S_{2},\ldo$$ts ,S_{\ell })}$-flattening of a tensor ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$, denoted ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1},S_{2},\ldots ,S_{\ell })}}$, is obtained by applying the two processes above within each of the ${\displaystyle \ell }$ groups of factors.That is, the coordinate representation of the ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ group of factors is obtained using the isomorphism ${\$$displaystyle (V_{\pi (r_{j-1}+1)}\otimes V_{\pi (r_{j-1}+2)}\otimes \cdots \otimes V_{\pi (r_{j})})\simeq (F^{n_{\pi (r_{j-1}+1)}}\otimes F^{n_{\pi (r_{j-1}+2)}}\otimes \cdots \otimes F^{n_{\pi (r_{j})}})}$, which requires specifying bases for all of the vector spaces ${\displaystyle V_{k}}$.The result is then vectorized using a bijection ${\displaystyle \mu _{j}:[n_{\pi (r_{j-1}+1)}]\times [n_{\pi (r_{j-1}+2)}]\times \cdots \times [n_{\pi (r_{j})}]\to [N_{S_{j}}]}$ to obtain an element of ${\displaystyle F^{N_{S_{}}}}$${\displaystyle F^{N_{S_{j}}}}$, where ${\displaystyle N_{S_{j}}:=\prod _{i=r_{j-1}+1}^{r_{j}}n_{\pi (i)}}$, the product of the dimensions of the vector spaces in the ${\displaystyle j^{\text{th}}}$ group of factors.The result of applying these isomorphisms within each group of factors is an element of ${\displaystyle F^{N_{S_{1}}}\otimes \cdots \otimes F^{N_{S_{\ell }}}}$, which is a tensor of order ${\displaystyle \ell }$.

The vectorization of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is an ${\displaystyle (S_{1})}$-reshaping, ${\displaystyle {\mathcal {A}}_{(S_{1})}}$ wherein ${\displaystyle S_{1}=(1,2,\ldots ,d)}$.

모체화

$A{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {n{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{1\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ n ${\displaystyle {{2\mathrm{}}_{}}^{}}$ ${\displaystyle \otimes }$ ${\displaystyle {n{}_{}}^{}}$ F ${\displaystyle {n_{}}^{}}$d {\$displaystyle$ {\$mathcal{A$}\$in$ F$^{1}}\otimes$F^{$n_{2}}\cdots \otimes$F^{$n_{$d}}}}}}을(를) 기준으로 추상 시제의 좌표가 되도록$$ 한다.A standard factor-k flattening of ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ is an ${\displaystyle (S_{1},S_{2})}$-reshaping in which ${\displaystyle S_{1}=(k)}$ and ${\displaystyle S_{2}=(1,2,\ldots ,k-1,k+1,\ldots ,d)}$. Usually, a standard평탄화는 에 의해 표시된다.

${\displaystyle {\mathcal{A}_{(k)}:={\mathcal {A}_{(S_{1},S_{2}}}}}}}}}}}}}}$

이러한 재구성은 문헌상으로는 때때로 성숙 또는 전개라고 불린다.바이어스 ${\displaystyle {\mu \mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{\mu \mathrm{}}_{}}$ 2 ${\$}에 대한 표준 선택은 Matlab 및 GNU 옥타브의 재형성 기능과 일치하는 선택이다$$.

${\displaystyle{{A\mathcal}}_{(k)}:={\begin{bmatrix}a_{1,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&, a_{2,1,\ldots ,1,1,1,\ldots ,1}&, \cdots, a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k-1},1,n_{k+1},\ldots}\\a_{1,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}& ,n_{d}, a_{2,1,\ldots ,1,2,1,\ldots ,1}&, \cdots &, a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k-1},2,n_{k+1},\ldots ,n_{d}&}\\\vdots, \vd &.ots&&\vdots{1,1,\ldots \\a_,1,n_{k},1,\ldots ,1}&a_{2,1,\ldots ,1,n_{k},1,\ldots ,1}&\cdots &a_{n_{1},n_{2},\ldots ,n_{k-1},n_{k},n_{k+1},\ldots ,n_{d}}\end{bmatrix}}}$