다선형 대수
Multilinear algebra |
다선형 대수는 선형 대수의 방법을 확장하는 수학의 하위 분야이다.선형 대수가 벡터의 개념에 기초하고 벡터 공간의 이론을 발전시키듯이, 다선형 대수는 그래스만 대수를 가진 p-벡터와 다벡터의 개념에 기초한다.
기원.
차원 n의 벡터 공간에서는 통상 벡터만을 이용한다.그러나 헤르만 그라스만과 다른 사람들에 따르면, 이 가정은 쌍, 삼중 및 일반 다항식의 구조를 고려하는 복잡성을 놓친다.여러 가지 조합 가능성을 가진 다중 벡터의 공간은 2차원을 가집니다n.결정요인의 추상적 공식은 가장 즉각적인 적용이다.다선형 대수는 또한 다양한 탄성 모듈리와 함께 응력과 변형률에 대한 재료 반응의 기계적 연구에 응용된다.이러한 실제적인 참조는 다중 선형 공간의 요소를 설명하기 위해 텐서라는 단어를 사용하는 것으로 이어졌다.다선형 공간에서의 추가 구조는 고등 수학의 다양한 연구에서 중요한 역할을 하도록 이끌었다.비록 그라스만은 1844년에 그의 Ausdehnungslehre로 이 주제를 시작했지만, 일반적인 선형 대수가 충분한 이해에 대한 도전을 제공했기 때문에 그의 연구는 더디게 받아들여졌다.
다선형 대수의 주제는 야코비 행렬이 작용하는 다변량 미적분과 다양체 연구에 적용된다.단일 변수 미적분의 극소 미분은 다변량 미적분학의 미분 형태가 되고, 그 조작은 외부 대수로 이루어진다.
그라스만 이후, 다선형 대수학의 발전은 1872년 빅토르 슐레겔이 라움레르의 첫 번째 부분을 출판했을 때 그리고 엘윈 브루노 크리스토펠에 의해 이루어졌다.다선형 대수학의 큰 발전은 그레고리오 리치-쿠르바스트로와 툴리오 리바이-시비타의 연구에서 왔다.마르셀 그로스만과 미셸 베소가 알버트 아인슈타인에게 소개한 것은 다선형 대수의 절대미적분 형식이었다.1915년 아인슈타인에 의해 수성 근일점의 세차운동에 대한 일반상대성이론에 대한 설명이 발표되어 물리적으로 중요한 수학으로서 다선형 대수와 텐서를 확립했다.
대수 위상에 사용
20세기 중반 무렵 텐서 연구는 보다 추상적으로 재구성되었다.부르바키 그룹의 논문인 다중선형대수는 특히 영향력이 컸다. 사실 다중선형대수라는 용어는 거기에서 [citation needed]유래했을 수도 있다.
그 당시 한 가지 이유는 새로운 응용 분야인 호몰로지 대수학이었다.1940년대 대수 위상의 개발은 텐서 곱의 순수 대수 처리 개발에 추가적인 동기를 부여했다.두 위상 공간의 곱에 대한 호몰로지 그룹의 계산은 텐서 곱을 포함하지만, 토러스와 같은 가장 단순한 경우에만 그러한 방식으로 직접 계산된다(쿠네스 정리 참조).토폴로지 현상은 더 나은 기본 개념을 필요로 할 정도로 충분히 미묘했다; 엄밀히 말하면, Tor 함수를 정의해야 했다.
정리할 재료는 헤르만 그라스만(Hermann Grassmann)으로 거슬러 올라가는 아이디어, 드 람 코호몰로지를 이끈 미분 형식 이론의 아이디어, 교차곱을 일반화하는 쐐기곱과 같은 더 기본적인 아이디어 등 매우 광범위했습니다.
Bourbaki에 의한 다소 심각한 주제 작성은 벡터 미적분의 한 접근법(즉, 일반적인 경우, Lie 그룹과의 관계)을 완전히 거부하고, 대신 범주 이론을 사용하여 새로운 접근법을 적용했으며, Lie 그룹 접근법은 별개의 문제로 간주되었다.이것은 훨씬 더 깨끗한 치료로 이어지기 때문에, 순수하게 수학적인 용어로 되돌아갈 수는 없을 것이다.(엄밀히 말하면, 보편적 속성 접근법을 발동했다; 이것은 범주 이론보다 다소 일반적이며, 동시에 대안으로서의 두 가지 사이의 관계도 명확해졌다.)
실제로 행해진 것은 텐서 공간이 다선형 문제를 선형 문제로 줄이는 데 필요한 구조라는 것을 거의 정확하게 설명하는 것이다.이 순수한 대수적 공격은 기하학적 직관을 전달하지 않는다.
문제를 다선형 대수의 관점에서 다시 표현함으로써 명확하고 잘 정의된 "최상의 해결책"이 있습니다. 즉, 솔루션이 실제로 필요한 제약이 바로 그것입니다.일반적으로 특별한 구성, 기하학적 아이디어 또는 좌표계에 의지할 필요가 없습니다.범주이론적인 용어로는 모든 것이 지극히 자연스럽다.
다선형 대수의 주제
다선형 대수의 주제는 몇 년 동안 발표보다 덜 발전해 왔다.다음은 이와 관련된 추가 페이지입니다.
텐서 이론의 용어집도 있다.
적용들
다중 선형 대수 개념을 적용하는 방법 중 몇 가지는 다음과 같습니다.
레퍼런스
- 헤르만 그래스만(2000) 확장 이론, 미국 수학회.1862 Ausdehnungslehre의 Lloyd Kannenberg 옮김.
- Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90206-6. OCLC 2401829.
- Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications", Mathematische Annalen, 54 (1): 125–201, doi:10.1007/BF01454201, ISSN 1432-1807, S2CID 120009332
- 로널드 쇼(1983) "다선형 대수 및 군 표현", 선형 대수 및 군 표현 제2권, 학술 출판 ISBN 0-12-639202-1.
