최대 이상

수학에서, 더 구체적으로 말하면 링 이론에서, 최대 이상은 모든 적절한 이상들 중에서 (설정된 포함에 관해서)^[1][2]즉, I와 R 사이에 다른 이상이 들어 있지 않으면 나는 링 R의 최대 이상이다.

최대 이상에 의한 반지의 인용구는 단순한 반지들이기 때문에 최대 이상은 중요하며, 단수상반지의 특별한 경우에는 그들도 밭이기 때문이다.null

비확실성 고리 이론에서, 최대우측 이상은 적절한 오른쪽 이상의 포셋에서 최대우측적 요소로 유사하게 정의되며, 이와 유사하게 최대좌측적 이상은 적절한 왼쪽 이상 포셋의 최대적 요소로 정의된다.단측 최대 이상 A가 반드시 양측일 필요는 없으므로, 지수 R/A가 반드시 링일 필요는 없지만 R보다 단순한 모듈이다.R이 고유한 최대 오른쪽 이상을 가지고 있다면 R은 국부 링으로 알려져 있으며, 최대 오른쪽 이상은 또한 링의 고유한 최대 왼쪽과 최대 양면 이상이며, 사실 제이콥슨 급진 J(R)이다.null

반지는 독특한 최대 양면 이상을 가지고 있지만 고유한 최대 편면 이상을 가지고 있지 않은 것이 가능하다. 예를 들어, 밭 위에 가로 세로 2 제곱 행렬의 링에서, 제로 이상은 최대 양면 이상이지만, 최대 오른쪽 이상은 많다.null

정의

최대 일방적, 최대적 양면적 이상에 대한 정의를 표현하는 다른 동등한 방법이 있다.R 링과 R의 적절한 이상 I(즉, I r R)이 주어질 때, 나는 다음과 같은 동등한 조건 중 하나가 유지된다면 R의 최대 이상이다.

• R의 다른 적절한 이상 J는 존재하지 않기 때문에 나는 J.
• I = I 또는 J = R이 있는 이상적인 J의 경우.
• 지수 링 R/I는 단순한 링이다.

단면적인 이상에는 유사한 목록이 있는데, 이 목록은 오직 우측 버전만 주어질 것이다.링 R의 오른쪽 이상 A의 경우, 다음 조건은 A가 R의 최대 오른쪽 이상과 동일하다.

• A ⊊ B가 되도록 R의 다른 적절한 이상적인 B는 존재하지 않는다.
• A ⊆ B를 가진 모든 오른쪽 이상 B의 경우, B = A 또는 B = R.
• 지수 모듈 R/A는 단순한 우측 R-모듈이다.

최대 우/좌/양면 이상은 최소한의 이상에 대한 이중 개념이다.null

예

• F가 필드일 경우 최대 이상은 {0}뿐입니다.
• 정수의 링 Z에서, 최대 이상은 소수에서 생성된 주요 이상이다.
• 보다 일반적으로, 0이 아닌 모든 기본 이상은 주요 이상 영역에서 최대적이다.
• The ideal ${\displaystyle (2,x)}$ is a maximal ideal in ring ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$. Generally, the maximal ideals of ${\displaystyle \mathbb {Z} [x]}$ are of the form ${\displaystyle (p,f(x))}$ where ${\displaystyle p}$ is a prime number and ${\di$$splaystyle f(x)}$은(는) $Z{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {Z}[x]}$의 다항식이며, 이$$ $모듈$로 p ${\displaystyle p}$이다$.$
• 모든 주요한 이상은 부울 링에서 최대 이상이다. 즉, 공증 원소로만 구성된 링이다.${\displaystyle \mathrm{실제로}}$ $모든$ 주요 이상은 모든 $x{\displaystyle }$∈ R${\displaystyle$ n}에 대해$$ x ${\displaystyle n^{}}$=$$ {\$displaystyle x^{$n$}=$$x$$}$와 같은 정수 > ${\displaystyle n>$1}이 존재할 때마다 정류 링 R ${\displaystystyle$ $r}$에서 최대값이다$.$
• 다항 링 $C{\displaystyle \mathbb{}}$[ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathb {C}[x]}$의 최대 이상은 일부 $c{\displaystyle }$ $∈$ ${\displaystyle C\mathbb{}}$ ${\displaystyle$c\$in$ \$mathb {C}$에 대해 ${\displaystyle x}$- c ${\displaystyle$ x-c$}$에 의해 생성된 주요 이상이다$.$
• 보다 일반적으로 다항식 고리 K[x₁, ..., x_n]가 대수적으로 닫힌 필드 K에 대해 가지는 최대 이상은 형태의 이상(x₁ - a₁, ..., x - a_n)이다_n.이 결과는 약한 Nullstellensatz로 알려져 있다.

특성.

• 제이콥슨 급진주의라고 불리는 반지의 중요한 이상은 최대 우(또는 최대 좌) 이상을 사용하여 정의할 수 있다.
• R이 이상적인 m을 가진 단이탈적 교환 고리인 경우, k = R/m은 m이 최대 이상일 경우에만 필드다.이 경우 R/m은 잔류장으로 알려져 있다.이 사실은 비유니탈 고리에서는 실패할 수 있다.예를 들어$,$ $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle Z\mathbb{}}${\$displaystyle$4\$mathb {Z}$은(는) ${\displaystyle 2\mathbb{}}$ Z ${\$$}$에서 최대 이상이지만,${\displaystyle 2\mathbb{}}$ ${\displaystyle Z\mathrm{}}$ / 4 ${\displaystyle Z\mathbb{}}$ ${\$ {$Z}$ /4$\mathb$ {$Z}}}$은 필드가 아니다$$$.$
• L이 최대 좌뇌 이상이라면 R/L은 단순한 좌뇌 R-모듈이다.반대로 단결성을 가진 고리에서는 어떤 단순한 좌뇌 R-모듈도 이런 식으로 생긴다.우연히 이것은 단순한 좌뇌 R-모듈들의 대표자 집합이 R의 최대 좌뇌 이상 집합의 일부와 일치할 수 있기 때문에 실제로 집합임을 보여준다.
• 크롤의 정리(1929년):0이 아닌 모든 유니탈 링은 최대 이상을 가지고 있다."이상적"을 "우측 이상적" 또는 "좌측 이상적"으로 대체하는 경우에도 결과는 사실이다.보다 일반적으로, 0이 아닌 미세 생성 모듈마다 최대 하위 모듈이 있는 것이 사실이다.내가 R이 아닌 이상이라고 가정하자(존중적으로 A는 R이 아닌 올바른 이상이다).그렇다면 R/I는 일체성이 있는 고리(존중적으로 R/A는 미세하게 생성된 모듈)이므로, I(존중적으로, A)를 포함하는 R의 최대 이상(존중적으로, 최대 오른쪽 이상)이 존재한다고 결론짓기 위해, 위의 이론들을 지수에 적용할 수 있다.
• 크롤의 정리는 단합 없이 고리에 실패할 수 있다.급진적인 고리, 즉 제이콥슨 급진파가 전체 고리인 링은 단순한 모듈이 없어 최대의 좌우 이상이 없다.이 문제를 피할 수 있는 가능한 방법은 규칙적인 이상을 보라.
• 단결력이 있는 대화 링에서, 모든 최대 이상은 최고의 이상이다.그 반대가 항상 진실인 것은 아니다. 예를 들어, 어떤 비 필드 일체형 영역에서 제로 이상은 최대가 아닌 프라임 이상이다.원초적 이상이 최대인 정류 링은 0차원 링으로 알려져 있으며, 여기서 사용되는 치수는 Krull 차원이다.
• 비협조적 고리의 최대 이상은 대화적 의미에서는 원시적이지 않을 수 있다.For example, let ${\displaystyle M_{n\times n}(\mathbb {Z} )}$ be the ring of all ${\displaystyle n\times n}$ matrices over ${\displaystyle \mathbb {Z} }$. This ring has a maximal ideal ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$ for any prime ${\displaystyle p}$$$, but this is not a prime ideal since (in the case ${\displaystyle n=2}$)${\displaystyle A={\text{diag}}(1,p)}$ and ${\displaystyle B={\text{diag}}(p,1)}$ are not in ${\displaystyle M_{n\times n}(p\mathbb {Z} )}$, but ${\displaystyle AB=p{I}_2\in M_{n\times n}(p}$${\displaystyle AB=p$$I_{2}\in M_{n\time n}(p\mathb {Z}$ $)\}.$ 그러나 아래 일반화된 의미에서 비일반적인 고리의 최대 이상은 프라임이다.

일반화

R-모듈 A의 경우, A의 최대 하위모듈 M은 다른 하위모듈 N의 경우 M mN⊆A가 N=M 또는 N=A를 내포하는 특성을 만족하는 하위모듈 M≠A이다.동등하게, M은 지수 모듈 A/M이 단순한 모듈인 경우에만 최대 하위 모듈이다.링 R의 최대 오른쪽 이상은 정확히 모듈 R의_R 최대 하위 모델이다.

단일성을 가진 링과 달리, 0이 아닌 모듈은 반드시 최대 하위 품종을 가지지는 않는다.그러나 위에서 언급한 바와 같이 미세하게 생성된 비제로 모듈은 최대하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하위하null

링과 마찬가지로, 최대 하위 종을 사용하여 모듈의 래디컬을 정의할 수 있다.더욱이, 최대 이상은 바이모듈 B의 최대 서브바이모듈 M을 M의 다른 적절한 서브바이모듈에 포함된 M의 적절한 서브바이모듈로 정의함으로써 일반화될 수 있다.R의 최대 이상은 정확히 바이모듈 R의_R 최대 하위 생체모듈이다.

참조

• Anderson, Frank W.; Fuller, Kent R. (1992), Rings and categories of modules, Graduate Texts in Mathematics, vol. 13 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. x+376, doi:10.1007/978-1-4612-4418-9, ISBN 0-387-97845-3, MR 1245487
• Lam, T. Y. (2001), A first course in noncommutative rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, doi:10.1007/978-1-4419-8616-0, ISBN 0-387-95183-0, MR 1838439