단순모듈

Simple module

수학에서, 특히 링 이론에서, 링 R 위에 있는 간단한 모듈들은 0이 아닌 R 위에 있는 (좌우 또는 우) 모듈이고, 0이 아닌 적절한 하위 모듈을 가지고 있지 않다.마찬가지로 모듈 M은 0이 아닌 M의 요소에 의해 생성된 모든 주기적 하위 모듈이 M과 동일한 경우에만 단순하다.단순 모듈은 유한한 길이의 모듈을 위한 구성 블록을 형성하며, 그룹 이론단순 그룹과 유사하다.

이 글에서, 모든 모듈은 R링 위에 있는 오른쪽 단발성 모듈로 가정될 것이다.

Z-모듈은 아벨 그룹과 같기 때문에 단순한 Z-모듈은 0이 아닌 적절한 하위 그룹이 없는 아벨 그룹이다.이것들은 프라임 질서순환 집단이다.

만약 내가 R올바른 이상이라면, 만약 내가 최소한의 0이 아닌 이상이라면, 나는 오른쪽 모듈로서 단순하다.MI의 0이 아닌 적절한 서브모듈이라면 그것 또한 올바른 이상이기 때문에 는 미미하지 않다.반대가 미미하지 않으면 I에 제대로 들어 있는 비제로 라이트 이상 J가 있다.J는 I의 우측 서브모듈이기 때문에 는 단순하지 않다.

만약 가 R의 올바른 이상이라면, 내가 최대 오른쪽 이상일 경우에만 지수 모듈 R/I는 간단하다.MR/I의 0이 아닌 적절한 서브모듈이라면, 지수 지도 R → R/I따른 M의 프리이미지는 R과 같지 않고 I가 적절히 포함된 올바른 이상이다.그러므로 는 최대치가 아니다.반대로 가 최대치가 아니라면, I를 적절하게 포함하는 올바른 이상 J가 있다.지수지도 R/I R/J는 0이 아닌 커널가지고 있어 R/I와 같지 않기 때문에 R/I가 단순하지 않다.

모든 단순한 R-모듈은 R/m에 대해 이형성이며 여기서 mR최대 권리 이상이다.[1]위의 단락에 따르면, 모든 지수 R/m은 단순한 모듈이다.반대로 M이 단순한 R모듈이라고 가정하자.그런 다음, M의 0이 아닌 원소 x에 대해, 주기적인 하위 모듈 xRM과 같아야 한다.그런 x를 고쳐라.xR = M이라는 말은 rxr로 보내는 동형성 R → M허탈성에 해당한다.이 동형성의 알맹이는 R의 올바른 이상 I이며, 표준 정리는 MR/I에 대해 이형성이 있다고 기술하고 있다.위의 단락에 의해, 우리는 가 최고의 올바른 이상이라는 것을 알게 된다.따라서 M은 최대 권리 이상에 의해 R의 지수에 이형적이다.

k필드이고 G그룹인 경우 G그룹 표시그룹 링 k[G] 위에 있는 왼쪽 모듈이다(자세한 내용은 이 관계의 메인 페이지를 참조하십시오).[2]간단한 k[G]-모듈은 또한 수정 불가능한 표현으로도 알려져 있다.대표이론의 주요 목적은 집단의 설명할 수 없는 표현을 이해하는 것이다.

단순 모듈의 기본 속성

간단한 모듈들은 정확히 길이 1의 모듈이다; 이것은 정의의 재구성이다.

모든 간단한 모듈들은 외설적이지만, 그 반대는 일반적으로 사실이 아니다.

모든 간단한 모듈은 주기적이며, 즉 한 요소에 의해 생성된다.

모든 모듈에는 간단한 하위 모듈이 있는 것은 아니다. 예를 들어 위의 첫 번째 예에 비추어 볼 때 Z-모듈 Z를 고려하십시오.

MN을 같은 링 위에 (좌 또는 우) 모듈로 두고, f : M N을 모듈 동형성으로 한다.If M is simple, then f is either the zero homomorphism or injective because the kernel of f is a submodule of M. If N is simple, then f is either the zero homomorphism or surjective because the image of f is a submodule of N. If M = N, then f is an endomorphism of M, and if M is simple, then the prior two statements imply that f is either the zero동형성 또는 이형성결과적으로, 어떤 단순한 모듈의 내형성 링분할 링이다.이 결과는 슈르의 보조정리법으로 알려져 있다.

슈르의 보조정리 문제는 일반적으로 사실이 아니다.예를 들어 Z-모듈 Q는 단순하지 않지만 그 내형성 링은 필드 Q와 이형성이 있다.

단순 모듈 및 컴포지션 시리즈

M이 0이 아닌 적절한 하위 모듈 N을 가진 모듈이라면, 정확한 순서가 짧다.

M에 관한 사실을 증명하기 위한 일반적인 접근방식은 그 사실이 좌우측 용어들이 사실일 때 짧은 정확한 수열의 중심 용어에 대해 사실임을 보여준 다음, N과 M/N에 대해 그 사실을 증명하는 이다. N이 0이 아닌 적절한 서브모듈을 가지고 있다면, 이 과정을 반복할 수 있다.이것은 일련의 하위 종들을 생산한다.

이런 식으로 사실을 증명하기 위해서는 이 시퀀스와 모듈i M/Mi + 1 대한 조건이 필요하다.특히 유용한 조건 중 하나는 시퀀스의 길이가 유한하고 각 지수 모듈i M/Mi + 1 단순하다는 것이다.이 경우 그 시퀀스M의 합성 시리즈라고 한다.컴포지션 시리즈를 사용하여 유도성 진술을 입증하기 위해서는 먼저 유도성의 베이스 케이스를 형성하는 단순 모듈에 대해 진술이 입증된 후, 단순 모듈에 의한 모듈의 연장선상에서 진술이 사실임을 입증한다.예를 들어 Fitting 보조기구유한 길이 외삽 모듈의 내형성 링이 국부 고리임을 보여줌으로써 강한 Krull-Schmidt의 정리가 유지되고 유한 길이 모듈의 범주Krull-Schmidt 범주가 된다.

요르단-Hölder 정리Schreier 정제 정리는 단일 모듈의 모든 구성 시리즈들 사이의 관계를 설명한다.그로텐디크 그룹은 컴포지션 시리즈의 순서를 무시하고 모든 유한 길이 모듈을 단순한 모듈의 공식 합으로 본다.구현 링을 넘어서면, 모든 모듈이 반 구현 모듈이고 따라서 간단한 모듈의 직접적인 합이기 때문에 이것은 손실이 아니다.보통 문자 이론은 더 나은 산술적 제어를 제공하며, 간단한 CG 모듈을 사용하여 유한집단의 구조를 이해한다. 모듈러 표현 이론브라워 문자를 사용하여 모듈을 단순한 모듈의 공식 합으로 보지만, 구성 시리즈 내에서 그러한 단순한 모듈들이 어떻게 결합되는지도 관심 있다.이는 Ext functor를 연구하여 모듈 범주를 다양한 방식으로 설명함으로써 공식화된다. quisible은 단순 모듈이고, edge는 길이 2의 비실행 모듈의 구성 시리즈인 quismisimate modules와 관련 그래프가 모든 외설적인 모듈에 대해 정점을 갖는 Auslander-Reiten 이론 등.

제이콥슨 밀도 정리

단순 모듈 이론의 중요한 진보는 제이콥슨 밀도 정리였다.제이콥슨 밀도 정리에는 다음과 같이 명시되어 있다.

U를 단순한 우측 R-모듈로 하고 D = EndR(U)로 한다.AU의 D-선형 연산자로 하고 XU의 유한 D-선형 독립 서브셋으로 한다. 그러면 X의 모든 X대해 x/A = x/r과 같은 R요소가 존재한다.[3]

특히, 어떤 원시적 고리는 일부 D-공간에서 D-선형 연산자의 링(즉, 이형)으로 볼 수 있다.

제이콥슨 밀도 정리의 결과는 웨더번(Wedderburn)의 정리로서, 즉, 어떤 우측 아르티니아인단순 링은 일부 n의 분할 링 위에 있는 n-by-n 행렬의 전체 행렬 링에 이형성이 있다는 것이다.이것은 아르틴-아틴진원지로도 확립될 수 있다.웨더번 정리.

참고 항목

참조

  1. ^ 허슈타인, 비확정 고리 이론, 보조정리 1.1.3
  2. ^ Serre, Jean-Pierre (1977). Linear Representations of Finite Groups. New York: Springer-Verlag. pp. 47. ISBN 0387901906. ISSN 0072-5285. OCLC 2202385.
  3. ^ 아이작스, 정리 13.14, 페이지 185