최대 커버리지 문제

최대 적용 범위 문제는 컴퓨터 과학, 계산 복잡성 이론 및 운영 연구의 고전적인 질문입니다.이것은 근사 알고리즘에서 널리 가르쳐지는 문제입니다.

입력으로 여러 세트와 $숫자{\displaystyle }$k(\$displaystyle$ k$)$가 제공됩니다.세트에는 몇 가지 공통 요소가 있을 수 있습니다.최대 요소 수(선택한 세트의 조합이 최대 크기)를 포함하도록 이러한 세트 중 $최대{\displaystyle }$k개(\$displaystyle$ k$)$를 선택해야 합니다.

형식적으로는 (무중력) 최대 보증 범위

인스턴스:$숫자{\displaystyle }$k(\$displaystyle$ k$)$와 $세트{\displaystyle }$ S $=$ { ${\displaystyle {}_{}{1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {S\mathrm{}}_{}}$ 2, ${\displaystyle ...,}$S ${\displaystyle m_{}}$ $}(\display$ S =\{$S_{1}, S_{2},\ldots, S_{m$

목표:S ${\displaystyle \prime }$ ${\displaystyle k}$\ $displaystyle$\$left$ S$'$$$\ $right \leq$ k$$${\displaystyle \underset{}{and}}$ S the S i ${\displaystyle \underset{}{s}{}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle \underset{}{{、}^{}}}$ S s S$$display S \ $displaystyle$ \$bigcup$_ { $S } in$ { s } ${\displaystyle set{}^{}}$ S ′ S ${\displaystyle \mathrm{find}}$ S$find$ S 、 \ $displaystyleft$ \ s' \ $subseteq$S$'$s 。

최대 커버리지 문제는 NP-hard로, 표준 가정에서는${\displaystyle 1\frac{\mathrm{}}{}}$ - ${\displaystyle \frac{1}{}e}$ +${\displaystyle }$o ( ${\displaystyle 1)\approx \mathrm{}}$0 .$$ ( \ $displaystyle 1$- { \$frac$ { 1 } { e } +$o$ (1$)$ \ $약 0.632$ ） 에서는 근사할 수 없습니다.이 결과는 기본적으로 카디널리티 ^[1]제약이 있는 서브모듈러 함수의 최대화에 사용되는 일반적인 그리디 알고리즘에 의해 달성된 근사 비율과 일치한다.

ILP 제제

최대 적용 범위 문제는 다음과 같은 정수 선형 프로그램으로 공식화할 수 있습니다.

극대화하다	$(\displaystyle \sum _{e_{j}\in E}y_{j})$	(피복된 요소의 합계를 최소화)
의 영향을 받는.	${\displaystyle {x_{i}}\leq k}$	($선택$한 세트 $수$는$$k개 $이하)$
	$\displaystyle \sum _{e_{j}\in S_{i}x_{i}\geq y_{j}$	( j> { $displaystyle y$_ { $j$} > $0$${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$i \ $displaystyle$ $e$_ { $j$} \ $in$S _ { $i$} ) ${\displaystyle {}_{}}$ 세트 ${\displaystyle {이상}_{}}$이 선택됩니다).
	${\displaystyle y_{j}\in\{0,1\}}$	(${\displaystyle y_{}}$ j $=$ {$displaystyle y_{j$}=$1}$인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ j$${$displaystyle e_{j}$가 대상입니다.)
	${\displaystyle x_{i}\in\{0,1\}}$	(${\displaystyle {xi}_{}}$ $=$ ${\displaystyle 1}${$displaystyle x_{i}=1$}인 $경우{\displaystyle {}_{}}$ 커버에 ${\displaystyle {Si}_{}}$ ${$ S_{$i}$가 선택됨)

탐욕 알고리즘

최대 커버리지에 대한 그리디 알고리즘은 1개의 규칙에 따라 세트를 선택합니다.각 스테이지에서 언커버리지된 요소가 가장 많이 포함된 세트를 선택합니다.이 알고리즘은 1${\displaystyle }$-$e$의 $근사{\displaystyle \mathrm{}}$ 비율을 달성함을 알 수 $있다$^[2] $ln-근사성 결과$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle =}$ $P =$^[3]$NP$가 $아닌{\displaystyle }$ 한 탐욕 알고리즘은 기본적으로 최대 커버리지에 최적인 다항 시간 근사 알고리즘임을 알 수 있다.

이미 알려진 확장자

최대 커버리지 문제를 특수한 케이스로 취급하고 있기 때문에, 최대 커버리지 문제의 모든 확장에 대해서, 이 결과를 적용할 수 없습니다.

Maximum Coverage Problem은 도로 교통 상황에 적용할 수 있습니다. 그러한 예 중 하나는 제한된 수의 센서만 사용할 수 있는 경우 커버리지를 최대화하기 위해 포트홀 검출기를 설치해야 하는 대중교통 네트워크의 버스 경로를 선택하는 것입니다.이 문제는 Maximum Coverage Problem의 확장으로 알려져 있으며 Junade Ali와 Vladimir ^[4]Dyo에 의해 문헌에서 처음 다루어졌습니다.

가중 버전

가중치 버전에서는 모든 $요소{\displaystyle {}_{}}$ e ${\displaystyle j_{}}${$displaystyle e_{j}$는 w${\displaystyle }$( ${\displaystyle e_{}}$j$$) {$displaystyle$ w$(e_{j$의 가중치를 가집니다.이 작업은 최대 무게를 가진 최대 범위를 찾는 것입니다.기본 버전은 모든 무게가 1$(\backslash$$displaystyle$1)인 특수한 경우입니다.

maximize${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{}}$w${\displaystyle }$( ${\displaystyle e_{}}$j )${\displaystyle }$y ${\displaystyle y_{}}$j \ $displaystyle \sum$_ {$e$ \ $in$ E $}w$( $e$_ { $j$) \ $cdot$ y$_$ {$j$} 。 (대상 요소의 가중치 합계를 최대화합니다.)

$"{\displaystyle {xi}_{}}$ ${\displaystyle k}${$displaystyle$ $\sum {x_{i}}\leq$ k$}$ ; (선택된 세트 $수$는$k개$ 이하$$).

${\displaystyle \underset{}{}}$ e j${\displaystyle \underset{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{S_{}}}$ ${\displaystyle i_{}{y}_{}}$ y j$$\$sum$ _{e_{$j}\in S_{i}x_{$j}\$geq$$y_$${$j$\}\}$ ;( j$> 0$인 최소 ${\displaystyle {1세트}_{}}$ e j${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $s$ S {\ S {\ S {\ S （ $displaystyle$e$$$_${$j$$$}\$in$ }$$） ） ${\displaystyle \underset{}{。}}$

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle y_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ $}$ { $display y$_ { $j$} \ $in$\ { $0$$$, $1$\$$} ; （ ${\displaystyle y_{}}$ j$$$= 1$$${ $display$ $y _$${$j$$ } ） 。

${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ $}$ { $displaystyle$ x$_$ { $i$} \ $in$\ {$0$ , $1$\ } $$（ $x$ i $= 1$$$\ displaystyle x$_$ { i } 、 $S{\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle S$_ {$i$}} ${\displaystyle \mathrm{selected}}$$$ cover x x커버로 선택됩니다).

각 스테이지에서의 가중치 최대 커버리지에 대한 그리디 알고리즘은 언노브된 요소의 최대 웨이트를 포함하는 세트를 선택합니다.이 알고리즘은 1$:$의 근사 $비율$을 달성합니다.\$displaystyle 1-{\frac {1}{e$^[1]

예산 최대 보장 범위

예산의 최대 커버리지 버전에서는 모든 $요소{\displaystyle {}_{}}$ e $(\$})는$$ $e$ j$)$ {$displaystyle$ w$(e_{j$뿐만 아니라 $모든{\displaystyle }$ ${\displaystyle {세트}_{}}$ S i$(\$$displaystyle S_{i$})의$$ 비용 c$(\$$displaystyle$ c$(S_{i$를 가집니다. k(\$stylekyle$ 제한).$예산{\displaystyle }$ B$(\display$ B$)$가 주어집니다.이 $예산{\displaystyle }$ B$(디스플레이 스타일$ B$)$는 선택할 수 있는 커버의 총 비용을 제한합니다.

maximize${\displaystyle \underset{}{}\underset{}{}}$w${\displaystyle }$( ${\displaystyle e_{}}$j )${\displaystyle }$y ${\displaystyle y_{}}$j \ $displaystyle \sum$_ {$e$ \ $in$ E $}w$( $e$_ { $j$) \ $cdot$ y$_$ {$j$} 。 (대상 요소의 가중치 합계를 최대화합니다.)

${\displaystyle (선택}$한${\displaystyle {}_{}{세트}_{}}$의 ${\displaystyle \mathrm{비용}}$은$$B$(\$$displaystyle\$$sum {c(S_{i})\leq$B$\})$$$를 $초과$할 수 없습니다.

${\displaystyle \underset{}{}}$ e j${\displaystyle \underset{}{{}_{}{}_{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{S_{}}}$ ${\displaystyle i_{}{y}_{}}$ y j$$\$sum$ _{e_{$j}\in S_{i}x_{$j}\$geq$$y_$${$j$\}\}$ ;( j$> 0$인 최소 ${\displaystyle {1세트}_{}}$ e j${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ $s$ S {\ S {\ S {\ S （ $displaystyle$e$$$_${$j$$$}\$in$ }$$） ） ${\displaystyle \underset{}{。}}$

${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle y_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ $}$ { $display y$_ { $j$} \ $in$\ { $0$$$, $1$\$$} ; （ ${\displaystyle y_{}}$ j$$$= 1$$${ $display$ $y _$${$j$$ } ） 。

${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ $}$ { $displaystyle$ x$_$ { $i$} \ $in$\ {$0$ , $1$\ } $$（ $x$ i $= 1$$$\ displaystyle x$_$ { i } 、 $S{\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle S$_ {$i$}} ${\displaystyle \mathrm{selected}}$$$ cover x x커버로 선택됩니다).

그리디 알고리즘은 더 이상 성능을 보장하는 솔루션을 생성하지 않습니다.즉, 이 알고리즘의 최악의 동작은 최적의 솔루션과는 거리가 멀 수 있습니다.근사 알고리즘은 다음과 같이 확장됩니다.우선 비용 대비 가중치 미포함 요소의 비율이 가장 좋은 $세트{\displaystyle {}_{}}$ $(\$})를$$ 선택하는 수정된 그리디 알고리즘을 정의한다.둘째, $카디널리티{\displaystyle \mathrm{}}$1,${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle ...,k}$ -$(\backslash$$displaystyle$1, 2, $...k-1)$의 커버 중에서 예산을 위반하지 않는 최적의 커버를 찾습니다.이 $커버$를 $({$이라고 부릅니다.셋째, 예산을 위반하지 않는 $카디널리티$의 모든 커버$(\displaystyle$ k$)$를 찾습니다.이러한 $카디널리티{\displaystyle }$k의 커버(\$style$ k$)$를 시작점으로 하여 지금까지 발견된 커버 중 가장 좋은 커버를 유지하면서 수정된 그리디 알고리즘을 적용합니다.이 $커버{\displaystyle {}_{}}$ $({$라고 부릅니다.프로세스의 마지막에 대략적인 베스트 커버는 $({$ H_${1$}) $또는$ $({$$displaystyle$ $H_$${2}})$가 됩니다${\displaystyle .}$이 알고리즘은 k $\displaystyle$ k$\geyle$의 값에 $대해{\displaystyle }$${\displaystyle }$1:$1의$를 실현합니다.$q$ 3$$. N$$ ${\displaystyle D}$ T ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle ME}$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle O^{}}$( ${\displaystyle {\log }^{}}$ "${\displaystyle {}^{}}$log$$ n ) \ $displaystyle NP$ \ $subseteq DTIME$($n^$ { $O$( \ $log$ \$$log n )$$^[5]} } 를 $제외$하고, $가능$한 최선의 근사비입니다.

일반화된 최대 적용 범위

일반화된 최대 커버리지 버전에서는 모든 $세트{\displaystyle {}_{}}$ $(\$})의$$ $비용$은 c$)$ {$displaystyle$ c$(S_{i$이며 $요소{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ j$(\$는 커버하는 세트에 따라 무게와 비용이 다릅니다.즉, e $(\$가 $set{\displaystyle {}_{}}$ $(\$$})$로 커버되는 $경우{\displaystyle {}_{}}$ e$$${\displaystyle j_{}}$$displaystyle e_$${$$j$})의 ${\displaystyle {중량}_{}}$은 $(\displaystyle w_i$}($e_$${$$j$$\})$이며, $비용$은$(\$$displaystyle$ $c_i$$}(\$displaystyle b$)$입니다.솔루션의 모든 비용.

${\displaystyle \underset{}{maximize}}{\displaystyle \underset{}{}}$e ${\displaystyle \underset{}{、}}$ ${\displaystyle \underset{}{E}}$、 ${\displaystyle \underset{}{{}_{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{i_{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{{}_{}}{}_{}{i}_{}}$ ( ${\displaystyle {}_{}{j}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j \ $displaystyle \sum$_ {$e$ \ $in$E , $S$_ { $i }w$_ { $i$} ( $e$_ { $j$} )\ $cdot$ y$_$ { $ij$ . (대상 세트의 대상 요소의 가중치 합계를 최대화합니다.)

${\displaystyle c{}_{}}{\displaystyle i_{}}$( ${\displaystyle e_{}}$j )${\displaystyle {}_{}{y}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$j +${\displaystyle display}$ c${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ )${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}b}$B \ $displaystyle \sum${ c$_ i$} ($e$ _ { $j$} ) $+$ \ $sum$ { $c$ ( S _ i ) \ $cdot$ x _ { i$$} \ $leQ$ $B{\displaystyle }$$$（ $display$ style$$） 。

${\displaystyle \underset{}{}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle y_{}}$ i j$$≤ $1$ { display \$sum _$ { i }$y$_ { ij } \$leq$1 ; （ ${\displaystyle e_{}}$ j$=$ $1$ { display $style e_{j$} $=$ 1 ）${\displaystyle \underset{}{}}$。

${\displaystyle \underset{}{}}$§ ${\displaystyle {Si}_{}}$ x i$$ ${\displaystyle y_{}}$ j {$displaystyle$ \$sum$_ {$S$ _ { i } $x$$_$ { i } \ $geq$y$_$ {$$i$$} ; $> 0$ ） 、 ${\displaystyle {set}_{}}$ $e{\displaystyle {}_{}}$ j${\displaystyle {}_{}}$s$$S $i s$ S _ { $displaystyle$e _ { j } \ in S $_$ i$$$$} } ） ${\displaystyle \underset{}{。}}$

${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ j${\displaystyle }${${\displaystyle }$0 , $}$ { $displaystyle$ y$_$ { $ij$} \ $in$\ {$0$ , 1 \$\}$ ; ( y ${\displaystyle i_{}}$ j$$$=$ ${\displaystyle 1}$ {$displaystyle$ y$_$ { $ij$$$$}$의 $경우$ e $j$ { $displaystyle e_{j$}}는 $set{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle S_{}}$i { $displaystyle S_{i$로 커버됩니다)

${\displaystyle x_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$ {${\displaystyle 0}$ , ${\displaystyle 1}$ $}$ { $displaystyle$ x$_$ { $i$} \ $in$\ {$0$ , $1$\ } $$（ $x$ i $= 1$$$\ displaystyle x$_$ { i } 、 $S{\displaystyle {}_{}}$ \ $displaystyle S$_ {$i$}} ${\displaystyle \mathrm{selected}}$$$ cover x x커버로 선택됩니다).

범용 최대 커버리지 알고리즘

알고리즘에서는 잔존 비용/중량 개념을 사용합니다.잔여 비용/중량은 임시 솔루션에 대해 측정되며, 이는 임시 솔루션에 의해 얻은 비용/중량과 비용/중량의 차이입니다.

알고리즘에는 몇 가지 단계가 있습니다.첫째, 탐욕스러운 알고리즘을 사용하여 해결책을 찾으세요.탐욕 알고리즘의 각 반복에서 잠정 해법은 세트의 잔존 비용과 함께 요소의 최대 잔존 가중치를 이들 요소의 잔존 비용으로 나눈 집합을 추가한다.둘째, 첫 번째 단계에서 얻은 솔루션을 소수의 세트를 사용하는 최적의 솔루션과 비교합니다.셋째, 검토한 모든 솔루션 중에서 가장 좋은 것을 반환한다.이 알고리즘은 1${\displaystyle }$-${\displaystyle 1}$ /${\displaystyle e}$ -${\displaystyle \mathrm{o}}$ (${\displaystyle }$1 $){$ $displaystyle$1 - 1 / e - o ($1$^[6]의 $근사비$를 실현합니다.

관련 문제

• 세트 커버 문제는 가능한 한 적은 세트로 모든 요소를 커버하는 것입니다.

메모들

레퍼런스

• Vazirani, Vijay V. (2001). Approximation Algorithms. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-65367-7.