메이셀-레머 알고리즘

더 마이스셀-레머 알고리즘(Ernst Meisel, Derrick Henry Lehmer 이후)은 프라임 카운팅 함수의 정확한 값을 계산하는 알고리즘이다.^[1][2]

설명

x보다 작거나 같은 정확한 소수 수를 세는 문제는 실제로 모두 나열하지 않고 레전드르에서 비롯된다.에라토스테네스의 체에서 다음과 같이 관찰하였다.

${\displaystyle \pi (x^{1/2})+1=\lfloor x\bloor -\sum _{i}\lfloor x/p_{i}\sum _{i}p_{j}\loor -\ldots }$

여기서 $\lfloor {\displaystyle }$ $⌋{\displaystyle \lfloor x\\loor}}$는 바닥 기능이며, x보다 작거나 같은 최대 정수를 나타내며 p ${\$는 모든 prime${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}}회 실행된다$.$^[1][2]

이 합계 공식의 평가가 점점 더 복잡해지고 large x에 대해 혼란스러워지기 때문에, 메이셀은 에라토스테네스의 체에 있는 숫자의 계산을 단순화하려고 노력했다.따라서 그와 레머는 아래에 자세히 설명되어 있는 특정한 체 기능을 소개했다.

주요 기능

$p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{p\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}}$…${\displaystyle }$,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\$를 첫 번째 n 프리타임으로 한다$$.자연수 a ≥ 1에 대해 정의

$\displaystyle \varphi(x,a):=\좌측 \좌측\{n\leq x:p n\n\p_{a}\우측\}}}$

모든 주요 요인이 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$인 x 이하의 자연수를 계산하고 자연수 k에 대해서도 정의한다$.$

${\displaystyle P_{k}(x,a):=\\left\{n\leq x:n=q_{1}q_{1}q_{2}\cdots q_{k},~~{\text{with}}},\ldots,q_{k}}}}p_{a}\right\},},}$

이것은 정확히 k개의 주요 인자를 가진 x보다 크지 않은 자연 숫자를 세고, 모두 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle a_{}}$ ${\$보다 크다$.$ 이것들로 우리는

${\displaystyle \varphi (x,a)=\sum _{k=0}^{\infit }P_{k}(x,a),}$

where the sum only has finitely many nonzero terms, because ${\displaystyle P_{k}(x,a)=0}$ when ${\displaystyle p_{a}^{k}>x}$. Using the fact that ${\displaystyle P_{1}(x,a)=\pi (x)-a}$, we get

${\displaystyle \pi(x)=\varphi(x,a)+a-1-\sum _{k=2}^{\p_{k}(x,a),}$

$\pi {\displaystyle }$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \pi (x)}$을(를) 계산하여$$ k ≥ 2에 대해$$ $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle (x}$ ${\displaystyle ,}$) ${\$$displaystyle \varphi (x,a)}$ 및 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$(${\displaystyle x}$, $displaysty P_{k}(x,a)}$을(를) 계산한다는 것을 증명한다.미셀은 이렇게 말했다.레머 알고리즘은 그렇다.

P_k(x, a)에 대한 공식

k = 2의 경우 ${\displaystyle P_{}}$ k${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle P_{k}(x,a)}$에 대해 다음 공식을 구한다$.$

${\displaystyle {\reasoned}P_{2}(x,a)&=\left \left\{n:n\leq x,~n=p_{b}p_{c},~{\text{with}}~a<b\leq c\right\}\right \\&=\sum _{b=a+1}^{\pi (x^{1/2})}\left \left\{n:n\leq x,~n=p_{b}p_{c},~{\text{with}}~b\leq c\leq \pi \left({\frac {x}{p_{b}}}\right)\right\}\right \\&=\sum _{b=a+1}^{\pi (x^{1/2})}\left(\pi \left({\frac {x}{p_{b}}}\right)-(b-1)\right)\\&={\binom{a}{2}}-{\binom {\pi(x^{1/2})}{2}}+\sum _{b=a+1}^{\pi(x^{1/2})\pi \leftp_{p_{b}}}\right.\end{정렬}}}$

k ≥ ${\displaystyle 3}$의 경우 P ${\displaystyle k}$ (${\displaystyle {}_{}}$x ,${\displaystyle }$)${\displaystyle P_{k}(x,a)}$에 대한 ID도 유사하게 파생될 수 있다$$.^[1]

𝜑(x, a) 확장

반복 사용

${\displaystyle \varphi(x,a)=\varphi(x,a-1)-\varphi \leftd\frac {x}{p_{a}},a-1\right),}$

${\displaystyle \phi }$( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (x,a)}$을(를) 확장할 수 있다$$.각 합계는 차례로 같은 방식으로 확장될 수 있다.

용어 조합

and (${\displaystyle x}$ , a$){\displaystyle \varphi (x,a)}$와 ${\displaystyle P_{}}$ $k{\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$$){\displaystyle P_{k}(x,a)}$의 특정 값에 대해 x와 a의 평가만$$ 하면 된다.이것은 직접 체에 거르고 위의 공식을 사용하여 할 수 있다.

역사

Meissel already found that for k ≥ 3, ${\displaystyle P_{k}(x,a)=0}$ if ${\displaystyle a=\pi (x^{1/3})}$. He used the resulting equation for calculations of ${\displaystyle \pi (x)}$ for big values of ${\displaystyle x}$. ^[1]

메이스셀은 최대 ${\displaystyle {10}^{}}$ ${\displaystyle {9\mathrm{}}^{}}$ ${\$ x 값에 대해 $for$ (${\displaystyle x}$ )${\displaystyle \pi (x$)}을$($를) 계산했지만$,$ x의 가장 큰 값에 대한 정확한 결과를 아슬아슬하게 놓쳤다.^[1]

Lehmer는 이 방법과 IBM 701을 사용하여 $\pi {\displaystyle }$(${\displaystyle {10\mathrm{}}^{}}$ 9$){\$의 정확한 값을 계산해 낼 수 있었고$$, $\pi {\displaystyle }$ ${\displaystyle ({10}^{}}$) ${\$의 정확한 값을 1만큼$$ 누락시켰다.^[1]

확장 알고리즘

제프리 Lagarias, 빅터 밀러와 앤드류는 Odlyzko는 π 시간에()){\displaystyle \pi())}O어떤ε하고 우주{O(x^{2/3+\varepsilon})\displaystyle}O(x1/3+ε){O(x^{1/3+\varepsilon})\displaystyle}(x2/3+ε);0{\displaystyle \va를 계산하는 알고리즘의 현실화를 출간했다.사원$사일론 >0}$^[2]. $a{\displaystyle }$= ${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle ({x\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$/ 3$){\displaystyle$ a$=\pi (x^{1/3}})$를 설정할 $때{\displaystyle }$$,$ ${\displaystyle (}$ ( ${\displaystyle x}$,${\displaystyle }$) ${\displaystyle \varphi (x,a)}$의 트리는 $O$ ( ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$/ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$) ${\displaystyle$ O$(x^{2/3})$ 노드가 있다.^[2]

이 확장된 Meissel-Lehmer 알고리즘은 특히 x의 큰 값에 대해 Meissel과 Lehmer가 개발한 알고리즘보다 더 적은 컴퓨팅 시간을 필요로 한다.

알고리즘의 추가 개선은 M에 의해 주어진다.1996년 위임과 J. 리바트.^[3]

참조