민코프스키의 볼록한 신체에 대한 첫 불평등

수학에서 민코프스키의 볼록체 불평등은 독일의 수학자 헤르만 민코프스키에 의한 기하학적 결과물이다.이 불평등은 브룬-밍코프스키 불평등과 이등분포 불평등과 밀접한 관련이 있다.

부등식 성명

K와 L을 n차원 유클리드 공간 R에ⁿ 있는 두 개의 n차원 볼록한 몸이 되게 하라.수량 V₁(K, L) 정의 기준

${\displaystyle nV_{1}(K,L)=\lim _{\varepsilon \downarrow 0}{\frac {V(K+\varepsilon L)-V(K)}{\varepsilon },},}$

여기서 V는 n차원 Lebesgue 측정값을 나타내며 +는 Minkowski 합계를 나타낸다.그러면.

${\displaystyle V_{1}(K,L)\geq V(K)^{(n-1)/n}V(L)^{1/n}}}$

K와 L이 동음이의어일 경우에만 평등하게, 즉 번역과 확장에 해당된다.

언급

• V는₁ 혼합 볼륨이라고 알려진 수량의 한 종류에 불과하다.
• L이 n차원 단위 볼 B인 경우, n V₁(K, B)는 S(K)로 표시된 K의 (n - 1)차원 표면 측정값이다.

다른 불평등과의 연관성

브룬-밍코프스키 불평등

R에서ⁿ 볼록한 신체에 대한 브룬-밍코프스키 불평등은 R에서ⁿ 볼록한 신체에 대한 민코프스키의 첫 번째 불평등을 의미하며, 브룬-밍코프스키 불평등의 평등은 민코프스키의 첫 번째 불평등에서 평등을 의미한다는 것을 알 수 있다.

등측 부등식

민코프스키의 볼록한 신체에 대한 첫 번째 불평등에서 N차원 단위공인 L = B를 취함으로써 R: 볼록한 신체에 대한 등차수 불평등을 얻는다 K가 볼록한 신체라면 R:에서ⁿⁿ 볼록한 신체에 대한 등차수 불평등을 얻는다.

${\displaystyle \left({\frac {V(K)}}{V(B)}}}\오른쪽)^{1/n}\leq \left({\frac {S(K)}}{S(B)}}}}}}^{1/(n-1)}}}$

만약 K가 어느 정도 반지름의 공일 경우에만 평등하게.

참조

• Gardner, Richard J. (2002). "The Brunn–Minkowski inequality". Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.). 39 (3): 355–405 (electronic). doi:10.1090/S0273-0979-02-00941-2.