혼합 길이 모델

유체 역학에서 혼합 길이 모델은 와이드 점도를 이용하여 뉴턴 유체 경계층 내의 난류 레이놀즈 응력에 의한 모멘텀 전달을 설명하는 방법이다. 이 모델은 20세기 초 루트비히 프란틀에 의해 개발되었다.^[1] 프랜들 자신도 이 모델에 대해 "엄청난 근사치에 불과하다"^[3]고 설명하며 ^[2]의구심을 갖고 있었지만 이후 대기과학, 해양학, 항성구조 등 수많은 분야에서 활용되고 있다.^[4]

육체적 직감

혼합 길이는 개념적으로 열역학에서 평균 자유 경로 개념과 유사하다: 유체 소포는 주변 유체와 혼합하기 전에 특성 ${\displaystyle 길이}$인 , ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ $\text{'}\}$에 대한 특성을 보존한다. 프랜틀은 ^[5]혼합 길이가

각각의 경우에 전체적으로 움직이는 유체 질량의 직경으로 간주될 수 있다. 또는 다시, 인접한 질량과 혼합되기 전에 이러한 유형의 질량이 통과하는 거리로 간주될 수 있다.

위 그림에서 온도 ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle$\$T}$은$$소포가 온도 구배를 통과할 때 일정한 거리를 유지한다. 이 과정에서 소포가 경험한 온도 변동은 ${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$\$T'}$이다$.$ 따라서 ${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$은(는) 이 혼합 길이${\displaystyle {}^{}\xi {}^{}}$ ${\$을(를) 초과한 후 주변 환경으로부터의 온도 편차로 볼 수 있다$$$.$

수학적 공식화

시작하려면 먼저 천천히 변화하는 요소와 변동하는 요소의 합으로 양을 표현할 수 있어야 한다.

레이놀즈 분해

이 과정은 레이놀즈 분해라고 알려져 있다. 온도는 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle T}$= ${\displaystyle T\text{'}\text{'}}$ + ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ T$={\overline{T}+T$

여기서 T${\$은$($는) 천천히 변화하는 구성 요소이고 ${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$\ T$'}$은(는) 변동 구성 요소다.

위 그림에서 ${\displaystyle T{}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$\$T'}$은(는) 혼합 길이로 표현될$$ 수 있다.

${\displaystyle \T'=-\xi '{\frac {\partial {\overline{T}}{\partial z}}.}$

속도 변동 구성 요소인 ${\displaystyle u{}^{}}$′ ${\$\$u$ v${\displaystyle {}^{}v{}^{}}$ ${\$\$v'}$ 및$$w${\displaystyle {}^{}w{}^{}}$ ${\$\$w'}$도 유사한 방식으로 표현할 수 있다$.$

${\displaystyle \u'=-\xi '{\frac {\bline {\bline {u}{\bline {v}{\bline}{\qquad \w'=-\frcHB{w}{w}}{\bline {w}}{w}\bline}.}$

압력 구배력이 변동하는 요소를 크게 변화시킬 수 있기 때문에, 그렇게 하는 이론적 정당성은 약하다. 또한 수직 속도의 경우 w${\displaystyle {}^{}w{}^{}}$ ${\$\$w'}$은(는) 중성층 유체에 있어야 한다$$.

수평 및 수직 변동의 산물을 취하면 다음과 같은 이점을 얻을 수 있다.

${\displaystyle \ {\overline {u'w'}}={\overline {\xi '^{2}}}\left {\frac {\partial {\overline {w}}}{\partial z}}\right {\frac {\partial {\overline {u}}}{\partial z}}}$.

와이드 점도는 위의 방정식에서 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle K_{}}$ ${\displaystyle m_{}}$= ${\displaystyle \xi \stackrel{}{{}^{}}}$2 ${\displaystyle \stackrel{}{{2\mathrm{}}^{}}}$ ${\displaystyle \frac{z\stackrel{}{}}{}}$ ${\displaystyle \frac{z}{}\stackrel{}{{}^{}}\backslash \frac{\mathrm{}}{}}$ \$\$z {\$displaystyle$ \$K_${m$}={\xi '^2}}}}\왼쪽 {\frac {\partial {w}{\$partial z}}}{\$partial z}}\right$

그래서 우리는 에디 ${\displaystyle {점성}_{}}$ ${\displaystyle Km{}_{}}${\$displaystyle \K_{m}}$을 혼합 길이로 표현했다$$.${\displaystyle {}^{}\xi {}^{}}$ ${\$ $\text{'}\}.$

참조

참고 항목

• 벽의 법칙
• 레이놀즈 응력 방정식 모델