레이놀즈 응력

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유체 역학에서 레이놀즈 응력은 Navier를 통한 평균 작업에서 얻은 유체의 총 응력 텐서 구성 요소다.–유체 모멘텀의 격동 변동을 설명하기 위한 방정식을 제시한다.null

정의

흐름의 속도장은 레이놀즈 분해를 이용하여 평균 부분과 변동 부분으로 나눌 수 있다.우리는 쓴다.

${\displaystyle u_{i}={\overline {u_{i}}+u_{i}),\,}$

$u{\displaystyle \mathbf{}(}$ ${\displaystyle x\mathbf{}}$, $){\displaystyle \mathbf {u}(\mathbf {x} ,t)$은 $x{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$${\displaystyle i_{}}$$}}}$의 좌표 $벡터{\displaystyle \mathbf{}}$ x ${\$$$$x_{i}}}$의 구성요소를 갖는 흐름 속도 벡터입니다.$bf {x} }$ .평균 속도는 연구 대상 $흐름$에 따라 시간 평균$,$ 공간 평균 또는$$앙상블 평균에 의해 결정된다$.$추가 ${\displaystyle u_{}^{}}$ $′{\$은 속도의 변동(폭동) 부분을 나타낸다$$.null

우리는 밀도 ρ이 상수로 간주되는 균질 유체를 고려한다.그러한 액체의 경우 레이놀즈 응력 텐서의 성분 τ'_ij은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \tau '_{ij}\equiv \rho \,{\overline {u_{i}\,u'_{j}}},}$

레이놀즈 응력 성분의 또 다른 정의(흔히 사용됨)는 일정한 밀도를 위해 다음과 같다.

${\displaystyle \tau'_{ij}\equiv {\overline {u_{i}\,u_{j}}},\,}$

응력 대신 속도 제곱의 치수를 갖는 거야null

평균화와 레이놀즈 스트레스

이를 설명하기 위해 데카르트 벡터 인덱스 표기법이 사용된다.단순성을 위해 압축 불가능한 액체를 고려하십시오.

유체속도 ${\displaystyle u_{}}$ i${\$를 위치 및 시간의 함수로$$ 볼 때 평균 유체속도를 ${\displaystyle \stackrel{}{u_{}}}$ $¯{\$로 적고, 속도변동은 ${\displaystyle u_{}^{}}$u ${\$이다$.$그러면 ${\displaystyle u_{}}$ i${\displaystyle {}_{}}$= ${\displaystyle \stackrel{}{u_{}}}$ i${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}}}$s${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle i_{}^{}}$′ ${\$

평균화의 전통적인 앙상블 규칙은 다음과 같다.

${\displaystyle {\bar}{a}&={\bar}}{\bar}}, {\bar+{b}}={\bar}, {a{\bar}},\coverline {a{\b}}}, {a}{bar}}}, {b}}}}.\end{정렬}}}$

하나는 오일러 방정식(유체 역학) 또는 Navier-Stokes 방정식을 평균과 변동 부분으로 나눈다.유체 방정식을 평균화했을 때 오른손의 응력이 ${\displaystyle \rho \stackrel{}{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{i_{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{j_{}^{}{}_{}^{}}}$u ${\displaystyle \stackrel{}{u{}_{}^{}}}$ u u${\displaystyle \stackrel{}{}}$u u u ${\displaystyle \stackrel{}{{}_{}^{}}}$ \ \ \ $\$ \ \$rho${\$overline {u_{i}u'_{$j}}}}}}의 형태로 나타난다는 것을 알게 된다$.$이것은 레이놀즈 스트레스인데, 일반적으로 ${\displaystyle {\mathrm{Ri}}_{}}$ j ${\$:

${\displaystyle R_{ij}\\equiv \rho {\overline {u'_{i}u'_{j}}}}}}}}$

이 스트레스의 차이는 격동의 변동에 의한 유체의 힘 밀도다.null

레이놀즈 평균화(Navier)–스토크 방정식

예를 들어, 뉴턴 유체의 경우, 연속성과 운동 방정식 - 압축 불가능한 Navier.–스톡스 방정식—은 다음과 같이 (비보수 형식으로) 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\property u_{i}}{\put x_{i}}=0,}$

그리고

${\displaystyle \rho {\frac {Du_{i}}{Dt}=-{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}+\mu \좌({\frac {\partial ^{2}u_}}}}{j}}}}\rig}\오른쪽)}$

여기서 $D{\displaystyle }$/ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle D/Dt}$은(는) 라그랑어 파생상품 또는 상당한 파생상품이다.

${\displaystyle {\frac {D}{D}}={\frac {\partial t}{\partial t}+u_{j}{\partial }{\partial x_{j}}}.}$

시간 평균 구성 요소와 변동 구성 요소로 위의 흐름 변수를 정의하면 연속성과 운동 방정식이

${\displaystyle {\frac {\reft\reft\overline {u_{i}}+u_{i}'\right)}{\put x_{i}}=0,}$

그리고

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}}{\properties x_{j}\properties x_{j}}\right].}$

모멘텀 방정식의 왼쪽에 있는 용어 중 하나를 살펴보면 다음과 같다.

${\displaystyle \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial x_{j}}}={\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}-\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right){\frac {\partial \left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}},}$

연속성 방정식의 결과로 우측의 마지막 항이 사라지는 경우.따라서 모멘텀 방정식은

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}{\partial t}}+{\frac {\partial \left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)\left({\overline {u_{j}}}+u_{j}'\right)}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial \left({\bar {p}}+p'\right)}{\partial x_{i}}}+\mu \left[{\frac {\partial ^{2}\left({\overline {u_{i}}}+u_{i}'\right)}}{\properties x_{j}\properties x_{j}}\right].}$

이제 연속성과 운동 방정식의 평균을 낼 것이다.평균의 앙상블 규칙을 채택할 필요가 있는데, 이는 변동 수량의 평균 생산량이 일반적으로 사라지지 않을 것이라는 것을 염두에 두고 있다.평균화 후 연속성과 운동량 방정식이 된다.

${\displaystyle {\frac {\reverline {u_{i}}}{\put x_{i}}=0,}$

그리고

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\mu {\frac {\partial ^{2}{\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

왼쪽 측면의 약관 중 하나에 제품 규칙을 사용하여 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}={\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\overline {u_{i}}}{\frac {\partial {\overline {u_{j}}}}{\partial x_{j}}},}$

여기서 우측의 마지막 항은 평균 연속성 방정식의 결과로 사라진다.평균 운동 방정식은 재배열 후 다음과 같이 된다.

${\displaystyle \rho \left[{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}\right]=-{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(\mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}-\rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}\right),}$

where the Reynolds stresses, ${\displaystyle \rho {\overline {u_{i}'u_{j}'}}}$, are collected with the viscous normal and shear stress terms, ${\displaystyle \mu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}}$.

토론

레이놀즈 스트레스의 시간 진화 방정식은 저우 페이위안의 논문에서 Eq.(1.6)에 의해 처음 주어졌다.^[1]현대적 형태의 방정식은

where ${\displaystyle \nu }$ is the kinematic viscosity, and the last term ${\displaystyle \nu {\overline {{\frac {\partial u_{i}^{\prime }}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{j}^{\prime }}{\partial x_{k}}}}}}$ is turbulent dissipation rate.이 방정식은 매우 복잡하다.$u{\displaystyle \stackrel{}{{}_{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{i_{\mathrm{}}^{}{u}_{\mathrm{}}^{}}}$j$'{\$}{$j}^{$j}^{\$premy }}}}}}}}}}}}}}}}$을(를) 추적하면$$ 난류 운동 에너지를 얻는다.이 용어(압력-변형 공분산이라고도 함)는 난류 운동 에너지를 생성하거나 파괴할 수 없고 속도의 세 가지 성분 사이에만 혼합할 수 있다는 뜻으로, 이 용어(압력-변형 공분산이라고도 함)가 불분명하기 때문에 그렇게 불린다.용도에 따라 이 방정식은 부력 생산 용어(중력 $가속{\displaystyle }$ g ${\displaystyle g$에 비례)와 코리올리스 생산 용어(지구 회전율에 비례)도 포함할 수 있다. 예를 들어, 이러한 조건은 대기 용도에 존재할 수 있다.null

그 질문은, 레이놀즈 변형력의 가치가 있을까요?강렬한 모델링과 관심은 대략 지난 세기 동안 이 문제가 되어 있다.문제는 폐쇄적 문제, 폐쇄성의 BBGKY 계층 구조에서 문제에 돌고래로 인정 받고 있다.는 레이놀즈 변형력을 위한 수송 방정식은 유동의, 자체에 액체 방정식의 외부 제품 구매에 의해 발견될 수 있다.null

하나는 레이놀즈 변형력의 수송 방정식 고차 상관 관계를 받아들이(구체적으로 삼중 상관 관계'v'나는 vj′ vk′ ¯{\displaystyle{\overline{v'_{나는}v'_{j}v'_{k}}}′})압력 뿐만 아니라 변동과 상관 관계(i.e. 모멘텀 음파에 의해 옮겨지)를 포함하는 것을 발견한다.대한 공통 해법 단순한 애드 혹이 처방에 의해 이러한 용어들 모델이 되는 것이다.null

는 레이놀즈 변형력의 이론은 가스의 운동 이론에,면서 진짜로 액에 한 지점에서의 변형력 텐서는 스트레스의 분자들로 한 유체에서 주어진 지점에서 열 속도 때문의 앙상블 평균 볼 수 있을 것 유사하다.그러므로 유추에 의해, 레이놀즈 변형력 가끔의 등방성 압력 부분은 격동의 압력이라고 부른 것이며, 그 규칙들 중 효과적인 난류 점성이라고 생각될지 모르는 비대각 부분으로 구성된로 여겨진다.null

사실에서는 많은 노력은 유체의 레이놀즈 변형력에 좋은 모델 개발에 유체 방정식 계산 유체 역학을 사용하여 해결 실용적인 문제가 확장되어 왔다, 종종 가장 단순한 난류 모델 가장 효과적인 것을 증명합니다.모델의 1강, 밀접하게 난류 점성의 개념과 관련된 있는k-epsilon 난류 모델, 결합된 수송 방정식에 난류 에너지 밀도 k{k\displaystyle}(혼란스러운 압력에 비슷한 즉 추적의 레이놀즈 변형력)과 혼란스러운 소산율ϵ{\displaystyle \ep입니다.silon}.

전형적으로 평균은 통계적 앙상블 이론에서와 같이 공식적으로 앙상블 평균으로 정의된다.그러나, 실제적인 문제로서, 평균은 어느 정도 길이의 척도에 걸친 공간적 평균 또는 시간적 평균으로 생각될 수도 있다.공식적으로 그러한 평균들 사이의 연관성은 에고다이컬의 정리에 의해 평형 통계역학에서 정당화되지만, 유체역학적 난류의 통계역학은 현재 이해와는 거리가 멀다.사실, 격동하는 유체의 어느 지점에서든 레이놀즈 스트레스는 평균을 어떻게 정의하느냐에 따라 어느 정도 해석의 대상이 된다.null

참조