다중 속성 유틸리티

의사결정 이론에서, 다중 속성 효용 함수는 상품 묶음보다 대리인의 선호도를 나타내기 위해 어떤 잠재적 선택의 결과에 대한 확실성 조건이나 불확실성 조건에서 사용된다.null

예선

사람은 둘 이상의 선택사항 중에서 결정해야 한다.결정은 옵션의 속성에 기초한다.null

가장 간단한 경우는 오직 한 가지 속성(예: 돈)이 있는 경우다.일반적으로 모든 사람들은 적은 돈보다 더 많은 돈을 선호한다고 가정한다. 따라서 이 경우 문제는 사소한 것이다. 즉, 더 많은 돈을 주는 옵션을 선택하라.null

실제로는 두 가지 이상의 속성이 있다.예를 들어, 사람은 두 가지 고용 선택권 중 하나를 선택해야 한다: 옵션 A는 월 1만 2천 달러와 20일의 휴가를 주는 반면 옵션 B는 월 1만 5천 달러와 10일의 휴가만을 준다.사람은 (12K,20)와 (15K,10) 사이에서 결정해야 한다.사람마다 선호도가 다를 수 있다.어떤 조건에서는 사람의 선호도를 숫자 함수로 나타낼 수 있다.기사 서수 유틸리티는 그러한 기능의 일부 특성과 그것들을 계산할 수 있는 몇 가지 방법을 설명한다.null

의사결정 문제를 복잡하게 만들 수 있는 또 다른 고려사항은 불확실성이다.적어도 네 가지 불확실성의 원천이 있다 - 속성 결과 및 a) 개별 속성 효용 함수의 특정한 형태, b) 속성 효용 함수의 값 및 c) 속성 효용 함수가 첨가되어 있는지 여부에 대한 의사결정자의 솜털. 이 용어들은 현재 다루어지고 있다 - 불확실성 때문에 f.직교란 속성 수준의 랜덤성만 의미한다.이러한 불확실성 복잡성은 돈과 같은 단일 속성이 있는 경우에도 존재한다.예를 들어 옵션 A는 50% 확률로 2달러를 받을 수 있는 복권일 수 있는 반면 옵션 B는 1달러를 확실히 받을 수 있는 복권일 수 있다.복권 <2:0> 중에서 그 사람이 결정해야 한다.5>와 복권 <1:1>.다시 말하지만, 사람마다 선호도가 다를 수 있다.다시 말하지만, 특정 조건에서는 선호도를 숫자 함수로 나타낼 수 있다.그러한 기능을 기본 효용함수라고 한다.본 노이만-모겐스터른 효용 정리는 그것들을 계산할 수 있는 몇 가지 방법을 설명한다.null

가장 일반적인 상황은 다중 속성과 불확실성이 모두 존재한다는 것이다.예를 들어, 옵션 A는 사과 두 개와 바나나 두 개를 얻을 확률이 50%인 복권일 수 있고, 옵션 B는 바나나 두 개를 확실히 따는 것이다.결정은 <(2,2:0.5)>와 <(2,0)> 사이에 있다.여기서 기본 설정은 여러 변수(속성)를 사용하는 기본 효용 함수로 나타낼 수 있다.^[1]^{: 26–27}그러한 기능들이 현재 기사의 초점이다.null

목표는 번들 복권에 대한 개인의 선호도를 나타내는 $u(x_{1},...,x_{n})$ 유틸리티 함수 $u(x_{1},...,x_{n})$ , $u(x_{1},...,x_{n})$ . $u(x_{1},...,x_{n})$ . . . , $u(x_{1},...,x_{n})$ $u(x_{1},...,x_{n})$ ) ${\displaystyle u(x_{1$ }, $..., x_{n})$ 를 계산하는 것이다.즉, 복권 A가 복권 B보다 선호되는 것은, 복권 $u$ 의 기대치가 B보다 A에 더 높은 $u$ 경우에만이다.

E_{A}[u(x_{1},...,x_{n}]]]>>E_{B}[u(x_{1},...,x_{n}]

다중 속성 기본 유틸리티 함수 평가

만약 가능하다면 다발의 수를 유한이 직접적인으로 폰 노이만 모르겐슈테른(VNM)으로 설명된 x, u:적어도 가장 선호하는에 선호하는로부터 주문 단, 양도할 수 있는 유틸리티 0으로 전 유틸리티 1에, 할당할 각 묶음 사이의 유틸리티가 동일하게 확률과 동일한 복권이다.[1]:222–223null

번들의 수가 무한하다면, 한 가지 옵션은 무작위성을 무시하는 것으로 시작하고, 확실한 번들에 대한 개인의 유틸리티를 나타내는 $v(x_{1},...,x_{n})$ 순서형 유틸리티 함수 $v(x_{1},...,x_{n})$ $v(x_{1},...,x_{n})$ , $v(x_{1},...,x_{n})$ . , $v(x_{1},...,x_{n})$ n ) ${\displaystyle v(x_{1$ }, $...,x_{n}})$ 를 평가하는 것이다. $즉$ , v $v$ 함수가 $v$ y:

v(x_{1},...,x_{n})>v(y_{1},...,y_{n}}

실제로 이 함수는 다중 속성 문제를 $단일$ 속성 문제로 변환한다. 속성은 v $v$ 입니다 $v$ 그런 다음 VNM을 사용하여 $u$ $u$ 기능을 구성할 수 있다 $u$ ^[1]^{: 219–220}

v의 긍정적인 단조로운 변환이어야 한다는 점에 유의하십시오.이는 단조롭게 증가하는 함수 $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ 이 있다는 것을 의미한다 $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ → $r:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ ${\$ 다음과 같이.

u(x_{1},...,x_{n})=r(v(x_{1},...,x_{n})

이 접근방식의 문제는 함수 r을 평가하는 것이 쉽지 않다는 것이다.VNM을 사용하여 단일 속성 기본 효용 함수를 평가할 때 "2달러 당첨 확률은 1달러에 해당하는가?"와 같은 질문을 던진다.그래서 함수 r을 평가하기 위해서는 "값의 2단위를 얻을 확률은 1값과 같은가?"와 같은 질문을 던져야 한다.후자의 질문은 추상적인 수량인 '가치'를 포함하기 때문에 전자보다 훨씬 대답하기 어렵다.null

가능한 해결책은 각 속성마다 하나씩 n개의 1차원 기본 효용 함수를 계산하는 것이다.예를 들어, 사과( $x_{1}$ $x_{1}$ {\ $displaystyle x_{$ 1 $x_{1}$ 와 바나나( $x_{2}$ 2 $x_{2}$ {\ $displaystyle x_{2$ }})의 두 가지 속성이 있다고 가정해 보자. $x_{2}$ VNM을 사용하여 다음과 같은 1차원 유틸리티 함수를 계산할 수 있다.

$u(x_{1},0)$ ( x $u(x_{1},0)$ , $u(x_{1},0)$ ) $u(x_{1},0)$ $u(x_{1},0)$ - 바나나가 없을 때(영역의 남쪽 경계) 사과의 기본 유틸리티;
$u(99,x_{2})$ ( $u(99,x_{2})$ $u(99,x_{2})$ $u(99,x_{2})$ ) ${\displaystyle u(99,x_{2})$ - 사과가 최대값일 때(영역의 동쪽 경계) 바나나의 기본 유틸리티. $u(99,x_{2})$

선형 변환을 사용하여 함수가 (99,0)에 동일한 값을 갖도록 함수의 크기를 조정하십시오.null

Then, for every bundle $(x_{1}',x_{2}')$ , find an equivalent bundle (a bundle with the same v) which is either of the form $(x_{1},0)$ or of the form $(99,x_{2})$ , and set its utility to the same number.^[1]^{: 221–222}null

종종, 속성들 사이의 특정한 독립성 특성은 효용 함수의 건설을 더 쉽게 하기 위해 사용될 수 있다.null

첨가제 독립성

독립성이 가장 강한 속성을 부가적인 독립성이라고 한다.두 복권 사이의 선호도(두 속성에 대해 공동 확률 분포로 정의됨)가 그들의 한계 확률 분포(속성 1에 대한 한계 PD와 속성 2에 대한 한계 PD)에만 의존하는 경우, 두 속성, 1과 2를 가미 독립형이라고 한다.null

이는 예를 들어 다음과 같은 두 개의 복권이 동등하다는 것을 의미한다.

$L$ $L$ : ( $(x_{1},x_{2})$ $(x_{1},x_{2})$ , $(x_{1},x_{2})$ $(x_{1},x_{2})$ ) $(x_{1},x_{2}$ 과 $(x_1,x_2)$ $(y_{1},y_{2})$ $(y_{1},y_{2})$ $(y_{1},y_{2})$ , $(y_{1},y_{2})$ $(y_{1},y_{2})$ ) ${\displaystyle (y_{1},y_{2})$ 사이의 동등권 추첨 $(y_{1},y_{2})$
$M$ $M$ : ( $(x_{1},y_{2})$ $(x_{1},y_{2})$ , $(x_{1},y_{2})$ y $(x_{1},y_{2})$ ) $(x_{1},y_{2}$ 과 $(x_{1},y_{2})$ $(y_{1},x_{2})$ y $(y_{1},x_{2})$ , $(y_{1},x_{2})$ 2 $(y_{1},x_{2})$ ) ${\displaystyle (y_{1},x_{2})$ 사이의 동등권 추첨 $(y_{1},x_{2})$

이 두 복권 모두에서 속성 1의 한계 $x_{1}$ 는 x $x_{1}$ 의 경우 50%이고 $x_{1}$ $y_{1}$ $y_{1}$ $y_{1}$ 의 한계 PD는 x 2의 경우 50%이고, $마찬가지$ 로 속성 2의 $한계 PD$ 는 $x_{2}$ $x_{2}$ ${\$ }}의 경우 50%이고 $x_{2}$ , 따라서 에이전트에서 첨가 독립적 활용도가 있는 경우 ${\$ }}의 경우 50%이다 $y_{2}$ 그는 이 두 복권 사이에 무관심할 것이다.^[1]^{: 229–232}null

효용 이론의 근본적인 결과는 두 속성 효용 함수가 첨가물이고 다음과 같은 형태를 갖는 경우에만 두 속성이 가법 독립적이라는 것이다.

{\displaystyle u(x_{1},x_{2}=u_{1}(x_{1})+{2}(x_{2})

증명:

$\displaystyle \longrightarrow }$

속성이 가법 독립적인 경우 위에서 정의된 $M$ 복권 $L$ ${\displaystyle$ L $}$ 과 $L$ M ${\displaystyle$ M $}$ 이(가) 동등하다.이것은 그들의 기대 효용이 동일하다는 것을 의미한다. ${\displaystyle E_{L}[u]=$ $E_{M}[u$ 2로 곱하면 다음과 같다.

u(x_{1},x_{2})+u(y_{1},y_{2}=u(x_{1},y_{2})+u(y_{1},x_{2})

$x_{i}$ 는 x $x_{i}$ ${\$ 및 y $x_{i}$ $y_{i}$ ${\$ 의 어떤 선택에도 적용된다 $y_{i}$ $y_{1}$ $y_{1}$ ${\$ 및 y $y_{1}$ $y_{2}$ ${\$ }}가 고정되었다고 $y_{2}$ 가정해 보십시오.Arbitrarily set $u(y_{1},y_{2})=0$ . Write: $u_{1}(x_{1})=u(x_{1},y_{2})$ and $u_{2}(x_{2})=u(y_{1},x_{2})$ .위의 방정식은 다음과 같다.

{\displaystyle u(x_{1},x_{2}=u_{1}(x_{1})+{2}(x_{2})

$\displaystyle \longleftarrow }$

함수 u가 첨가된 경우, 예상 규칙에 따라 모든 $복권$ L ${\displaystyle$ L $L$

E_{L}[u(x_{1},x_{2})]=E_{L}[u_{1}(x_{1})]+E_{L}[u_{2}(x_{2})]

이 식은 두 속성에 $L$ $대한$ L ${\displaystyle L$ }의 한계 확률 분포에만 의존한다.null

이 결과는 여러 속성에 일반화된다. 속성 1, ...n에 대한 복권 선호도는 한계 확률 분포에만 의존하므로 n-속성 효용 함수는 다음과 같이 가법적이다.^[1]^{: 295}

u(x_{1},\data.x_{n}=\sum _{i=1}^{n}{k_{i}u_{i}(x_{i})}

여기서 $u$ $u$ 과 $u$ ( $u_{i}$ ) u ${\$ 은 $[0,1]$ 는) [ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1]$ 범위로 정규화되며 $u_{i}$ $k_{i}$ $k_{i}$ ${\$ 은 정규화 상수이다 $k_{i}$ .null

부가 효용 이론의 많은 작업은 피터 C에 의해 수행되었다. 피시번.null

효용 독립성

약간 약한 독립성 속성은 효용 독립성이다.속성 1은 속성 2와 무관하며, 속성 2의 상수 값이 주어진 속성 1에 대한 복권에 대한 조건부 선호도가 그 상수 값에 의존하지 않는다.null

이 말은 예를 들어, 기호 사이의 복권<>(x1x2):(y1, x2)>{\displaystyle<>(x_{1},x_{2}):(y_{1},x_{2})>.}나 추첨<>(x1′, x2):(y 1′, x2)>{\displaystyle<>(x'_{1},x_{2}):(y'_{1},x_{2})>.} 같은, 관계 없이 valu.Ex2의{\dis. $플레이스타일 x_{2$

효용 독립성(적층 독립성과는 대조적으로)은 대칭적이지 않다는 점에 유의하십시오. 속성 1은 속성 2와 효용 독립적이며 그 반대의 경우도 아닐 수 있다.^[1]^{: 224–229}null

속성 1이 속성 2와 무관한 효용이라면, 속성 2의 모든 값에 대한 효용 함수는 속성 2의 다른 모든 값에 대한 효용 함수의 선형 변환이다.따라서 다음과 같이 쓸 수 있다.

u(x_{1},x_{2})=c_{1}(x_{2})+c_{2}(x_{2})\cdot u(x_{1},x_{2}^{0})

$x_{2}^{0}$ $x_{2}^{0}$ $x_{2}^{0}$ ${\$ 이 속성 $x_{2}^{0}$ 2의 상수 값인 경우마찬가지로 속성 2가 속성 1과 효용에 독립적인 경우:

u(x_{1},x_{2}=d_{1}(x_{1})+d_{2}(x_{1})\cdot u(x_{1}^{0},x_{2})

속성이 상호 효용 독립적일 경우 유틸리티 함수 u는 다음과 같은 다중 선형을 갖는다.^[1]^{: 233–235}

u(x_{1},x_{2})=u_{1}(x_{1})+{2}(x_{2})+k\cdot u_{1}(x_{1})\cdot u_{2}(x_{2})

여기서 $k$ $k$ 은 $k$ (는) 양수, 음수 또는 0일 수 있는 상수입니다.

$k=0$ = $k=0$ ${\displaystyle k=0$ 인 경우 함수 u는 가법이고 속성은 가법 독립적이다.
$k\neq 0$ $k\neq 0$ $k\neq 0$ ${\displaystyle k\neq 0$ 일 때 효용 함수는 다음과 같이 기록할 수 있으므로 곱하기 때문이다.

[ku(x_{1},x_{2}}+1]=[ku_{1}(x_{1})+1]\cdot [ku_{2}(x_{2})+1]

여기서 각 항은 유틸리티 함수의 선형

k\cdot +1

변환

k\cdot +1

k\cdot +1

+

k\cdot +1

k\cdot +1

이다.

이러한 결과는 여러 속성으로 일반화될 수 있다.주어진 속성 1,...,n, 속성 중 어떤 부분집합이 그 보완과 효용에 독립적인 경우, n-속성 효용 함수는 다중 선형으로 다음 형식 중 하나를 가진다.

가법 또는 -
승수:^[1]^{: 289–290}

1+ku(x_{1},\filename,x_{n}=\prod _{i=1}^{n}{1+k_{i}u_{i}(x_{i}}

여기서:

$u$ $u$ 및 $u$ $u_{i}$ i ${\$ 은 $[0,1]$ 는) [ $[0,1]$ $[0,1]$ $[0,1]$ ${\displaystyle [0,1];$ 범위로 정규화된다 $u_{i}$ $[0,1]$
$k_{i}$ $k_{i}$ ${\$ 은 $k_{i}$ $[0,1]$ 는) [ $[0,1]$ , $[0,1]$ 1 ] {\ $displaystyle [0,1]]$ $[0,1]$ 의 상수다.
$k$ $k$ 은 $k$ $(-1,0)$ - $(-1,0)$ , $(-1,0)$ ) ${\displaystyle(-1,0)}$ 또는 $(-1,0)$ $(0,\infty )$ ( $(0,\infty )$ , $(0,\infty )$ ) $(0,\fty )$ 에 있는 상수( $(0,\infty )$ $k\to 0$ → $k\to 0$ → ${\displaysty$ k\ $to$ 0 $})$ 에 있는 것이다 $k\to 0$ .

독립성 개념 비교

속성의 독립성과 관련된 세 가지 다른 개념을 비교하는 것이 유용하다.적층 독립성(AI), 유틸리티 독립성(UI) 및 선호 독립성(PI)^[1]^{: 344}null

AI와 UI 모두 복권에 대한 선호를 고려하며 위에서 설명한다.PI는 확실한 결과에 대한 선호도에 관한 것이며 순서형 효용에 관한 기사에서 설명된다.null

이들의 함축 순서는 다음과 같다.

AI ⇒ UI ⇒ PI

AI는 대칭 관계(속성 1이 속성 2의 AI라면 속성 2는 속성 1의 AI), UI와 PI는 그렇지 않다.null

AI는 상호 UI를 의미한다.그 반대는 일반적으로 사실이 아니며 UI 속성에 대한 다선형 공식에서 $k=0$ $k=0$ = 0 $k=0$ 인 경우에만 사실이다.But if, in addition to mutual UI, there exist $x_{1},x_{2},y_{1},y_{2}$ for which the two lotteries $L$ and $M$ , defined above, are equivalent - then $k$ must be 0, and this means that the preference relation must beAI.^[1]^{: 238–239}

UI는 PI를 의미한다.그 반대는 대체로 사실이 아니다.그러나 다음과 같은 경우:

최소 3가지 기본 속성이 있으며, 다음과 같다.
모든 속성 쌍 {1,i}은(는) 해당 보완물의 PI이며,
속성 1은 그 보완물의 UI이다.

그러면 모든 속성은 상호 UI이다.더욱이 이 경우 복권에 대한 선호를 나타내는 $u$ 기본 유틸리티 함수 $u$ 와 확실한 번들에 대한 선호를 나타내는 $v$ 순서 유틸리티 함수 $v$ ${\displaystyle$ v $} 사이$ 에는 단순한 관계가 있다. $u$ $u$ 함수는 다음 형식 중 하나를 $u$ 가져야 한다.^[1]^{: 330–332}^[2]

가법: $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ , $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . . . . . $u(x_{1},...,x_{n})=v(x_{1},...,x_{n})$ . . . . . . . . . . . . . . $.\displaystyle u(x_{1},...,x_{n}})=v(x_{$ 1}, $...,x_{n}}}}}}}}$
Multiplicative: $u(x_{1},...,x_{n})=[exp(R\cdot v(x_{1},...,x_{n}))-1]/[exp(R)-1]$

여기서 $R\neq 0$ $R\neq 0$ $R\neq 0$ ${\displaystyle R\neq$ 0 $R\neq 0$

PROCATE: v 값에 대해 절대 위험 회피가 일정하다는 것을 증명하는 것으로 충분하다.

$n\geq 3$ $n\geq 3$ $n\geq 3$ $n\geq 3$ 의 PI 가정은 값 함수가 가법적이라는 것을 암시한다. 즉 $n\geq 3$ , 다음과 같다.

v(x_{1},\data.x_{n}=\sum _{i=1}^{n}{\i}v_{i}(x_{i})}

$x_{1},z_{1}$ $x_{1},z_{1}$ , $x_{1},z_{1}$ $x_{1},z_{1}$ ${\$ 1}를 속성 1에 대해 서로 다른 두 값으로 설정하십시오 $x_{1},z_{1}$ . $y_{1}$ $y_{1}$ ${\$ }를 복권 $<x_{1}:z_{1}>$ < $<x_{1}:z_{1}>$ 1 $<x_{1}:z_{1}>$ : $<x_{1}:z_{1}>$ $<x_{1}:z_{1}>$ > ${\displaystyle <x_{1$ }: $z_{1}>$ 의 확실성 등가 되도록 $y_{1}$ 하라 $<x_{1}:z_{1}>$ UI 가정은 다른 속성의 값의 모든 $(w_{2},\dots ,w_{n})$ 조합 $(w_{2},\dots ,w_{n})$ $(w_{2},\dots ,w_{n})$ , $(w_{2},\dots ,w_{n})$ … $(w_{2},\dots ,w_{n})$ , $(w_{2},\dots ,w_{n})$ n $(w_{2},\dots ,w_{n})$ ) ${\displaystyle(w_{2},\dots ,w_{n})$ 에 대해 다음과 같은 동등성이 유지됨을 의미한다.

(y_{1},w)\심 <(x_{1},w):(z_{1},w)

앞의 두 문장은 모든 w에 대해 다음과 같은 동등성이 값 공간에 있음을 암시한다.

\lambda _{1}v_{1}(y_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}\sim <\lambda _{1}v_{1}(x_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}:\lambda _{1}v_{1}(z_{1})+\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}>

이는 복권의 양쪽에 어떤 수량을 더하면( $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ i $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ = $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ i $\sum _{i=2}^{n}{\lambda _{i}v_{i}(w_{i})}$ ) ${\$ 같은 수량으로 복권의 확실성 등가 증가한다는 것을 의미한다.
후자의 사실은 끊임없는 위험 회피의 의미를 내포하고 있다.

참고 항목

참조

^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisions with Multiple Objectives. ISBN 0-521-44185-4.
^ 이 생각은 리차드 F의 덕택이다. 마이어와 존 W. 프랫.

[KR-1] ^ ^a ^b ^c ^d ^e ^f ^g ^h ⁱ ^j ^k ^l Keeney, Ralph L.; Raiffa, Howard (1993). Decisions with Multiple Objectives. ISBN 0-521-44185-4.

[2] 이 생각은 리차드 F의 덕택이다. 마이어와 존 W. 프랫.

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