다목적 선형 프로그래밍

다목적 선형 프로그래밍은 수학적 최적화의 하위 영역이다.다중 목표 선형 프로그램(MOLP)은 둘 이상의 목표 함수를 갖는 선형 프로그램이다.MOLP는 벡터 선형 프로그램의 특별한 경우다.다목적 선형 프로그래밍도 다목적 최적화의 하위 영역이다.

문제 제식

수학적 용어로 MOLP는 다음과 같이 쓸 수 있다.

${\displaystyle \min _{x}Px\quad {\text{s.t.}}}\leq Bx\leq b,\\ell \leq x\leq u}$

where ${\displaystyle B}$ is an ${\displaystyle (m\times n)}$ matrix, ${\displaystyle P}$ is a ${\displaystyle (q\times n)}$ matrix, ${\displaystyle a}$ is an ${\displaystyle m}$-dimensional vector with components in ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$,${\displaystyle b}$ is an ${\displaystyle m}$-dimensional vector with components in ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$, ${\displaystyle \ell }$ is an ${\displaystyle n}$-dimensional vector with components in ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \{-\infty \}}$, ${\displaystyle u}$${\displaystyle u}$은(는) $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }${${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ∞${\displaystyle }$} ${\displaystyle \mathb {R} \cupty \}}$에 성분이 있는 n ${\displaystyle n}$차원$$ 벡터다$.$

솔루션 개념

$실현{\displaystyle }$ ${\displaystyle \mathrm{가능}}$한 점 x ${\displaystyle$$$$x}$은(는$)$ P ${\displaystyle x}$ $≤$ ${\displaystyle \mathrm{Py}}$ {\$displaystyle Px\leq Py}$이$($${\displaystyle 가)}$ 없는 ${\displaystyle \mathrm{경우}}$효율적이라고 하며$$$,$ 여기서 $display$ {\$displaystyle$ Px\neq $Py}$은$(는)$ 구성 요소별 순서를 나타낸다$$.

문헌에서 다목적 선형 프로그래밍의 목적은 효율적인 극한 지점들의 집합을 계산하는 것이다...^[1]또한 모든 최대 효율 면의 집합을 결정하는 알고리즘이 있다.^[2]이러한 목표를 바탕으로 모든 효율적(극한) 포인트 세트가 MOLP의 해결책임을 알 수 있다.이러한 유형의 솔루션 개념을 의사결정 기반이라고 한다.^[3]그것은 선형 프로그램의 최적 솔루션과는 호환되지 않지만 오히려 선형 프로그램의 모든 최적 솔루션 세트(결정하기가 더 어렵다)와 유사하다.

효율적 해결책은 흔히 효율적 해결책이라고 불린다.이 용어는 하나의 효율적 포인트를 이미 하나의 선형 프로그램을 해결함으로써 얻을 수 있기 때문에 오해의 소지가 있다. 예를 들어, 동일한 실현 가능한 집합의 선형 프로그램과 MOLP의 목표의 합이 되는 객관적 기능 등이 그것이다.^[4]

보다 최근의 참고문헌에서는 결과 집합 기반 솔루션^[5] 개념과 해당 알고리즘을 고려한다.^[6][3]Assume MOLP is bounded, i.e. there is some ${\displaystyle y\in \mathbb {R} ^{q}}$ such that ${\displaystyle y\leq Px}$ for all feasible ${\displaystyle x}$. A solution of MOLP is defined to be a finite subset ${\displaystyle {\bar {S}}}$ of efficient points that carries a sufficient amountMOLP의 상위 이미지를 설명하기 위한 정보.$S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$이(가) MOLP의 실현 가능한 세트인 MOLP의 $위쪽{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\displaystyle \mathrm{이미지}}$는${\displaystyle }$P ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle P}$[${\displaystyle }$S ${\displaystyle {}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {}_{}^{}}$ + ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$: { ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle \in }$ R ${\displaystyle Q{}^{}}$:${\displaystyle \exists \mathrm{}}$ ${\displaystyle X}$ : $∃$ ${\displaystyle X\}}$ {\$displaystyle {\mathcal}:$$=P[S]+\mathb {R} _{+}^{q:$$=\\{y\in \mathb {R} ^{q:\;\exists x\in S:y\geq Px$ 솔루션에 대한 공식 정의는 다음과 같다.

A finite set ${\displaystyle {\bar {S}}}$ of efficient points is called solution to MOLP if ${\displaystyle \operatorname {conv} P[{\bar {S}}]+\mathbb {R} _{+}^{q}={\mathcal {P}}}$ ("conv" denotes the convex hull).

MOLP가 경계되지 않는 경우, 용액은 점뿐만 아니라 점 및 방향으로 구성된다.

솔루션 방법

단순 알고리즘의 다목적 변형은 의사결정 집합 기반 솔루션과^[1][2][9] 객관적 집합 기반 솔루션을 계산하는 데 사용된다.^[10]

객관적인 세트 기반 솔루션은 벤슨의 알고리즘에 의해 얻을 수 있다.^[3][8]

관련 문제 클래스

다목적 선형 프로그래밍은 다면 투영과 동일하다.^[11]

참조