다항시험

통계에서 다항검정은 다항 분포의 모수가 지정된 값과 같다는 귀무 가설을 검정하는 것으로, 범주형 데이터에 사용된다.^[1]

${\displaystyle 먼저}$ 각 항목이 $k{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ ~$N$$~}$개의$$ 범주에 속하는 것으로 관찰된 N ${\$$displaystyle$ $~$$N$~}개의$$ 항목을 샘플로 시작하십시오.${\displaystyle x\mathbf{}}$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$… ,${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$) ${\$를 각 셀에서 관측된 항목 수로 정의할$$ 수 있다.${\displaystyle \underset{}{\overset{}{따라서}}}$ ${\displaystyle \sum \underset{}{\overset{}{}}}$ i${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$= ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}}$ ${\displaystyle \underset{}{\overset{}{}}{}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$= ${\displaystyle N}$. ${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}x_{i}=N~.}$

Next, defining a vector of parameters ${\displaystyle ~H_{0}:{\boldsymbol {\pi }}=(\pi _{1},\pi _{2},\ldots ,\pi _{k})~,}$ where: ${\displaystyle ~\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}=1~.}$$$ 이것들은 귀무 가설의 모수 값이다.

귀무 가설에서$$ 관찰된 구성 ${\displaystyle x\mathbf{}}$ $displaystyle ~\mathbf {x} ~}$의 정확한 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle ~\mathb {P} \left(\mathbf {x} \right)_{0}=N!\,\prod _{i=1}^{k}{\frac {\pi _{x_{i}}}}{x_{i}}}}!}}~.}$

검정의 유의성 확률은 귀무 가설이 참일 경우 관측된 데이터 집합 또는 관측된 데이터 집합보다 발생 가능성이 낮은 데이터 집합의 발생 확률이다.정확한 테스트를 사용하여 다음과 같이 계산된다.

${\displaystyle ~p_{\mathcal {[mathcal]}}=\sum _{\mathbf {y} \,:\;\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)\,\leq \,\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {x} \right)_{0}}\operatorname {\mathbb {P} } \left(\mathbf {y} \right)~}$

여기서 합계는 관측된 결과보다 발생 가능성이 높거나 낮은 모든 결과에 걸쳐 있다.실제로 ${\displaystyle 이것}$은 k ${\$과($)$ N {\$displaystyle ~N~}$이(가) 증가함에 따라 계산상 부담이 되기 때문에 아마도 작은 표본에 대한 정확한 검사만 사용할 가치가 있을 것이다.큰 표본의 경우 점근 근사치가 충분히 정확하고 계산하기가 쉽다.

이 근사치 중 하나는 우도비다.대립 가설은 각 값 ${\displaystyle \pi {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle ~\pi _{i}}$을(를) 최대우도 ${\displaystyle 추정치{}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}{i}_{}}$ = ${\displaystyle \frac{x{}_{}}{}\frac{I{}_{}}{}}$ .$${\$displaystyle ~p_{i}={\frac {\;x_{i}\},}{N}.}$에 따라 정의할 수 있다.$$ 대립 가설에서$$ 관찰된 구성 ${\displaystyle x\mathbf{}}$ $displaystyle ~\mathbf {x} ~}$의 정확한 확률은 다음과 같다.

${\displaystyle ~\operatorname {\mathb {P} \left(\mathbf {x} \right)_{A}=N!\;\prod _{i=1}^{k}{\frac {\;p_{i}^{x_{i}}\,}{x_{i}!}}~.}$

이 두 확률 사이에$$ ${\displaystyle \mathcal{우도비}[}$L ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\displaystyle ]}$, ${\displaystyle ~[{\mathcal {LR}]~,}$을${\displaystyle (}$를) 곱한 후 -${\displaystyle 2}$, ${\displaystyle$~-$2,}$ 우도비 검정을 위한 통계량이 된다$$.

${\displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}])=-2\;\sum _{i=1}^{k}x_{i}\ln \left({\frac {\pi _{p}}}\right).}$

(인자${\displaystyle }$- ${\displaystyle 2}$ ${\$을(를) 선택하여 통계량을 무증상적으로 카이-제곱 분포로 만들며, 동일한 애플리케이션에 일반적으로 사용되는 익숙한 통계와 쉽게 비교할 수 있다.)

${\displaystyle 귀무}$ 가설이 참일 경우 N$${\$displaystyle ~N~}$이(가) 증가함에 따라 -${\displaystyle \mathrm{2ln}(}$([${\displaystyle \mathcal{LR}])}$의 분포는 ${\$이다.$~}$은(는) ${\displaystyle k}$- ${\displaystyle 1}$ ${\$ 자유도를$$ 가진 카이-제곱으로 수렴한다$$.그러나 유한 표본 크기의 경우 -${\displaystyle }$2 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle ([}$ L $]){\$의 모멘트가 카이-제곱의 모멘트보다 크므로$$ 타입 I 오류의 확률(오류)이 부풀어 오른다는 것은 오래^[2] 전부터 알려져 있다.카이-제곱 모멘트와 시험 통계 모멘트의 차이는 ${\displaystyle N{}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$.$${\$displaystyle ~N^{-1}$의 함수다.} 윌리엄스는$$^[3] 시험 통계를 지정된 인수로 나눈 경우$$ 첫 번째 모멘트가 ${\displaystyle N{}^{}}$- ${\displaystyle 2^{}}$ $displaystyle ~N^{-2}$까지 일치할 수 있음을 보여주었다.

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\\\\\sum _{i=1}^{k}\pi _{i}^{-1}\,-\,1\;}{6N(k-1)2}}~}$

모든 값 ${\displaystyle {\pi }_{}}$ i ${\$이 ${\displaystyle 1\mathrm{}}$/ ${\displaystyle k}$ ${\$즉, 균일한 분포를 규정함)과 같다는 귀무 가설이 있는 특수한 경우, 이는 다음과 같이 단순화된다.

${\displaystyle ~q_{1}=1+{\frac {\,k+1\,}{\\,6N\,}}.}$

그 후 스미스 외 ^[4]연구진은 첫 번째 순간과 ${\displaystyle {\mathrm{일치}}^{}}$하는 분할 인자를 도출하여 N${\displaystyle {}^{}}$- 3${\displaystyle {}^{}}$. ${\displaystyle ~N^{-3}.}$ ${\displaystyle {values}_{}}$ i${\displaystyle ,{}_{}}$ ${\displaystyle ~\pi _{i},}$의 동일한 값의 경우$$ 이 인자는$$ 다음과 같다.

${\displaystyle ~q_{2}=1+{\frac {\,k+1\,}{\\\,6N\,}}}+{\frac {\;k^{2}\,}{\;6N^{2}\,}$

귀무 가설은 Pearson의 카이-제곱 검정을 사용하여 테스트할 수도 있다.

${\displaystyle ~\chi ^{2}=\sum _{i=1}^{k}{\frac {\;(x_{i}-E_}^{2}\,}{E_{i}}}}~}$

여기서 ${\displaystyle {Ei}_{}}$= ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ $displaystyle ~E_{i}=N\pi _{i}~}$는 귀무 가설에서$$ 범주 ${\displaystyle i}$ ${\$의 예상 환자 수입니다.또한 이 통계량은 귀무 가설이 참일 때 ${\displaystyle k}$- 1 ${\$$displaystyle$$~k-1~}$ 자유도를$$ 갖는 ${\displaystyle \mathrm{카이-제곱}}$ 분포로 수렴되지만, 위에서부터 -$l³$$])$로 변환되지 않고, 아래로부터 변환된다$.$$~}$이(가${\displaystyle )}$ 그렇으므로${\displaystyle \mathrm{수정}}$되지 않은 - 2 ${\displaystyle \ln }$ ${\displaystyle }$([ ${\displaystyle \mathcal{L}}$R${\displaystyle }$]) {\$displaystyle ~-2\ln([{\mathcal {LR}])$보다 더 나을 수 있다.$~}$개의 작은 샘플용$$.^{[citation needed]}

참조