머셀만의 정리

유클리드 기하학에서 무셀만의 정리는 임의의 삼각형으로 정의된 특정 원의 속성이다.

$구체적$으로 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$을(를) 삼각형으로 하고$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\},$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및$$C ${\displaystyle$ C$}$의 정점을 표시한다.$∗{\$ $B{\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle$ B$^\{*\},$ $C{\displaystyle {}^{}}${$${\$displaystyle C^{*}}$의 정점을$$ 반대편에 걸쳐$$ $T{\displaystyle }$${\displaystyle {}^{}}$${\displaystyle T}$의 각 정점을 미러링하여 얻도록 한다$.$^[1]Let ${\displaystyle O}$ be the circumcenter of ${\displaystyle T}$. Consider the three circles ${\displaystyle S_{A}}$, ${\displaystyle S_{B}}$, and ${\displaystyle S_{C}}$ defined by the points ${\displaystyle A\,O\,A^{*}}$, ${\displaystyle B\,O\,B^$각각 $\{\{*\}\},$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle O{}^{}}$ C ${\displaystyle {\ast }^{}}$ ${\$ C$\,O\,C$정리는 이 세 개의 머셀만 원들이 $점{\displaystyle }$ M$${\$displaystyle$M$\}$에서 만난다고 말하고 있는데, 그것은 이등변 결합체의 $T$ ${\displaystyle T}$ 또는 $T{\displaystyle }$ ${\displaystytle T}$의 9점 중심과 관련된 역이다$.$^[2]

공통점 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$은(는) Clark Kimberling의 삼각형 중심 목록에 있는$$ 점 X ${\displaystyle {1157}_{}}$ ${\$이다.^[2][3]

역사

이 정리는 1939년 존 로저스 머셀먼과 르네 고마이트이에 의해 진전된 문제로 제안되었고,^[4] 1941년 이들에 의해 증명서가 제시되었다.^[5]이 결과의 일반화는 Goormaightigh에 의해 명시되고 증명되었다.^[6]

괴마이트리의 일반화

괴마이트이에 의한 무셀만의 정리 일반화는 원들을 명시적으로 언급하지 않는다.

전과 같이 $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ A$\},$ $B{\displaystyle }$ ${\displaystyle B}$ 및$$$C{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ C$}$을 삼각형 $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ T$} 및$$O{\displaystyle }$ ${\displaystyle O}$의 정점이 되게 한다$$.$H{\displaystyle }$ ${\displaystyle H}$을(를) $T{\displaystyle }$ ${\displaystyle T}$의 직교점$,$ 즉 세 개의 고도 선의 교차점이 되도록$$ 한다.Let ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle B'}$, and ${\displaystyle C'}$ be three points on the segments ${\displaystyle OA}$, ${\displaystyle OB}$, and ${\displaystyle OC}$, such that ${\displaystyle OA'/OA=OB'/OB=OC'/OC$$=t}$. Consider the three lines ${\displaystyle L_{A}}$, ${\displaystyle L_{B}}$, and ${\displaystyle L_{C}}$, perpendicular to ${\displaystyle OA}$, ${\displaystyle OB}$, and ${\displaystyle OC}$ though the points ${\displaystyle A'}$, ${\displaystyle$$B'}$, 및 $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$ 각각$.$P ${\displaystyle A_{}}$ ${\$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle B_{}}$ ${\$ $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$를 각각 B ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle BC$ $C{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$ ${\displaysty CA}$및 ${\displaystyle \mathrm{AB}}$ ${\displaystystysty AB}$ 선과 직각을 이루도록$$ 한다$.$

그것은 조셉 노이 베르크에 의해, 1884년에서 3점 PA{\displaystyle P_{A}}, PB{\displaystyle P_{B}},와 공통된 라인 RonPC{\displaystyle P_{C}}거짓말{R\displaystyle}.[7]은circumcenter O{O\displaystyle}맨 위에 N{N\displaystyle} 투영자 관측되어 왔다고. line ${\displaystyle R}$, and ${\displaystyle N'}$ the point on ${\displaystyle ON}$ such that ${\displaystyle ON'/ON=t}$. Goormaghtigh proved that ${\displaystyle N'}$ is the inverse with respect to the circumcircle of ${\displaystyle T}$ of the isogonal conjugate of the point $오일러{\displaystyle }$ 선 O H {\$displaystyle OH}$의 $Q{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ Q${\displaystyle \},}$$$즉 ${\displaystyle Q}$H/${\displaystyle \mathrm{QO}}$ = ${\displaystyle 2}$ t ${\displaystyle QH/QO=2t$^[8][9]

참조