항법 기능

항법 기능은 일반적으로 환경을 통과하는 로봇 궤적을 계획하는 데 사용되는 위치, 속도, 가속도 및 시간의 기능을 가리킨다.일반적으로 항법 기능의 목표는 로봇이 출발 구성에서 목표 구성으로 이동할 수 있도록 하면서 장애물을 피하는 실현 가능하고 안전한 경로를 만드는 것이다.

항법 기능으로서의 잠재적 기능

잠재적 기능들은 환경이나 작업공간이 알려져 있다고 가정한다.장애물에는 높은 잠재 가치가 할당되고, 골 위치에는 낮은 잠재력이 할당된다.목표 위치에 도달하기 위해 로봇은 표면의 음의 구배만 따라가면 된다.

우리는 이 개념을 다음과 같이 수학적으로 공식화할 수 있다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$을(를) 가능한 모든 로봇 구성의 상태 공간이 되도록 하십시오$$.$X{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{g}\subset$ X$}$이(가) 상태 공간의 목표 영역을 나타내도록$$ 한다.

그런 다음 잠재적 함수 $\varphi {\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle \phi (x)}$을(를) 다음과 같이 (실제) 항법 함수라고 한다$$.

1. ${\displaystyle \phi(x)=0\ \ forall x\in X_{g}}$
2. ${\displaystyle \varphi }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$=$display$ {\$displaystyle$ $\phi(x)=\inflotty }$ X$$g {\$displaystyle$ {$X_{$g}}}}의 포인트가 $없는$ 경우에만$$ x ${\displaystyle$ x$}$에서 $도달$할$$수 있다.
3. 모든 도달 가능한 상태, ${\displaystyle x}$∈ X ${\displaystyle \setminus }$ ${\displaystyle X{}_{}}$ ${\displaystyle g_{}}$ ${\$에 대해 로컬 운영자는 $상태{\displaystyle {}^{}}$ x ${\displaystyle {\prime }^{}}$ ${\$을(를) 생성하며, 이 경우$$ ( x)\ ($x){\displaystystyle \phi (x$

확률론적 항법 기능

확률론적 항법 기능은 정전기적 확률적 시나리오에 대한 고전적 항법 기능의 확장이다.함수는 동작 중 위험을 제한하는 허용된 충돌 확률로 정의된다.고전적 정의에 사용된 Minkowski 합계는 기하학적 구조와 위치의 확률밀도함수의 콘볼루션으로 대체된다.Denoting the target position by ${\displaystyle x_{d}}$, the Probabilistic navigation function is defined as:^[2] ${\displaystyle {\varphi }(x)={\frac {\gamma _{d}(x)}{{\left[{\gamma _{d}^{K}(x)+\beta \left(x\right)}\right]}^{\frac {1}{K}}}}}$ where${\displaystyle K}$ ${\displaystyle K}$은 고전적 항법 기능에서와 같이 미리 정의된 상수로 함수의 Morse 특성을 보장한다.${\displaystyle \gamma _{d}(x)}$ is the distance to the target position ${\displaystyle { x-{x_{d}} { ^{2}}}}$, and ${\displaystyle \beta \left(x\right)}$ takes into account all obstacles, defined as ${\dis$$playstyle \beta \left(x\right)=\prod \limits _{i=0}^{N_{o}{{\beta _{i}\좌우)}}$ 여기서$$ $\beta {\displaystyle {}_{}}$ i${\displaystyle {}_{}x}$ $){\$$displaystystyle$ $\beta$ $_{$$i$$}}}}}}}}$은 위치에서의 충돌 $확률$에 기초한다$.$The probability for a collision is limited by a predetermined value ${\displaystyle \Delta }$, meaning: ${\displaystyle \beta _{i}(x)=\Delta -p^{i}\left(x\right)}$ and, ${\displaystyle \beta _{0}(x)=-\Delta +p^{0}\left(x\right)}$

여기서 p ${\displaystyle i^{}}$( ${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$ p$^{i}(x)}$는 i번째 장애물과 충돌할 확률이다$$.맵 $\phi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \varphi }$은(는) 다음과 같은 조건을 만족하면 확률론적 탐색함수라고 한다$$.

1. 그것은 항법 기능이다.
2. 충돌 확률은 사전 정의된 확률 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$에 의해 제한된다$.$

최적제어에서의 항법기능

특정 애플리케이션의 경우 실현 가능한 항법 기능만 갖추면 충분하지만, 많은 경우 주어진 비용 $기능{\displaystyle }$ J ${\displaystyle J}$에 대해 최적의 항법 기능을 갖는 것이 바람직하다$.$ 최적의 제어 문제로 공식화되면, 우리는 글을 쓸 수 있다.

${\displaystyle {\text{minimize}}J(x_{1:T},u_{1:T}=\int \limits _{T}L(x_{t},u_{t}t)dt}$

${\displaystyle {\text{t}}{{\dot {x_{t}}=f(x_{t},u_{t}}})}$

$여기$서 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$은(는) 상태, $u{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $u}$은(는) 적용할 컨트롤이고, L ${\displaystyle$ $L}$은(는) 특정 $상태{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$ x$}$의 비용이며$,$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystystytype f}$은 시스템의 전환 역학 모델이다.

Bellman의 최적 비용-투-go 함수의 최적성 원리를 적용하는 것은 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle \phi(x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{{{}L(x_{t},u_{t}}})+\pi(f(x_{t}u_{t}}){\\\\\\빅 \}}}$

위에 정의된 공리와 함께 최적의 항법 기능을 다음과 같이 정의할 수 있다.

1. ${\displaystyle \phi(x)=0\ \ forall x\in X_{g}}$
2. ${\displaystyle \varphi }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$=$display$ {\$displaystyle$ $\phi(x)=\inflotty }$ X$$G {\$displaystyle$ {$X_{$G}}}의 포인트가 $없는$ 경우에만$$ x ${\displaystyle$ x$}$에서 도달할 수 $있다$
3. 도달할 수 있는 모든 $상태{\displaystyle }$, x${\displaystyle }$x ${\displaystyle Xx{}_{}}$ X ${\displaystyle G_{}}${\$displaystyle$x\$in$X\$setminus {X_{G$에 대해 로컬 운영자는 $상태{\displaystyle {}^{}}$ x${\displaystyle {}^{}}$<$${\$displaystyle$ x$'}$을(를) 생성하며, 이 (x $<\displaystystyle \phi (x$
4. ${\displaystyle \phi(x_{t})=\min _{u_{t}\in U(x_{t})}{\Big \{{{}L(x_{t},u_{t}}})+\pi(f(x_{t}u_{t}}){\\\\\\빅 \}}}$

항법 기능이 반응성 제어의 예라 하더라도 계획 기능을 포함하는 최적의 제어 문제에도 활용할 수 있다.^[3]

확률적 항법 기능

시스템의 전환 역학이나 비용 기능을 소음의 영향을 받는 것으로 가정할 경우, $비용{\displaystyle }$ J${\displaystyle {}_{}{x}_{}}$ t, ${\displaystyle u_{}}$t )$${\$디스플레이 스타일 J(x_{t},u_${t$$$}}$ 및 $동적{\displaystyle }$ f ${\displaystyle f}$와 함께 확률론적 최적 제어 문제를 얻는다$.$ 강화 학습 분야에서 비용은 보상 $함수{\displaystyle }$ R${\displaystyle ({}_{}}$)로 대체된다.${\displaystyle t_{}}$ ,${\displaystyle {}_{}{u}_{}}$) ${\displaystyle R(x_{t},u_{t}}$ 및$$ 전환 확률 $P{\displaystyle (x_{}}$ t${\displaystyle {}_{}}$+ 1 ${\displaystyle {\mathrm{x}}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$) ${\displaystyle P(x_{t+1} x_{t},u_{t$

참고 항목

• 제어 이론
• 최적 제어
• 로봇 제어
• 모션 플래닝
• 보강 학습

참조

원천

• LaValle, Steven M. (2006), Planning Algorithms (First ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-86205-9
• Laumond, Jean-Paul (1998), Robot Motion Planning and Control (First ed.), Springer, ISBN 3-540-76219-1

외부 링크

• NFsim: 항법 기능을 사용한 모션 계획을 위한 MATLAB 도구 상자.