무시할 수 있는 함수

수학에서 무시할 수 있는 함수는 함수 $\mu {\displaystyle :}$ ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ R ${\$\mathb ${R$} \to \mathb {R}$$\to \to \$mathb$ {R}을$$(모든 양의 정수 c)에 대해 정수 N이 존재하며, 모든_c x_c > N,

${\displaystyle \mu (x) <{\frac {1}{x^{c}}}.}$

동등하게, 우리는 또한 다음과 같은 정의를 사용할 수 있다.함수 $\mu {\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ R ${\$mathb {$R}}$\to \$mathb$ {R}}}은(는) 모든 양의 다항 폴리(··)에_poly 대해 0의 정수_poly N > 0이 존재한다면 무시할 수 있다.

${\displaystyle \mu (x)}<{\frac {1}{\propername {reasonname} (x)}}}$

역사

무시할 수 있다는 개념은 건전한 분석모델로 거슬러 올라갈 수 있다.뉴턴과 라이프니즈 시대(1680년대)에 수학에서 '지속성'과 '적극성'의 개념이 중요해졌지만, 1810년대 후반에 이르러서야 비로소 제대로 정의되었다.수학적 분석에서 연속성의 첫 번째 합리적으로 엄격한 정의는 1817년에 연속성의 현대적 정의를 쓴 베르나르 볼자노 때문이었다.이후 Cauchy, Weierstrass 및 하이네도 다음과 같이 정의했다(실수 도메인 $R{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 있는 모든 숫자를 포함).$$

f:R→ R{\displaystyle f:\mathbb{R}{\rightarrow}\mathbb{R}}A기능(연속 함수)x=x0{\displaystyle x=x_{0}}모든 ε>0{\displaystyle \varepsilon>0}, 긍정적인 번호 δ 을이 존재한다;0{\displaystyle \delta>0}을 위해)− x 같은 0연속적입니다. <>δ{\dis$Playstyle x-x_{0} <\properties }$은(는) ( x)- ( 0)< ${\displaystyle f(x)-f(x_{0}) <\var렙실론 .}}$을(를) 암시한다.

연속성에 대한 이 고전적인 정의는 정의에 사용된 매개변수를 변경함으로써 몇 단계 안에 무시할 수 있는 정의로 변환될 수 있다.$첫째$, $f{\displaystyle ({}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= $(x0)$ = 0$(x_${0}) = $0($x_{$0})$인 경우, 우리는 "소아함수"의 개념을 정의해야 한다$.$

(무한소) 연속 함수 μ:R→ R\to \mathbb{R}{\displaystyle \mu:\mathbb{R}}은 극소(로 x{x}\displaystyle 무한대에 간다)모든 ε>0에{\displaystyle \varepsilon>0}모든 x>N({\displaystyle N_{\varepsilon}} 이러한 Nε{\displa 존재한다.ystyle x>.$N_{\varepsilon }}$

$\displaystyle \mu (x) <\varepsilon \,}$^{[필요하다]}

Next, we replace ${\displaystyle \varepsilon >0}$ by the functions ${\displaystyle 1/x^{c}}$ where ${\displaystyle c>0}$ or by ${\displaystyle 1/\operatorname {poly} (x)}$ where ${\displaystyle \operatorname {poly} (x)}$ is a positive polynomial.이것은 이 글의 상단에 주어진 무시할 수 있는 기능의 정의로 이어진다.상수 > ${\displaystyle \varepsilon >0}$은(는) 상수 다항식으로 $1$${\displaystyle }$/ ${\displaystyle \mathrm{poly}}$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle 1/\operatorname {poly} (x)}$로 표현될 수 있으므로 무시해도 되는 함수가 소수 함수의 하위 집합임을 알 수 있다.

암호화에 사용

복잡성에 기반한 현대 암호학에서, 보안 장애의 확률(예: 단방향 함수를 뒤집고 암호화된 강한 유사성 비트와 실제 무작위 비트를 구분함)이 $입력{\displaystyle }$ x ${\displaystyle$x}$$ = 암호화 키 $길이{\displaystyle }$ n$${\$displaystyle$)에 있어서 무시해도 될 경우 보안 체계가 충분히 안전하다.$키$ 길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$은(는) 자연수여야 하므로$$ 페이지 상단에 정의가 나타난다$.$

그럼에도 불구하고, 일반적으로 무시할 수 있다는 개념은 입력 매개 변수 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$이(가) 키 길이 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$일 것을 요구하지$$않는다. $실제로{\displaystyle }$x {\$displaystyle$ x$}$은 미리 정해진 시스템 메트릭일 수 있으며$$ 해당 수학 분석은 시스템의 숨겨진 분석 동작을 보여준다.

역수 다항식 공식은 계산 한계성이 다항식 실행 시간으로 정의되는 것과 같은 이유로 사용된다. 다항식 실행 시간: 수학적 폐쇄 특성을 가지고 있어서 점근성 환경에서 추적할 수 있다(#Closure 특성 참조).예를 들어, 공격이 보안 조건을 위반하는 데 성공하고, 공격이 다항식 횟수로 반복된다면, 전체 공격의 성공 확률은 여전히 무시할 수 있는 수준으로 남아 있다.

실무에서 상대편의 성공 확률을 구속하는 보다 구체적인 기능을 갖추고 이 확률이 일부 임계값보다 작을 정도로 큰 보안 매개변수를 선택하고자 할 수 있다⁻¹²⁸.

마감 속성

복잡성-이론적 암호화의 기초에 무시할 수 있는 기능이 사용되는 이유 중 하나는 폐쇄 속성을 준수하기 때문이다.^[1]구체적으로 말하자면

1. $f{\displaystyle }$, ${\displaystyle g}$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ R ${\$\to$$ \mathb {${\displaystyle R}$}}}이(${\displaystyle 가}$) 무시해도 $된다면$ 함수 ${\displaystyle x}$} f ( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ g (${\displaystyle x}$) ${\displaystystyle f(x)+g(x)}$은 무시해도$$ 된다.
2. $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ $f$$:\mathb {N} \to$ \to $\mathb {R}}}$이(가) 무시해도 되고 p ${\$$displaystyle$ p${\displaystyle \}}$이($가$) 실제 다항식이라면 함수$$ x$↦p$는 무시해도 된다$$$.$

반대로 $f{\displaystyle }$: ${\displaystyle N\mathbb{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$ {${\displaystyle R}$$}}$\mathb {N}이$$(${\displaystyle 가}$) 무시할 수 없는 $,$ $실제$ $다항식$ p {\displaystystyle $p}$에 대해 $둘{\displaystyle }$ 다$(x)/$p$x)$가 아니다$.$

예

이 구간은 확장이 필요하다.덧셈으로 도와줘도 된다(2018년 3월)

• ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mapsto }$ ${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ a$^{-n}$은(는) ${\displaystyle \ge }$ ${\displaystyle 2}$ ${\displaystyle a\geq 2}$에 대해 무시해도 좋다$$$.$
• ${\displaystyle f}$( n${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ -${\displaystyle {n\sqrt{}}^{}}$ ${\$은(는) 무시해도 좋다.
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= n${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ n$}}$은(는) 무시해도 좋다.
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle \log }$ ${\displaystyle }$ n${\displaystyle {}^{}}$)${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle {\log }^{}}$ ${\displaystyle n^{}}$ ${\$ n$)^{-\log$ n$}}$은(는) 무시해도 좋다.
• ${\displaystyle f}$( ${\displaystyle n}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$- ${\displaystyle c^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{로그}\log }^{}}$ n ${\$$displaystyle$ $f(n)=2^{-c\log n$$}}$ 양 $c$에 대해서는 무시할 수 없다$$$.$

참고 항목

• 무시할 수 있는 집합
• 콜롬보 대수
• 비표준수
• 다항식 성장 그룹에 대한 그로모프의 정리
• 비표준 미적분학

참조

• Goldreich, Oded (2001). Foundations of Cryptography: Volume 1, Basic Tools. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79172-3.
• Sipser, Michael (1997). "Section 10.6.3: One-way functions". Introduction to the Theory of Computation. PWS Publishing. pp. 374–376. ISBN 0-534-94728-X.
• Papadimitriou, Christos (1993). "Section 12.1: One-way functions". Computational Complexity (1st ed.). Addison Wesley. pp. 279–298. ISBN 0-201-53082-1.
• Colombeau, Jean François (1984). New Generalized Functions and Multiplication of Distributions. Mathematics Studies 84, North Holland. ISBN 0-444-86830-5.
• Bellare, Mihir (1997). "A Note on Negligible Functions". Journal of Cryptology. Dept. of Computer Science & Engineering University of California at San Diego. 15: 2002. CiteSeerX 10.1.1.43.7900.