비확정 조건부 기대

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수학에서 비확정적 조건부 기대는 고전적 확률에서 조건부 기대의 개념을 일반화한 것이다.$\sigma {\displaystyle }$ ${\displaystyle \sigma }$ - finite$$ 측정 공간${\displaystyle (X}$ , ${\displaystyle \mu }$) ${\displaystyle (X,\mu )}$의 본질적으로 경계된 측정 함수의 공간은$$ 정류 폰 노이만 대수학의 표준적인 예다.이 때문에 폰 노이만 알헤브라스 이론을 비확정적 척도 이론이라고 부르기도 한다.확률 이론과 측정 이론의 긴밀한 연관성은 일반적인 폰 노이만 알헤브라에 대한 그러한 사상을 연구함으로써 확률적으로 고전적인 사상을 비확정적인 환경으로 확장할 수 있을 지도 모른다는 것을 암시한다.

예를 들어 유한한 폰 노이만 알헤브라와 같이 충실한 정상적 3중 상태를 가진 폰 노이만 알헤브라의 경우, 조건부 기대의 개념이 특히 유용하다.

형식 정의

Let ${\displaystyle {\mathcal {R}}\subseteq {\mathcal {S}}}$ be von Neumann algebras (${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ and ${\displaystyle {\mathcal {R}}}$ may be general C*-algebras as well), a positive, linear mapping ${\displaystyle \Phi }$ of ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$ onto $$${\displaystyle \mathcal{R}}$ ${\$은(는) $\phi {\displaystyle \mathrm{}(I}$)${\displaystyle }$= I ${\displaystyle \Phi(I)=$에 ${\displaystyle \mathrm{대한}}$ 조건부 기대$($$S$ {\$displaystyle$ {\$mathcal$ {S$$$}}})$라고$$한다$.$$I}$ 및$$ $\phi {\displaystyle \mathrm{}({}_{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}\mathrm{}}$( ${\displaystyle S}$) ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}SR_${2}=$$R_{1}\Phi (S)R_{2$}}: $R$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle R\mathcal{}}$ ${\${$R$$}$ 및$$ ${\displaystyle S\mathcal{}}$${\displaystyle \in }$ S ${\\$

적용들

사카이 정리

Let ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ be a C*-subalgebra of the C*-algebra ${\displaystyle {\mathfrak {A}},\varphi _{0}}$ an idempotent linear mapping of ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ onto ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ such that ${\displaystyle \ \varphi _{$$0}\ =1,{\mathfrak {A}}}$ acting on ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$ the universal representation of ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$. Then ${\displaystyle \varphi _{0}}$ extends uniquely to an ultraweakly continuous idempotent linear mapping ${\displaystyle \varphi }$ of ${\displaysty$$레 {\mathfrak{A}^{-},$$A{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\$ B - {\$displaystyle {\mathcal {B}^{-},$$B{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$의 약한 오퍼레이터 폐쇄$.$

위의 설정에서, 토미야마에 의해 처음 입증된 결과는^[1] 다음과 같은 방법으로 공식화될 수 있다.

정리.$A{\displaystyle \mathfrak{}}$, ${\displaystyle B\mathcal{}}$ ,${\displaystyle \phi }$ ,${\displaystyle {\phi \mathrm{}}_{}}$ 0 ${\$을(를) 위에 설명한 대로 두십시오$$.Then ${\displaystyle \varphi }$ is a conditional expectation from ${\displaystyle {\mathfrak {A}}^{-}}$ onto ${\displaystyle {\mathcal {B}}^{-}}$ and ${\displaystyle \varphi _{0}}$ is a conditional expectation from ${\displaystyle {\mathfrak {A}}}$ onto ${\displaystyl$$e {\mathcal{B}}$.

토미야마의 정리의 도움으로 폰 노이만 알헤브라에 * 이형화된 C*알게브라의 성격화에 대한 사카이 결과의 우아한 증거가 주어질 수 있다.

메모들

참조

• Kadison, R. V., 비확정 조건부 기대와 그 적용, 현대 수학, Vol. 365 (2004) 페이지 143–179.