근거가 없는 집합론

비근거 집합론은 집합이 그 자체의 요소가 되는 것을 허용하고 그렇지 않으면 충분한 근거의 법칙을 위반하는 공리 집합론의 변형이다.근거가 없는 집합론에서 ZFC의 기초 공리는 부정을 암시하는 공리로 대체된다.

비근거 집합의 연구는 드미트리 미리마노프에 의해 1917년에서 1920년 사이에 일련의 논문에서 시작되었는데, 그는 이 논문에서 그는 잘근거 집합과 잘근거되지 않은 집합의 구분을 공식화했다.; 그는 잘근거가 공리라고 생각하지 않았다.그 후에 잘 근거 없는 집합의 많은 공리체계가 제안되었지만,^[1][2][3] 1988년 피터 애첼의 하이퍼셋 이론이 나오기 전까지는 적용 면에서 많은 것을 발견하지 못했다.근거가 없는 집합의 이론은 컴퓨터 과학(프로세스 대수학 및 최종 의미론), 언어학 및 자연어 의미론(상황 이론), 철학(거짓말 패러독스에 대한 연구), 그리고 다른 환경에서 비표준 ^[4]분석의 비종단 계산 과정의 논리적 모델링에 적용되어 왔다.

세부 사항

1917년 드미트리 미리마노프는^[5][6][7][8] 세트의 기초가 되는 개념을 도입했습니다.

집합 x는₀ 무한 내림차순서 ${\displaystyle \cdots }$ ${\displaystyle {2x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}{xx\mathrm{}}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}{xx\mathrm{}}_{}}$ 0 $.\displaystyle \cdots \in$ x_${2}\in$ x_{1}\$in$ x_${0$}\in x_{0}\$in$ x_{0$}$가 없는 경우 충분한 근거가 있습니다.$}$

ZFC에서는 규칙성의 공리에 의해 무한 내림차순이 존재하지 않습니다.사실, 규칙성의 공리는 종종 기초 공리라고 불리는데, 그 이유는 ZFC(즉, 규칙성의 공리가 없는 ZFC) 내에서⁻ 충분한 근거가 규칙성을 의미한다는 것을 증명할 수 있기 때문입니다.규칙성의 공리가 없는 ZFC의 변형에서는 집합과 같은 γ-체인을 가진 잘 근거 없는 집합의 가능성이 발생한다.예를 들어, A a A가 충분한 근거가 없는 집합 A입니다.

미리마노프는 또한 잘 근거 없는 집합들 사이에 동형사상의 개념을 도입했지만, 그는 기초의 공리도 반기초의 ^[7]공리도 고려하지 않았다.1926년, 폴 핀슬러는 근거가 없는 집합들을 허용하는 최초의 공리를 도입했다.체르멜로가 1930년에 재단을 그의 시스템에 채택한 이후(본 노이만의 이전 작품에서), 잘 확립되지 않은 세트에 대한 관심은 수십 ^[9]년 동안 시들해졌다.초기 비근거 집합론은 Willard Van Orman Quine의 New Foundations였지만, 이것은 단순히 재단을 대체하는 ZF가 아니다.

ZF의 나머지 국가들로부터 재단의 독립에 대한 몇 가지 증거는 1941년 그의 초기 논문에서 결과를 발표한 후, 특히 1950년대에 Paul Bernays(1954)에 의해 출판되었고, 1957년에 출판된 그의 Habilitationschrift에서 다른 증거를 제공한 Ernst Specker에 의해 출판되었다.그 후 1957년에 리거의 정리가 발표되었고, 그것은 그러한 증명들이 실행되는 일반적인 방법을 제공하였고, 근거가 없는 공리 ^[10]체계에 대한 관심을 다시 불러일으켰다.다음 공리 제안은 1960년 다나 스콧(논문으로 출판된 적이 없음)의 의회 강연에서 나왔고, ^[11]현재 SAFA라고 불리는 대체 공리를 제안했다.1960년대 후반에 제안된 또 다른 공리는 아크젤에 의해 ^[12]10년 동안 연구의 정점으로 묘사된 모리스 보파의 초 보편성 공리였다.Boffa의 아이디어는 기초가 가능한 한 (또는 확장성이 허용하는 한) 실패하도록 만드는 것이었습니다.Boffa의 공리는 모든 확장 집합과 같은 관계가 추이적 클래스에서의 요소적 술어와 동형이라는 것을 암시한다.

M이 개척한 근거 없는 집합론에 대한 보다 최근의 접근법.Forti와 F.1980년대 혼셀은 컴퓨터 공학에서 바이시뮬레이션의 개념을 차용했다.바이시밀러 집합은 구분할 수 없고, 따라서 동일한 것으로 간주되며, 이는 확장성의 공리를 강화한다.이 맥락에서 규칙성의 공리와 모순되는 공리를 반기초 공리라고 하며, 반드시 근거가 충분하지 않은 집합을 하이퍼셋이라고 한다.

서로 독립적인 4가지 반기초 공리가 잘 알려져 있으며, 때로는 다음 목록의 첫 글자로 축약되기도 합니다.

1. AFA(Anti-Foundation Axiom)– M이 원인입니다.Forti와 F.Honsell(이것을 Aczel의 반(反)기초 공리라고도 합니다.
2. SAFA('Scott's AFA')– Dana Scott에 의해
3. FAFA ('Finsler's AFA')– Paul Finsler 덕분에
4. BAFA('Boffa's AFA') – 모리스 보파(Maurice Boffa)에 의한 것입니다.

이는 기본적으로 근거가 없는 집합의 평등에 대한 네 가지 다른 개념에 대응합니다.이 중 첫 번째 AFA는 접근 가능한 점 그래프(apg)에 기초하고 있으며, 두 개의 하이퍼시트는 동일한 apg로 사진을 찍을 수 있는 경우에만 동일하다고 명시하고 있다.이 프레임워크 내에서 Q={Q}에 의해 공식적으로 정의된 소위 Quine 원자가 존재하며 유일하다는 것을 보여줄 수 있다.

위의 각 공리는 앞의 우주를 확장하여 V a A s S f F b B로 한다.보파 우주에서는 서로 다른 Quine 원자가 적절한 ^[13]클래스를 형성합니다.

하이퍼셋 이론은 대체라기보다는 고전 집합론의 확장이라는 것을 강조할 필요가 있다: 하이퍼셋 영역 내의 잘 확립된 집합은 고전 집합론과 일치한다.

적용들

이 섹션은 확장해야 합니다.추가함으로써 도움이 될 수 있습니다. (2012년 11월)

아첼의 하이퍼셋은 존 바와이즈와 존 에트케멘디가 1987년 쓴 거짓말쟁이의 역설에 관한 책으로 널리 사용되었다. 이 책은 또한 근거가 없는 세트들에 대한 좋은 소개이기도 하다.

Boffa의 슈퍼 유니버설 공리는 자명한 ^[14]비표준 분석의 기초로서 적용되고 있다.

「 」를 참조해 주세요.

• 대립 집합론
• 유니버설 집합
• 거북이들이 계속 내려와

메모들

레퍼런스

• Aczel, Peter (1988), Non-well-founded sets, CSLI Lecture Notes, vol. 14, Stanford, CA: Stanford University, Center for the Study of Language and Information, pp. xx+137, ISBN 0-937073-22-9, MR 0940014.
• Ballard, David; Hrbáček, Karel (1992), "Standard foundations for nonstandard analysis", Journal of Symbolic Logic, 57 (2): 741–748, doi:10.2307/2275304, JSTOR 2275304.
• Barwise, Jon; Etchemendy, John (1987), The Liar: An Essay on Truth and Circularity, Oxford University Press, ISBN 9780195059441
• Barwise, Jon; Moss, Lawrence S. (1996), Vicious circles. On the mathematics of non-wellfounded phenomena, CSLI Lecture Notes, vol. 60, CSLI Publications, ISBN 1-57586-009-0
• Boffa., M. (1968), "Les ensembles extraordinaires", Bulletin de la Société Mathématique de Belgique, 20: 3–15, Zbl 0179.01602
• Boffa, M. (1972), "Forcing et négation de l'axiome de Fondement", Acad. Roy. Belgique, Mém. Cl. Sci., Coll. 8∘, Série II, 40 (7), Zbl 0286.02068
• Devlin, Keith (1993), "§7. Non-Well-Founded Set Theory", The Joy of Sets: Fundamentals of Contemporary Set Theory (2nd ed.), Springer, ISBN 978-0-387-94094-6
• Finsler, P.(1926년),"Grundlagen der Mengenlehre 죽Über.나는:다이 Mengen und ihre Axiome"은 수학 Z, 25:683–713, doi:10.1007/BF01283862, JFM 52.0192.01, Finsler, 폴 번역;부스, 데이비드(1996년).Finsler 집합 이론:플라톤 주의와 Circularity:집합 이론 입문 Comments에 폴 Finsler의 서류들의 번역은.스프링거.아이 에스비엔 978-3-7643-5400-8.
• Hallett, Michael (1986), Cantorian set theory and limitation of size, Oxford University Press, ISBN 9780198532835.
• Kanovei, Vladimir; Reeken, Michael (2004), Nonstandard Analysis, Axiomatically, Springer, ISBN 978-3-540-22243-9
• Levy, Azriel (2012) [2002], Basic set theory, Dover Publications, ISBN 9780486150734.
• Mirimanoff, D. (1917), "Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le probleme fondamental de la theorie des ensembles", L'Enseignement Mathématique, 19: 37–52, JFM 46.0306.01.
• Nitta; Okada; Tzouvaras (2003), Classification of non-well-founded sets and an application (PDF)
• Pakkan, M. J.; Akman, V. (1994–1995), "Issues in commonsense set theory" (PDF), Artificial Intelligence Review, 8 (4): 279–308, doi:10.1007/BF00849061, hdl:11693/25955
• Rathjen, M. (2004), "Predicativity, Circularity, and Anti-Foundation" (PDF), in Link, Godehard (ed.), One Hundred Years of Russell ́s Paradox: Mathematics, Logic, Philosophy, Walter de Gruyter, ISBN 978-3-11-019968-0
• Sangiorgi, Davide (2011), "Origins of bisimulation and coinduction", in Sangiorgi, Davide; Rutten, Jan (eds.), Advanced Topics in Bisimulation and Coinduction, Cambridge University Press, ISBN 978-1-107-00497-9
• Scott, Dana (1960), "A different kind of model for set theory", Unpublished paper, talk given at the 1960 Stanford Congress of Logic, Methodology and Philosophy of Science

추가 정보

• Moss, Lawrence S. "Non-wellfounded Set Theory". Stanford Encyclopedia of Philosophy.

외부 링크

• 규칙성 공리의 메타패스 페이지.메타패스 프로그램의 명령어("show usage")에서 알 수 있듯이 최종적으로 이 공리에 의존하는 데이터베이스의 정리는 1% 미만입니다.