무어 공간(토폴로지)

수학에서, 더 구체적으로 점 집합 위상에서는, 무어 공간은 발전 가능한 규칙적인 하우스도르프 공간이다.즉 위상학적 공간 X는 다음과 같은 조건이 지속된다면 무어 공간이다.

어떤 두 개의 구별되는 지점은 이웃에 의해 분리될 수 있고, 어떤 폐쇄적인 세트와 그것의 보완점에 있는 어떤 지점도 이웃에 의해 분리될 수 있다.(X는 일반적인 하우스도르프 공간이다.)
X의 오픈 커버 컬렉션이 카운트 가능한데, 이는 클로즈드 세트 C와 그 보어의 포인트 p에 커버가 존재하기 때문에 커버에 있는 p의 모든 이웃이 C와 분리된다(X는 개발 가능한 공간이다).

무어 공간은 수학에서 일반적으로 흥미롭다. 왜냐하면 그것들은 흥미로운 메트리징 이론들을 증명하기 위해 적용될 수 있기 때문이다.무어 공간의 개념은 20세기 초에 R. L. 무어에 의해 공식화되었다.null

예제 및 속성

모든 측정 가능한 공간, X는 무어 공간이다.{A⁽ⁿ⁾_x}이(가) 반경 1/n의 모든 볼에 의해 X의 오픈 커버(X in X)인 경우, n과 같은 오픈 커버의 컬렉션은 X의 발전이다.모든 측정 가능한 공간이 정상이기 때문에 모든 측정기준 공간은 무어 공간이다.
무어 공간은 일반 공간과 많이 닮았고 무어 공간의 모든 하위 공간도 무어 공간이라는 점에서 일반 공간과 다르다.
주입식 연속 오픈 맵 아래 무어 공간의 이미지는 항상 무어 공간이다.(주입형 연속 오픈 맵 아래의 정규 공간 이미지는 항상 정규 공간이다.)
사례 2와 3은 모두 무어 공간이 일반 공간과 유사하다는 것을 시사한다.
소르겐프리 라인이나 소르겐프리 비행기 모두 정상이고 두 번째로 셀 수 없기 때문에 무어 공간은 아니다.
무어 비행기(니에미츠키 우주로도 알려져 있다)는 비메트리 무어 공간의 예다.
모든 메타콤팩트, 분리 가능한, 정상적인 무어 공간은 전이 가능하다.이 정리를 트레이러의 정리라고 한다.
지역적으로 작고, 지역적으로 연결된 모든 무어 공간은 측정 가능하다.이 정리는 리드와 제노르에 의해 증명되었다.
$2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ 2 $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ < $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ ${\$ 이 $2^{\aleph _{0}}<2^{\aleph _{1}}$ 가) 된다면, 분리 가능한 모든 정상적인 무어 공간은 메트리징 가능하다.이 정리를 존스의 정리라고 한다.

일반 무어 우주 추측

오랫동안, 위상학자들은 소위 정상 무어 우주 추측을 증명하려고 노력했다: 모든 정상 무어 우주 공간은 측정 가능하다.이것은 모든 알려진 무어 공간들이 메트리가 불가능하다는 사실에서 영감을 받았다.이것은 멋진 메트리징 정리였을 것이다.처음에는 괜찮은 부분적인 결과가 있었다. 즉, 이전 절에서 주어진 특성 7, 8, 9가 그것이다.null

속성 9를 사용하면, 우리는 트레일러의 정리로부터 전이성을 떨어뜨릴 수 있다는 것을 알 수 있지만, 세트-이론적 가정을 희생시킬 수 있다.이것의 또 다른 예는 구성성의 공리가 국소적으로 좁고 정상적인 무어 공간은 메트리징이 가능하다는 것을 내포하고 있다는 플라이스너의 정리다.null

한편, 연속 가설(CH)과 CH가 아닌 마틴의 공리에도 불구하고, 측정 불가능한 정상적인 무어 공간의 여러 예가 있다.니코스는 큰 추기경이 필요한 이른바 PMEA(Product Measure Extension Axiom) 아래에서 정상적인 무어 공간은 모두 메트리징이 가능하다는 것을 증명했다.마지막으로, 추측은 ZFC의 어떤 모델도 큰 추기경을 가진 모델의 존재를 암시한다는 것을 나중에 보여주었다.그래서 추기경들은 본질적으로 필요하다.null

존스(1937년)는 메트리가 불가능한 가성 무어 공간의 예를 들어 주었기 때문에 이런 식으로 추측을 강화할 수는 없다.무어 자신은 수집된 정상적인 무어 공간은 메트리징할 수 있다는 정리를 증명했으므로, 정규성을 강화하는 것도 이 문제를 해결하는 또 다른 방법이다.null

참조

Lynn Arthur Steen과 J. Arthur Seebach, 토폴로지의 Counterrexampes, Dover Books, 1995.null ISBN 0-486-68735-X
Jones, F. B. (1937), "Concerning normal and completely normal spaces", Bulletin of the American Mathematical Society, 43 (10): 671–677, doi:10.1090/S0002-9904-1937-06622-5, MR 1563615.
Nyikos, Peter J. (2001), "A history of the normal Moore space problem", Handbook of the History of General Topology, Hist. Topol., vol. 3, Dordrecht: Kluwer Academic Publishers, pp. 1179–1212, ISBN 9780792369707, MR 1900271.
R.L. 무어의 원래 정의는 다음과 같다.

MR0150722 (27 #709) 무어, R. L. 점 집합 이론의 기초.개정판.미국 수학 협회 콜로키움 출판물, 제13권 미국 수학 협회, 프로비던스, R.I. 1962 xi+419 페이지 (리뷰어: F.버튼 존스)

과거 정보는 여기에서 확인할 수 있다.

MR0199840 (33 #7980) 존스, F.버튼 "메트리지테이션"미국 수학 월간 73 1966 571–576. (리뷰어: R. W. 바글리)

과거 정보는 여기에서 확인할 수 있다.

MR0203661 (34 #3510) 빙, R. H. "도전적 추측"American Mathemical Monthly 74 1967 no. 1, 파트 II, 56–64;

비커리의 정리는 여기서 찾을 수 있다.

MR0001909 (1,317f) 비커리, C. W. "무어 공간과 미터 공간용 축"미국 수학 협회 46, (1940년)의 게시판.560–564

이 글에는 크리에이티브 커먼스 귀속/공유-알레이크 라이센스에 따라 라이센스가 부여된 PlanetMath의 무어 공간의 소재가 통합되어 있다.

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