노비코프-베젤로프 방정식

수학에서 노비코프-베젤로프 방정식(또는 베셀로프-노비코프 방정식)은 코르테베그-데 브리스(KdV) 방정식의 자연(2+1)차원 아날로그다.KdV의 다른 (2+1)차원 아날로그인 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식과 달리 2차원 정지 슈뢰딩거 방정식의 역 산란 변환을 통해 통합할 수 있다.마찬가지로 Korteweg-de Vries 방정식은 1차원 슈뢰딩거 방정식의 역 산란 변환을 통해 통합할 수 있다.이 방정식은 S.P.노비코프와 A.P.의 이름을 따서 명명되었다.노비코프&베셀로프(1984년)에 발표한 베셀로프.

정의

노비코프-베젤로프 방정식은 가장 일반적으로 다음과 같이 쓰여 있다.

$_{t}v=4\;\re \{4\partial _{z}^{3}v+\partial _{z}v+\partial _{z}-E\partial _{z}w\right\}}\\\\partial _{bar}w=-3partial _{z}v,\departed}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

(1)

$여기$서 v${\displaystyle }$= v = ${\displaystyle v}$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$, ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle t}$) , ${\displaystyle v=v(x_{1},x_{2},t)}$${\displaystyle }$$w$${\displaystyle }$ = ${\displaystyle {}_{}(}$ x ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$2${\displaystyle }$, ${\displaystyle t}$ )$${\$displaystyle w=w(x_{1},x_{$2}}$t)$가 사용되고 있는 복합 분석의 표준 표기법 $\Re {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystystylement \Re$}은 실제 부분이다$.$

${\displaystyle \cHB_{z}={\frac {1}{1}{1}2}}(\message _{x_{1}-i\i\{x_2}})(\message _{z}={\frac{1}{1}:{x_{1}2}}:\).}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ 함수는 일반적으로 실제 값으로 간주된다$$.$w{\displaystyle }$ ${\displaystyle w}$ 함수는 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$을(를) 통해 홀로모르픽 요약까지$$ 정의한$$ 보조 함수, $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E$}은$$ 관련 2차원 슈뢰딩거 방정식의 에너지 수준에 해당하는 실제 매개 변수다.

${\displaystyle L\psi =E\psi ,\quad L=-\Delta +v(x,t),\quad \Delta =\partial _{x_1}^{1}:{x_}+\partial _{x_{2}}^{2}.}$

기타 비선형 통합 방정식과의 관계

When the functions ${\displaystyle v}$ and ${\displaystyle w}$ in the Novikov–Veselov equation depend only on one spatial variable, e.g. ${\displaystyle v=v(x_{1},t)}$, ${\displaystyle w=w(x_{1},t)}$, then the equation is reduced to the classical Korteweg–de Vries equation.If in the Novikov–Veselov equation ${\displaystyle E\to \pm \infty }$, then the equation reduces to another (2+1)-dimensional analogue of the KdV equation, the Kadomtsev–Petviashvili equation (to KP-I and KP-II, respectively) (Zakharov & Shulman 1991).

역사

The inverse scattering transform method for solving nonlinear partial differential equations (PDEs) begins with the discovery of C.S. Gardner, J.M. Greene, M.D. Kruskal, R.M. Miura (Gardner et al. 1967), who demonstrated that the Korteweg–de Vries equation can be integrated via the inverse scattering problem for the 1-dimensional stationary Schrödinger 방정식이 발견의 대수적 성질은 코르테벡-데 브리스 방정식이 다음과 같은 연산자 형태( 소위 Lax pair)로 작성될 수 있다는 것을 보여준 Lax에 의해 밝혀졌다.

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial t}=[L,A],}$

(2)

where ${\displaystyle L=-\partial _{x}^{2}+v(x,t)}$, ${\displaystyle A=\partial _{x}^{3}+{\frac {3}{4}}(v(x,t)\partial _{x}+\partial _{x}v(x,t))}$ and ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ is a commutator.방정식 (1)은 방정식의 호환성 조건이다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&L\psi =\lambda \psi ,\&\psi _{t}=A\psi \end{aigned}}$

$values{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 모든 값에 대해$.$

그 후, 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식, 사인-고든 방정식, 비선형 슈뢰딩거 방정식 등과 같은 다른 많은 물리적으로 흥미로운 비선형 방정식에 대해 형태 (2)의 표현이 발견되었다.이는 비선형 부분 미분방정식을 통합하기 위한 역 산란 변환 이론을 광범위하게 발전시켰다.

표현 (2)를 2차원으로 일반화하려고 할 때, 사소한 경우(작동자 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$\},$ A ${\displaystyle A$ $B{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle B}$은(는) 1보다 크지 않은 차등 $연산자임$을 알게 된다$.$(변수의)그러나 S.V. 마나코프는 2차원 사례에서 다음과 같은 표현(더 나아가 마나코프 L-A-B 3중으로 불리는 것)을 고려하는 것이 더 정확하다는 것을 보여주었다.

${\displaystyle {\frac {\partial l}{\partial t}=[L,A]+BL,}$

(3)

또는 동등하게 방정식의 적합성 조건을 검색한다.

$디스플레이 스타일 {\displaystyle}&L\psi =\lambda \psi ,\&\psi _{t}=A\psi \end{aigned}}$

매개 변수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$의 고정 값 하나에서(Manakov 1976년).$$

S.P에 의해 2차원 슈뢰딩거 $연산자{\displaystyle }$ L ${\displaystyle$ L$}$에 대한 표현 (3)이 발견되었다$$.노비코프와 A.P.Veselov in (Novikov & Veselov 1984).저자들은 또한 고정 에너지에서의 2차원 슈뢰딩거 방정식에 대한 역 산란 변환을 통해 통합할 수 있는 진화 방정식의 계층구조를 구축했다.이 진화 방정식 세트(노비코프-베젤로프 방정식의 위계라고 부르기도 한다)에는 특히 방정식 (1)이 포함되어 있다.

물리적 애플리케이션

노비코프-베젤로프 방정식의 분산 버전은 비선형 기하학적 광학 모델에서 도출되었다(코노펠첸코 & 모로 2004).

솔루션의 동작

노비코프-베젤로프 방정식에 대한 해결책의 동작은 본질적으로 이 해결책에 대한 산란 데이터의 정규성에 달려 있다.산란 데이터가 규칙적인 경우, 용액은 시간에 따라 균일하게 사라진다.산란 데이터에 특이점이 있는 경우 용액은 솔리톤을 개발할 수 있다.예를 들어 노비코프-베젤로프 방정식의 그리네비치-자카로프 솔리톤 용액의 산란 데이터에는 단수점이 있다.

솔리톤은 전통적으로 비선형 통합 방정식 이론의 핵심 연구 대상이다.양에너지에서 노비코프-베젤로프 방정식의 솔리톤은 투명한 전위(솔리톤이 반사되지 않는 전위)와 유사하다.그러나, 잘 알려진 기하급수적인 붕괴 솔리톤이 존재하는 1차원 사례와 달리, 노비코프-베젤로프 방정식(적어도 0이 아닌 에너지)은 기하급수적으로 국부화된 솔리톤을 보유하지 않는다(Novikov 2011).

참조

• Gardner, C.S.; Greene, J.M.; Kruskal, M.D.; Miura, R.M. (1967), "A method for solving the Korteweg–de Vries equation", Phys. Rev. Lett., 19 (19): 1095–1098, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095
• Konopelchenko, B.; Moro, A. (2004), "Integrable Equations in Nonlinear Geometrical Optics", Studies in Applied Mathematics, 113 (4): 325–352, arXiv:nlin/0403051, doi:10.1111/j.0022-2526.2004.01536.x
• Manakov, S.V. (1976), "The inverse scattering method and two-dimensional evolution equations", Uspekhi Mat. Nauk, 31 (5): 245–246 (영어 번역:러시아어 수학.설문 조사 31(1976), 번호 5, 245–246).
• Novikov, R.G. (2011), "Absence of exponentially localized solitons for the Novikov–Veselov equation at positive energy", Physics Letters A, 375 (9): 1233–1235, arXiv:1010.0770, Bibcode:2011PhLA..375.1233N, doi:10.1016/j.physleta.2011.01.052
• Novikov, S.P.; Veselov, A.P. (1984), "Finite-zone, two-dimensional, potential Schrödinger operators. Explicit formula and evolutions equations" (PDF), Sov. Math. Dokl., 30: 588–591
• Zakharov, V.E.; Shulman, E.I. (1991), "Integrability of nonlinear systems and perturbation theory", in Zakharov, V.E. (ed.), What is integrability?, Springer Series in Nonlinear Dynamics, Berlin: Springer–Verlag, pp. 185–250, ISBN 3-540-51964-5

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Veselov–Novikov Equation". MathWorld.
• 노비코프-베젤로프 방정식의 역 산란법