역 산란 변환

수학에서 역 산란 변환은 일부 비선형 부분 미분 방정식을 푸는 방법이다. 이 방법은 많은 선형 부분 미분 방정식을 해결하기 위해 적용된 푸리에 변환의 비선형 아날로그, 그리고 어떤 의미에서 일반화다. "역방향 산란법"이라는 명칭은 산란 데이터의 진화 시간으로부터 전위의 시간 진화를 복구하는 핵심 아이디어에서 유래한다. 역방향 산란이란 전위로부터 산란 행렬을 찾는 직접적인 산란 문제와 반대로, 산란 행렬로부터 전위를 회복하는 문제를 말한다.

역 산란 변환은 완전히 통합 가능한 무한 치수 시스템이라고 하는 소위 해결 가능한 모델 중 많은 모델에 적용될 수 있다.

개요

역 산란 변환은 클리포드 가드너, 존 M 그린, 마틴 D에 의해 처음 도입되었다. Korteweg-de Vries 방정식에 대한 Kruskal 외 연구진(1967, 1974년)은 곧 비선형 슈뢰딩거 방정식, 사인 고든 방정식, 토다 격자 방정식으로 확장되었다. 나중에 카돔체프-페트비아슈빌리 방정식, 이시모리 방정식, 다임 방정식 등 많은 다른 방정식을 푸는 데 사용되었다. 보고몰니 방정식(특정 게이지 그룹 및 지향적 리만니안 3배)에 의해 추가적인 예제가 제공되며, L ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ L$^{2$}}$$용액은$$ 자기 단극이다.

역 산란법으로 얻은 용액의 특징은 입자와 파동을 모두 닮은 용액인 솔리톤이 존재하며, 선형 부분 미분 방정식의 경우 아날로그가 없다. "솔리톤"이라는 용어는 비선형 광학에서 비롯된다.

역 산란 문제는 적어도 하나의 공간 차원의 방정식의 경우 리만-힐버트 인자화 문제로 쓸 수 있다. 이 공식은 2보다 큰 차등 연산자와 정기적인 전위 연산자로 일반화할 수 있다. 높은 공간 차원에서는 대신 "비로컬" 리만-힐버트 인자화 문제(복제대신 콘볼루션 포함) 또는 d-bar 문제가 있다.

예제: Korteweg-de Vries 방정식

Korteweg-de Vries 방정식은 함수 u에 대한 비선형, 분산형, 진화의 부분 미분 방정식이다. 두 가지 실제 변수 중 하나는 공간 변수 x이고 하나는 시간 변수 t:

${\displaystyle u_{t}-6u_{x}+u_{xxx}=0}$

${\displaystyle u_{}}$ ${\$ 및$$ ${\displaystyle u_{}}$ x ${\$은(는) 각각 t와 x에 대한 부분파생상품을 나타낸다$$.

$u{\displaystyle (x}$, ${\displaystyle 0}$) ${\displaystyle u(x,0)}$이(가) x의 알려진 함수인$$ 이 방정식의 초기 값 문제를 해결하기 위해, 하나는 이 방정식에 슈뢰딩거 고유값 방정식을 연관시킨다.

$\displaystyle \property _{x}-u\properties =\putda \propert$

여기서 $\psi {\displaystyle }$ ${\displaystyle \psi}$은(는) t와 x의 알 수 없는 함수이고 u는 $t{\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaysty$ t$=0}$을(를) 제외하고 알 수 없는 Korteweg-de Vries 방정식의 해법이다$.$ 상수 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$은(는) 고유값이다$$.

슈뢰딩거 방정식을 통해 우리는

${\displaystyle u={\frac {1}{\frac }}\properties _{xx}-\properda.}$

이것을 Korteweg-de Vries 방정식으로 대체하고 통합하면 방정식이 주어진다.

${\displaystyle \psi \{t}+\psi _{xx}-3(u-\lambda )\psi _{x}=C\psi +D\psi \int{\frac {1}{2}}dx}$

여기서 C와 D는 상수다.

해결방법

1단계. 비선형 부분 미분 방정식을 결정한다. 이것은 보통 연구되고 있는 상황의 물리학을 분석함으로써 이루어진다.

2단계. 전진 산란법을 사용한다. 이것은 Lax 쌍을 찾는 데 있다. The Lax pair consists of two linear operators, ${\displaystyle L}$ and ${\displaystyle M}$, such that ${\displaystyle Lv=\lambda v}$ and ${\displaystyle v_{t}=Mv}$. It is extremely important that the eigenvalue ${\displaystyle \lambda }$ be independent of time; i.e. ${\$$디스플레이 스타일 \lambda _{t}=0.$$}$ 이에 필요한$$ 조건과 충분한 조건은 다음과 같이 결정된다: $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$= ${\displaystyle \lambda }$ v ${\displaystyle Lv$=\lambda $v}$을(를) 얻기 위해$$ 시간을 들여서

${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.}$

$v{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle t_{}}$ ${\$ 수율에$$ $대해$ ${\displaystyle M}$ v ${\displaystyle Mv}$ 연결

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.}$

오른쪽 끝에 재배치하는 것은 우리에게

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.}$

그러므로,

${\displaystyle L_{t}v+LMv-MLv=\lambda _{t}v.}$

$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \ne }$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v\not =0$이므로, 이는 if와 ${\displaystyle {if}_{}}$만 if t =${\displaystyle {}_{}}$0 ${\displaystyle \lambda _{t}=0}$을(를) 의미한다.

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=0.\,}$

이건 Lax의 방정식이야. ${\displaystyle {Lax}_{}}$의 방정식에서 $L{\displaystyle {}_{}}$ t ${\$는 $정확히$ t ${\displaystyle$ t}에 $의존$하는 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$의 시간 파생어라는$$ 것이다$.$ 이러한 방식으로 분화를 정의하는 이유는 $슈뢰딩거{\displaystyle }$ 연산자인 L {\$displaystyle L$의 가장 단순한 예에서 비롯된다(슈뢰딩거 방정식 참조).

${\displaystyle L=\partial _{xx}+u,}$

여기서 u는 "potential"이다. Comparing the expression ${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}}$ with ${\displaystyle \partial _{t}\left(v_{xx}+uv\right)}$ shows us that ${\displaystyle L_{t}=u_{t},}$ thus ignoring the first term.

적절한 Lax 쌍을 혼합한 후 Lax의 방정식이 원래 비선형 PDE를 복구하는 경우여야 한다.

단계 3. 각 고유값 $\lambda {\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$과(와) 관련된 고유 특성의 시간 진화$,$ 규범 상수 및 반사 계수를 결정한다(이 세 가지 모두 소위 산란 데이터로 구성됨). 이 시간 진화는 해결할 수 있는 선형 보통 미분 방정식의 시스템에 의해 주어진다.

4단계. 겔판드-레비탄-마르첸코 적분 방정식(이스라엘 모이세비치 겔판드와 보리스 모이세비치 레비탄;^[1] 블라디미르 알렉산드로비치 마르첸코^[2])을 풀어서 역 산란 절차를 수행하여 원래의 비선형 PDE의 최종 솔루션을 얻는다. 이를 위해서는 모든 산란 데이터가 필요하다. 반사계수가 0이면 공정이 훨씬 쉬워진다. $이{\displaystyle }$ 단계는 L ${\displaystyle L}$이(가) 순서 2의 차등 또는 차등 연산자일$$ 경우 작동하지만 더 높은 주문의 경우 반드시 그렇지는 않다. 그러나 모든 경우에 역 산란 문제는 리만-힐버트 요인화 문제로 축소할 수 있다. (어느 접근방법은 Ablowitz-Clarkson(1991)을 참조한다. 수학적으로 엄격한 치료는 마르첸코(1986)를 참조하라.)

통합형 방정식의 예

• 코르테웨그-데 브리스 방정식
• 비선형 슈뢰딩거 방정식
• 카마사-홀름 방정식
• 사인-고든 방정식
• 토다 격자
• 이시모리 방정식
• Dym 방정식

통합형 방정식의 추가 예는 통합형 시스템에서 찾을 수 있다.

참조

• M. Ablowitz, H. Segur, Solitons and the 역 산란 변환, SIAM, 필라델피아, 1981.
• N. 아사노, Y. 카토, 비선형파 방정식을 위한 대수 및 스펙트럼 방법, 롱맨 과학 및 기술, 영국 에섹스, 1990.
• M. Ablowitz, P. Clarkson, Solitons, 비선형 진화 방정식과 역 산란, Cambridge University Press, Cambridge, 1991.
• Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1967), "Method for Solving the Korteweg-deVries Equation", Physical Review Letters, 19: 1095–1097, Bibcode:1967PhRvL..19.1095G, doi:10.1103/PhysRevLett.19.1095
• Gardner, Clifford S.; Greene, John M.; Kruskal, Martin D.; Miura, Robert M. (1974), "Korteweg-deVries equation and generalization. VI. Methods for exact solution.", Comm. Pure Appl. Math., 27: 97–133, doi:10.1002/cpa.3160270108, MR 0336122
• V. A. 마르첸코, "Sturm-Louville Operators and Applications", Birkhauser, Basel, 1986.
• J. Shaw, 2004년 필라델피아 SIAM 광섬유 통신의 수학 원리
• R.K. 불로, P.J. 카우드레이. Current Physics 17의 "Solitons" 주제. 1980년 베를린 하이델베르크 뉴욕 스프링거 베를라크.

외부 링크

• "Introductory mathematical paper on IST" (PDF). (300KiB)
• 역 산란 변환과 용해 이론