귀무성 정리

귀무성 정리는 분할된 행렬의 역행위에 관한 수학적 정리로, 행렬에 있는 블록의 귀무성이 그 역행렬에 있는 보완적 블록의 귀무성과 동일하다고 기술하고 있다.여기서 무효는 커널의 차원이다.그 정리는 구스타프손(1984년)에 의해 추상적인 설정에서 증명되었고, 행렬에 대해서는 (Fiedler & Markham 1986년)에 의해 증명되었다.

행렬과 그 역행렬을 네 개의 하위 행렬로 분할:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}^{-1}={\begin{bmatrix}E&F\\G&H\end{bmatrix}.}$

오른쪽의 칸막이는 A가 m-by-n 블록이면 E가 n-by-m 블록이어야 한다는 의미에서 왼쪽의 칸막이가 전치되어야 한다.

귀무성 정리의 진술은 이제 오른쪽 블록의 귀무성이 왼쪽 블록의 귀무와 동일하다는 것이다(Strang & Nguyen 2004).

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {nullity} \,A&=\operatorname {nullity} \,H,\\\operatorname {nullity} \,B&=\operatorname {nullity} \,F,\\\operatorname {nullity} \,C&=\operatorname {nullity} \,G,\\\operatorname {nullity} \,D&=\operatorname {nullity} \,E.\end{정렬}}}$

More generally, if a submatrix is formed from the rows with indices {i₁, i₂, …, i_m} and the columns with indices {j₁, j₂, …, j_n}, then the complementary submatrix is formed from the rows with indices {1, 2, …, N} \ {j₁, j₂, …, j_n} and the columns with indices {1, 2, …, N} \ {i₁, i₂, …, i_m}, where N is the size of the whole matrix.귀무성 정리는 어떤 귀무성(mubatrix)의 귀무성(nullity)은 역귀성의 상호보완성 하위성(nullity)의 귀무성(nullity)과 같다고 명시한다.

참조

• Gustafson, William H. (1984), "A note on matrix inversion", Linear Algebra and Its Applications, 57: 71–73, doi:10.1016/0024-3795(84)90177-0, ISSN 0024-3795.
• Fiedler, Miroslav; Markham, Thomas L. (1986), "Completing a matrix when certain entries of its inverse are specified", Linear Algebra and Its Applications, 74 (1–3): 225–237, doi:10.1016/0024-3795(86)90125-4, ISSN 0024-3795.
• Strang, Gilbert; Nguyen, Tri (2004), "The interplay of ranks of submatrices" (PDF), SIAM Review, 46 (4): 637–646, doi:10.1137/S0036144503434381, hdl:1721.1/3885, ISSN 1095-7200.