수치법

이 글은 일반적인 참고문헌 목록을 포함하고 있지만, 그에 상응하는 인라인 인용구가 충분하지 않기 때문에 대체로 검증되지 않은 상태로 남아 있다. 좀 더 정밀한 인용구를 도입하여 이 기사를 개선할 수 있도록 도와주십시오. (2016년 9월) (이 템플릿 메시지를 제거하는 방법과 시기 알아보기)

수치 분석에서 수치 방법은 수치 문제를 해결하기 위해 고안된 수학적 도구다. 프로그래밍 언어에서 적절한 수렴 검사를 갖는 수치 방법의 구현을 수치 알고리즘이라고 한다.

수학적 정의

$F{\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle F(x,y)=0}$을(를) 잘 지적된 문제가$$ 되게 하라. ${\displaystyle F:X\times Y\rightarrow \mathbb {R} }$ is a real or complex functional relationship, defined on the cross-product of an input data set ${\displaystyle X}$ and an output data set ${\displaystyle Y}$, such that exists a locally lipschitz function ${\displaystyle g:X\rightarrow Y}$ $f{\displaystyle }$ ${\displaystyle F$ $y{\displaystyle }$= ${\displaystyle g}$ (${\displaystyle x}$) ${\displaystyle$$$($x,y)}$의 모든 루트$({\displaystyle x,}$ y)에 대해$,$ f${\displaystyle (x}$, y$$${\displaystyle )}$= $(\displaystyle F(x,y)=0}$의 근사치에 대한 숫자 방법을 정의한다$.$

$\displaystyle \left\{M_{n}\right\}{n\in \mathb {N}=\left\{n}F_{n}(x_{n},y_{n})=0\right\}_{n\in \mathb {N},}$

$F{\displaystyle {}_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle Y_{}}$ n${\displaystyle {}_{}}$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$$X_{n}\times Y_{n}\rightarrow \mathbb {R} }$, ${\displaystyle x_{n}\in X_{n}}$ and ${\displaystyle y_{n}\in Y_{n}}$ for every ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$. The problems of which the method consists need not be well-posed. 만일 그렇다면 방법은 안정적이거나 잘 되어 있다고 한다.^[1]

일관성

Necessary conditions for a numerical method to effectively approximate ${\displaystyle F(x,y)=0}$ are that ${\displaystyle x_{n}\rightarrow x}$ and that ${\displaystyle F_{n}}$ behaves like ${\displaystyle F}$ when ${\displaystyle n\rightarrow \infty }$. So, a numerical method는 함수${\displaystyle {}_{}}$순서 {${\displaystyle {{Fn}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {{}_{}}_{}}$ ${\displaystyle {n\mathbb{}}_{}}$n N$${\$displaystyle \left\{}$인 경우에만 consistency라고 한다.$F_{n}\right\}_{n\in \mathb{N}}}}}}}$ 포인트와이즈가$$ 솔루션 세트$$ $S{\displaystyle }$ ${\displaystyle S}$의 $F{\displaystyle }$ ${\displaystyle F}$에 수렴:

${\displaystyle \lim F_{n}(x,y+t)=F(x,y,t)=0,\quad \quad \forall (x,y,t)\in S.}$

$S{\displaystyle }$ ${\\displaystyle S}$에서 $F{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n{}_{}}$= ${\displaystyle F}$, ${\displaystyle \forall }$ ${\displaystyle n\mathbb{}}$ $\$ N {\$displaystyle F_{n}=F,\all$ n$\in$ \$mathb$ {N}$}$에서 이 방법은$$ 엄격히 일관된다고 한다.^[1]

수렴

Denote by ${\displaystyle \ell _{n}}$ a sequence of admissible perturbations of ${\displaystyle x\in X}$ for some numerical method ${\displaystyle M}$ (i.e. ${\displaystyle x+\ell _{n}\in X_{n}\forall n\in \mathbb {N} }$) and with ${\displ$$aystyle y_{n}(x+\ell _{n})\in Y_{n}}$ the value such that ${\displaystyle F_{n}(x+\ell _{n},y_{n}(x+\ell _{n}))=0}$. A condition which the method has to satisfy to be a meaningful tool for solving the problem ${\displaystyle F(x,y)=0}$ is convergence:

${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall \varepsilon >0,\exists n_{0}(\varepsilon )>0,\exists \delta _{\varepsilon ,n_{0}}{\text{ such that}}\\&\forall n>n_{0},\forall \ell _{n}:\ \ell _{n}\ <\delta _{\varepsilon ,n_{0}}\Rightarrow \ y_{n}(x+\ell _{n})-y\ \leq \varepsilon .\end{aligned}}}$

$\yn$ $}$ N ${\$$}}}}}}}}$에 대한 포인트 와이즈 융합이 관련 방법의 융합임을$$ 쉽게 증명할 수 있다.^[1]

참조