실현된 변동성에 대한 옵션

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금융에서 실현된 변동성에 대한 옵션(또는 변동성 옵션)은 특정 기초자산의 연차화된 실현된 변동성(주식 지수, 채권, 환율 등) 개념이 내재된 지급함수가 파생상품 증권의 하위 분류다.널리 거래되고 있는 또 다른 변동성 파생상품은 변동성스왑을 지칭하는 것으로, 이는 미래에 실현되는 변동성에 대한 선도계약이다.

변동성 옵션의 긴 포지션은 바닐라 옵션과 마찬가지로 연차별화된 실현된 변동성과 미래의 어느 정해진 시점(유효성 타격)에 어느 정도 합의된 가격에 단기 포지션(유효성 타격)을 교환할 의무는 없다.그 보수는 보통 약간의 명목상의 금액으로 현금으로 지불된다.이 금융계약을 일반옵션과 구별하는 것은 위험측정이 자산수익과는 무관하지만 순전히 가격변동성에 속한다는 것이다.결과적으로, 트레이더들은 그것을 기초자산을 보유함으로써 방향적 위험을 감수하지 않고 포트폴리오 포지션을 위험회피하기 위해 가격 변동성 변동을 추측하는 도구로 사용할 수 있다.

정의들

실현된 변동성

실제로 연간화된 실현된 변동성은 연간 실현된 분산의 제곱근에 의한 이산형 표본 추출에서 해석된다.만약+내부 가격의 1{\displaystyle n+1}시료 채취 지점, St 0이라고 말한다 n, S에선 2,…, St n{\displaystyle S_{t_{0}},S_{t_{2}다 나는{\displaystyle t_{나는} 있어 제가 거기 − 0≤지 1<>즉,}}}당시 관찰};나는 T{\displaystyle 0\leq t_{i-1}< ≤는 과목은;t_{나는},S_{t_{n},\dots.\leq$모든$ $i{\displaystyle }$= 1,${\displaystyle 2}$,${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle i=1,2,\ldots,n}$에 대해 T$}$을(를) 선택한 다음$,$ 연간화된 실현된 분산을 다음과 같이 평가한다.

${\displaystyle RV_{d}}={\frac {A}{n}\sum _{n1}^{n}\ln ^{2}{{{\frac {S_{t_{i}}}}{S_{i-1}}}}{\Big )}}}}}}}}}}}}}}}}$

어디에

• $[\displaystyle A}$은(는) 가격을 매일 모니터링할 경우$$ $일반적$으로 A${\displaystyle }$= ${\displaystyle 252}$ ${\displaystyle$ A$=252}$ 또는 주간 또는 $월간{\displaystyle }$ 관측의 경우$$ A${\displaystyle }$= ${\displaystyle 52}$ ${\displaystyle A=52}$ 또는$$ $A{\displaystyle }$= ${\displaystyle 12}$ ${\displaystytle A=12}$로 선택하는 연간화 요인이다$$.
• ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T}$은(는) $n{\displaystyle }$/ ${\displaystyle A}$. ${\displaystyle n/{A}$ 숫자와 동일한 옵션 만료 날짜입니다.$}$

이 설정을 통해 R $V{\displaystyle \sqrt{}}$ ${\displaystyle \sqrt{d_{}}}$ ${\$을(를) 연간화된 실현된 변동성으로 지정한다$$.

또한 관측치 수 $n{\displaystyle }${\$displaystyle n$}이 무한대로$$ 증가하면 이산적으로 정의된 실현된 변동성이 기초자산 2차 변동의 제곱근으로 확률적으로 수렴된다.

${\displaystyle \lim _{n\to \inflit }{\sqrt {RV_{d}}={\sqrt {{\frac {1}{}}{\sqrt{1}{}}}}}{\sqrt}{}}T}}\int _{0}^{T}\sigma(s)\,ds}}=\\sqrt {RV_{c}}}}}$

결국 실현된 변동성의 연속 샘플링 버전을 정의한다.^[1]이 표기법을 사용하여 변동성 파생상품의 가격을 책정하는 것이 어느 정도 편리하다는 것을 알 수 있다.그러나 계약은 일반적으로 이산형 표본 추출에서 인용되기 때문에 해법은 이산형 표본의 근사 형태일 뿐이다.

변동성옵션지급

만약 우리가 정하면

• ${\displaystyle K_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{vol}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$vol$}^{C}}$는 변동성 스트라이크여야 하며

• ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L}$은(는) 화폐 단위 옵션의 개념적 금액이며$$, 연간 변동성 포인트당 USD 또는 GBP라고 말한다.

그런 다음, R ${\displaystyle \sqrt{{}_{}}}$ ($){\${\$sqrt {RV_{(\cdot )}}}}($또는 변동성 통화 및 투입)에 기록된 통화 및 풋 옵션의 만료 시 보상은 다음과 같다.$$

${\displaystyle \left({\sqrt {RV_{(\cdot )}}-K_{\text{vol}^{C}\right)^{+}\time L}$

그리고

${\displaystyle \left(K_{\text{vol}^{C}-{\sqrt {RV_{(\cdot )}}\오른쪽)^{+}\time L}$

respectively, where ${\displaystyle {\sqrt {RV_{(\cdot )}}}={\sqrt {RV_{d}}}}$ if the realized volatility is discretely sampled and ${\displaystyle {\sqrt {RV_{(\cdot )}}}={\sqrt {RV_{c}}}}$ if it is of the continuous sampling.그리고 그들의 현재 가치를 인식하기 위해서는 다른 하나는 퍼트콜 패리티의 보조에 의해 동시에 얻어지기 때문에 그것들 중 하나만 계산하는 것으로 충분하다.

가격 및 평가

차익거래가 없는 인수에 대해서는 기본 $자산가격{\displaystyle }$S${\displaystyle }$= (${\displaystyle S_{}{}_{}}$t ) ${\displaystyle {0\mathrm{}t}_{}}$ t ${\displaystyle {\le }_{}}$ t ≤ T ${\$ S$=(S_{t})_{0\leq t}}}{$0\$leq t}}}}$ 위험중립 확률 $Q{\displaystyle \mathbb{}}$ ${\$에 따라 모델링하고 다음과 같은 시간-vique-Schloescoloescoloescolloescoloescollack-soloescolo:

${\dplaystyle {\frac {dS_{t}{S_{t}}=r(t)\,dt+\sigma(t)\,dW_{t},\;;;S_{0}>0}$

여기서:

• ${\displaystyle r}$( ${\displaystyle t}$) ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\$은(시간$$ 변동) 무위험 이자율,
• ( )> 0 ${\displaystyle \sigma (t)>0}$은(시간 변동성)이며,
• ${\displaystyle W=(W_{t})_{0\leq t\leq T}}$ is a Brownian motion under the filtered probability space ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {F} ,\mathbb {Q} )}$ where ${\displaystyle \mathbb {F} =({\mathcal {F}}_{t})_{0\leq t\leq T$$}}}}{\displaystyle W$의 자연 여과 입니다.

$그런{\displaystyle {}_{}^{}}$ 다음, $C{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {t{}_{}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\text{0}}_{{}_{}}^{}}$$vol$ {\$displaystyle t_$${0}^{{0$}^{\$text{vol}}$이(가) 나타내는$$ 시간 t 0 {\$displaystyle$$$t_{0$}}$의 공정 가격 콜을 구할 수 있다$$.

${\displaystyle C_{t_{0}^{\operatorname {vol}} }:=e^{-\int_{t_{0}^{{0}^{}}}T}r\,ds}\operatorname {E}^{\mathb {Q}}}\좌측[{\sqrt {RV_{(\cdot )}}}-K_{\operatorname {vol}{}^{C}\우측)^{+}\mid {\mathcal {F}_{t_{0}\오른쪽],}$

where ${\displaystyle \operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[X\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]}$ represents a conditional expectation of random variable ${\displaystyle X}$ with respect to ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t_{0}}}$ under the risk-neutral probability ${\displa$$ystyle \mathbb {Q} }$. The solution for ${\displaystyle C_{t_{0}}^{\operatorname {vol} }}$ can somehow be derived analytically if one perceive the probability density function of ${\displaystyle {\sqrt {RV_{(\cdot )}}}}$, or by some approximation approaches such as Monte Carlo methods.

시간 변동을 초래하는 무위험이자율과 지속적인 가격 변동성을 갖는 이산형 표본추출을 통한 분석적 가격 변동성 옵션

특별한 사건에 대한 내용은 연간을 깨달았다 변덕을 분리되어time-varying 무위험 이자율 r(s){\displaystyle r(s)}과 지속적인 가격 volatity σ하고, 0{\displaystyle \sigma>0}, Rujivan과 Rakwongwan(2021년)[2]우리가 RV의 비중심 키이 염기 유통 속성을 활용할 수 있다는 것으로 표본 추출은d$$${\$$displaystyle{\sqrt{RV_{d}}}}$은(는$)$ C t 0 ${\displaystyle {\mathrm{vol}}_{{}_{}}^{}}$ {\$displaystyle C_{0$}^{\$operatorname${vol$}}}}}}}}}$에 대한 분석 가격 공식을 얻기 위해 재고 있는 유럽 옵션에 대한 블랙-숄즈 파생과 유사한 절차와 함께$$ 제공된다$.$

즉, 우리가 먼저 정의를 내리면

• $\displaystyle \mu _{i:=\int _{t_{i-1}^{t_{i-}r(s)\,ds-{\frac {1}{1}:{2}}\sigma ^{2}\Delta t,}$

• ${\displaystyle \lambda :={\frac {\sqrt {\sum_{i=0}^{n}\mu_{i}^{2}}:{\sigma {\sqrt{\\delta t}},},},},}$

• $displaystyle \beta :=\sigma {\sqrt {\frac {\Delta$$T$$}}\time 100\;\;}$ 그리고

• ${\displaystyle }$$\Delta {\displaystyle }$ t ${\displaystyle :=}$ t${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ := ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$-$$i - 1 {\$displaystyle \Delta t:=t_{i$}-t_${i$:1}} 모든 i =$$0$$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 1}$, ${\displaystyle \dots ,}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle$ i$=0,1,\ldots ,n}$

변동성 호출을 위한 폐쇄형 가격결정 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle C_{t_{0}^{\operatorname {vol}}=e^{-\int _{t_{0}^{{0}^{}}}T}r(s)\,ds}\operatorname {E} ^{\mathbb {Q} }[({\sqrt {RV_{d}}}-K_{\operatorname {vol} }^{C})^{+}\mid {\mathcal {F}}_{t_{0}}]=e^{-\int _{t_{0}}^{T}r\,ds}(K_{\operatorname {vol} _{j}-K_{\operatorname {vol} }^{C}+I_{\operatorname {vol} _{j}}}$

for ${\displaystyle j=1,2}$ indexed the cases ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2}>0}$ and ${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}\mu _{i}^{2}=0}$, respectively, where

• ${\displaystyle K_{\operatorname {vol} _{1}}:=\sigma {\sqrt {\frac {\pi \Delta t}{2}}}{\textbf {L}}_{\frac {1}{2}}^{({\frac {n}{2}}-1)}{\Big (}-{\frac {\lambda ^{2}}{2}}{\Big )}\times {\sqrt {\frac {A}{n}}}\;\;}$ and

• ${\displaystyle K_{\operatorname {vol} _{2}}:=\sigma {\sqrt {2\Delta t}{2}}{2}}}}{\Mama({\frac{n+1}{2}})}}}}}}}}}}\time {\sqrt{\frqrt {\a}{n}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}}}}}}}{n}}}}}}}}}}}}$

변동성 스왑의 공정한 파업 가격을 나타낸다.

• ${\displaystyle I_{\operatorname {vol} _{1}}:=\int _{0}^{K_{\operatorname {vol} }^{C}}(K_{\operatorname {vol} }^{C}-y){\frac {1}{\beta ^{2}}}f_{1,{\sqrt {Y}}}{\Big (}{\frac {y}{\beta ^{2}}}:n,\lambda {\Big )}dy,}$

• ${\displaystyle I_{\operatorname {vol} _{2}}:=\int _{0}^{K_{\operatorname {vol} }^{C}}(K_{\operatorname {vol} }^{C}-y){\frac {1}{\beta ^{2}}}f_{2,{\sqrt {Y}}}{\Big (}{\frac {y}{\beta ^{2}}}:n{\Big )}\,dy,}$

• ${\displaystyle f_{1,{\sqrt {Y}}}(y;n,\lambda ):={\frac {e^{-{\frac {y^{2}+\lambda ^{2}}{2}}}y^{n}\lambda }{(\lambda y)^{\frac {n}{2}}}}{\textbf {I}}_{{\frac {n}{2}}-1}(\lambda y),}$

• ${\$$={\frac$ {y$^{n-1$}e$^{-{\frac {y^{2}}:{2$}}:{$2^{\frac{n-2}{2}}:}\감마({\frac {n}{2$

• ${\displaystyle {\textbf {L}}_{\nu }^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(\alpha +\nu )!x^{k}}{(\nu -k)!$$(\cHB +k)!k!$$}}}}$은(는) 매개 변수 $\alpha {\displaystyle }${\$displaystyle \alpha$}과$$(와) 부분 $순서{\displaystyle }$ {$${\$displaystyle \nu }$을(를) 가진 라구에르 함수$,$

• ${\$$={\frac {x}{2}}\sum _{k=0}^{\inflt }{\frac {\x^{2}}:{4}}}{\$$frac {\frac}})$$^{k}}{k!$$\감마(\$$nu +k+1)$$}}}$은(는) 매개 변수 ${\displaystyle \nu }$을(를) 가진 1종류의 수정된 베셀 함수다$$.

• ${\displaystyle \Gamma (x):$$=\int _{0}^{\inful }t^{x-1}e^{-t}\,dt}$는 감마함수다.

위의 표현은 변동성옵션에 대한 폐쇄형 가격결정식을 제공하며, 이는 계산 작업이 필요하지 않기 때문에 실무자들이 선호한다.그러나 이는 결정론적 이자율과 일정한 가격 변동성에만 적용되며, 이는 두 변수 모두 확률적 과정으로 입증되는 실제 시장과 경미하게 일치한다.불행히도 현재 그러한 광범위한 모델을 다룰 공식은 발표되지 않아 변동성 파생상품 연구개발에 대한 흥미로운 주제를 남겨두고 있다.

참고 항목

• 변동성스왑
• 분산스왑
• 실현된 분산에 대한 옵션
• 변동성(금융)

참조