광석 조건

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수학에서, 특히 링 이론으로 알려진 대수학 영역에서, 오레 조건은 상호교환적 링을 넘어 확장되는 문제, 즉 더 일반적으로 링의 국산화라는 문제와 관련하여, 외이스테인 오레가 도입하는 조건이다.링 R의 곱셈 부분 집합 S에 대한 오른쪽 Ore 조건은 intersection R과 s ∈ S의 경우, 교차점 a S ∩ sR ≠ ∅ ∅. 0이 아닌 원소 집합이 오른쪽 Ore 조건을 만족하는 (비확정) 도메인을 오른쪽 Ore 도메인이라고 한다.왼쪽 사례는 유사하게 정의된다.^[1]

일반 아이디어

목표는 승법 부분 집합 S에 대한 분수 R[S⁻¹]의 오른쪽 링을 구성하는 것이다.즉, 형태적인 요소를 그대로 가지고⁻¹ 작업하고, 세트 R[S⁻¹]에 링 구조를 갖기를 원한다.문제는 제품에 대한 명확한 해석(bt⁻¹⁻¹)이 없다는 것이다. 실제로 우리는 b를 지나 s를⁻¹ "이동"하는 방법이 필요하다.sb를⁻¹₁₁⁻¹ 제품 b로 다시 쓸 수 있어야 한다는 뜻이다.^[2]sb⁻¹ = bs를₁₁⁻¹ 왼쪽에서 s, 오른쪽에서 s를₁ 곱하면 bs₁ = sb를₁ 얻는다.따라서₁ 우리는 주어진 a와 s에 대해 s₁ ≠ 0과 같은₁ a와₁ s의₁ 존재의 필요성을 본다.

적용

각 적분 영역은 (내장을 통해) 분수 영역의 하위 문자열이라는 것이 잘 알려져 있기 때문에, 모든 요소가 비 0과 rs⁻¹ 형식에 속하고 동일한 구조가 비협정 영역을 취하여 같은 재산과 분할 링(비협정 필드)을 연관시킬 수 있는지 묻는 것은 당연하다.정답은 때때로 "아니오", 즉 유사한 "분수분수 우분할 링"을 가지고 있지 않은 도메인이 있다는 것이 밝혀졌다.

모든 오른쪽 Ore 도메인 R에 대해, D의 모든 요소가 R의 R에 대한 형식 r의⁻¹ R과 R의 nonzero의 형태인 서브링으로서 R을 포함하는 고유한 (자연 R-이형성까지의) 분할 링 D가 있다.이와 같은 디비전 링 D는 R의 오른쪽 분수의 링이라고 하며, R은 D에서 올바른 순서라고 한다.왼쪽 분수와 왼쪽 순서의 고리 개념은 D의 요소가 sr⁻¹ 형식인 것과 유사하게 정의된다.

D에서 R이 올바른 순서라는 정의는 D가 형식 rs의⁻¹ 요소들로 전적으로 구성되어야 한다는 조건을 포함하고 있다는 것을 명심해야 한다.Ore 조건 중 하나를 만족하는 도메인은 디비전 링의 하위 링으로 간주될 수 있지만, D가 형식 sr이⁻¹ 아닌 요소를 가질 수 있기 때문에 R이 D의 왼쪽 순서라는 것을 자동으로 의미하는 것은 아니다.따라서 R은 오른쪽이 아닌 오레 도메인일 가능성이 있다.직관적으로 D의 모든 요소가 형식 rs라는⁻¹ 조건은 R이 D의 "큰" R-하위절이라고 말한다.사실 그 조건은 R이_R D의_R 필수적인 하위 모듈임을 보장한다.마지막으로 Ore 조건을 모두 만족시키지 못하는 분할 링에 도메인의 예도 있다(아래 예 참조).

또 다른 자연스러운 질문은 "분할 링의 서브링이 언제 옳은 오레인가?"이다.하나의 특성은 D가 평평한 왼쪽 R-모듈인 경우에만 디비전 링 D의 서브링 R이 오른쪽 Ore 도메인이라는 것이다(Lam 2007, Ex. 10.20).

R이 도메인이 아닌 경우, 즉 공통의 배수가 있어야 하는 경우에 대해 보통 다른 강력한 버전의 Ore 조건이 주어진다.

c = au = bv

0이 아닌 0이 아닌 u와 함께.이 경우 오레의 정리는 인용문의 (우측 또는 좌) 고전적인 고리라고 불리는 오버링의 존재를 보장한다.

예

통신 도메인은 자동으로 Ore 도메인인데, 비제로 a와 b의 경우 aR in bR에서는 ab이 non제로가 되기 때문이다.오른쪽 주 이상 도메인과 같은 오른쪽 노메테리아 도메인도 오른쪽 오레 도메인으로 알려져 있다.더욱 일반적으로, 알프레드 골디는 R이_R 한정된 균일한 차원을 가지고 있는 경우에만 도메인 R이 Ore가 옳다는 것을 증명했다.올바른 베즈아웃 도메인이 오레가 옳다는 것도 사실이다.

A subdomain of a division ring which is not right or left Ore: If F is any field, and ${\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}$ is the free monoid on two symbols x and y, then the monoid ring ${\displaystyle F[G]\,}$ does not satisfy any Ore condition, but it is a free ideal ring and thus indeed a subring of a di(Cohn 1995, Cor 4.5.9)에 의한 비전 링.

승수 집합

Ore 조건은 다른 승법 하위 집합으로 일반화할 수 있으며 (Lam 1999, §10) 및 (Lam 2007, §10)에서 교과서 형식으로 제시된다.링 R의 부분 집합 S는 R의 모든 a, b의 경우, s의 경우 t의 경우 다음 세 가지 조건을 만족하면 우측 분모 집합이라고 한다.

1. S에서 st; (세트 S는 곱절 정도로 닫힌다.)
2. aS ∩ sR이 비어 있지 않음; (세트 S는 오른쪽 허용 가능)
3. sa = 0이면 s에 au = 0이 있는 u가 있다; (set S는 오른쪽으로 되돌릴 수 있다.)

S가 우측 분모 세트인 경우, RS의⁻¹ 링을 정류 케이스와 유사하게 구성할 수 있다.만약 S가 정규 원소의 집합(R에서 b가 0이 아닌 경우, ab과 ba가 0이 아닌 경우, R에서 해당 원소의 집합)으로 간주된다면, 오른쪽 Ore 조건은 단순히 S가 오른쪽 분모 집합이라는 요건일 뿐이다.

역방향 국산화 특성은 이 보다 일반적인 설정에서 유지된다.S가 링 R에 대해 설정된 오른쪽 분모인 경우 왼쪽 R-모듈 RS는⁻¹ 평탄하다.Furthermore, if M is a right R-module, then the S-torsion, tor_S(M) = { m in M : ms = 0 for some s in S }, is an R-submodule isomorphic to Tor₁(M, RS⁻¹), and the module M ⊗_R RS⁻¹ is naturally isomorphic to a module MS⁻¹ consisting of "fractions" as in the commutative case.

메모들

참조

• Cohn, P. M. (1991), Algebra, vol. 3 (2nd ed.), Chichester: John Wiley & Sons, pp. xii+474, ISBN 0-471-92840-2, MR 1098018, Zbl 0719.00002
• Cohn, P.M. (1961), "On the embedding of rings in skew fields", Proc. London Math. Soc., 11: 511–530, doi:10.1112/plms/s3-11.1.511, MR 0136632, Zbl 0104.03203
• Cohn, P. M. (1995), Skew fields, Theory of general division rings, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications, vol. 57, Cambridge University Press, ISBN 0-521-43217-0, Zbl 0840.16001
• Lam, Tsit-Yuen (1999), Lectures on modules and rings, Graduate Texts in Mathematics, vol. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, Zbl 0911.16001
• Lam, Tsit-Yuen (2007), Exercises in modules and rings, Problem Books in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98850-4, MR 2278849, Zbl 1121.16001
• Stenström, Bo (1971), Rings and modules of quotients, Lecture Notes in Mathematics, vol. 237, Berlin: Springer-Verlag, pp. vii+136, doi:10.1007/BFb0059904, ISBN 978-3-540-05690-4, MR 0325663, Zbl 0229.16003

외부 링크

• 광석 조건의 PlanetMath 페이지
• Ore의 정리 PlanetMath 페이지
• 인용구의 클래식 링에 있는 PlanetMath 페이지