대수

대수학은 대수 체계와 그 체계 내에서 방정식의 조작을 연구하는 수학의 한 분야입니다. 덧셈과 곱셈과 같은 표준 산술 연산 이외의 변수와 대수 연산을 도입하는 산술의 일반화입니다.

초등 대수학은 학교에서 가르치는 대수학의 주요 형태로, 불특정 값에 대한 변수를 이용하여 수학적 진술을 살펴봅니다. 어떤 값에 대한 설명이 참인지 확인하려고 합니다. 이를 위해 변수를 분리하기 위해 방정식을 변환하는 다양한 방법을 사용합니다. 선형 대수학은 여러 선형 방정식, 소위 선형 방정식 시스템에 나타나는 변수를 조사하는 밀접한 관련이 있는 분야입니다. 모든 방정식을 동시에 푸는 값을 발견하려고 합니다.

추상 대수학은 대수적 구조를 연구하는데, 대수적 구조는 수학적 객체의 집합과 그 집합에 정의된 하나 또는 여러 이진 연산으로 구성됩니다. 수 이외의 수학적 대상과 비연산이 가능하기 때문에 초등 대수와 선형 대수를 일반화한 것입니다. 그것은 그들이 사용하는 연산의 수와 그들이 따르는 법칙에 따라 그룹, 고리, 필드와 같은 다양한 유형의 대수 구조를 구별합니다. 보편 대수학은 이진 연산에 국한되지 않고 다양한 클래스의 대수 구조를 특징짓는 더 추상적인 패턴을 조사하는 더 많은 수준의 일반화를 구성합니다.

대수적 방법은 기하학과 같은 분야에서 특정 문제를 해결하기 위해 고대 시대에 처음 연구되었습니다. 후속 수학자들은 방정식을 구체적인 응용과 무관하게 풀기 위한 일반적인 기술을 조사했습니다. 그들은 엄격한 수학적 형식주의가 개발된 16세기와 17세기까지 문제와 해결책에 대한 언어적 설명에 의존했습니다. 19세기 중반 대수학의 범위는 방정식 이론을 넘어 다양한 유형의 대수 연산과 대수 구조를 포괄하는 것으로 확대되었습니다. 대수학은 기하학, 위상수학, 수론, 미적분학과 같은 수학의 여러 분야와 논리학, 경험과학과 같은 다른 탐구 분야와 관련이 있습니다.

정의 및 어원

대수학은 대수적^[a] 연산과 대수적 구조를 연구하는 수학의 한 분야입니다.^[2] 대수적 구조란 실수와 같은 수학적 대상들이 덧셈과 곱셈과 같은 그 집합에 정의된 대수적 연산들과 함께 비어 있지 않은 집합입니다.^[3] 대수학은 대수 구조의 법칙, 일반적인 특성 및 유형을 탐구합니다. 특정 대수 구조 내에서 방정식의 변수 사용과 이러한 방정식을 조작하는 방법을 연구합니다.^[4]

대수학은 종종 산술의 일반화로 이해됩니다.^[5] 산술은 실수와 같은 특정한 수의 영역에서 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈과 같은 산술 연산을 연구합니다.^[6] 기본 대수학은 추상화의 첫 번째 수준을 구성합니다. 산술과 마찬가지로 특정 유형의 숫자와 연산으로 제한합니다. 숫자 외에 변수 형태의 부정적인 양을 허용함으로써 이러한 연산을 일반화합니다.^[7] 추상 대수학에서는 더 높은 수준의 추상화가 이루어지는데, 추상 대수학은 특정 영역에 국한되지 않고 그룹과 고리와 같은 다양한 등급의 대수 구조를 연구합니다. 이러한 대수적 구조는 일반적인 산술 연산에만 국한되지 않으며 이 외에도 다른 이진 연산을 다룹니다.^[8] 보편 대수는 이진 연산에 국한되지 않고 특정 클래스의 대수 구조에 관심이 없으며 일반적으로 대수 구조의 특성을 조사한다는 점에서 여전히 추상적입니다.^[9]

"대수"라는 용어는 때때로 기본 대수만을 지칭하거나 추상 대수만을 지칭하는 더 좁은 의미로 사용됩니다.^[11] 대수는 셀 수 있는 명사로 사용될 때 특정 유형의 이진 연산이 장착된 벡터 공간을 포함하는 특정 유형의 대수 구조입니다.^[12] 문맥에 따라 "대수"는 Lie 대수 또는 연상 대수와 같은 다른 대수 구조를 나타낼 수도 있습니다.^[13]

대수학이라는 단어는 아랍어 용어 الجبر(al-jabr)에서 유래했으며 원래 뼈 세팅의 외과적 치료를 나타냅니다. 이 용어는 9세기에 페르시아의 수학자 무함마드 이븐 무사 알콰리즈미가 방정식을 푸는 방법을 설명하기 위해 사용하고 대수학에 관한 논문의 제목으로 사용했을 때 수학적 의미를 얻었습니다. 그 단어는 16세기에 이탈리아어, 스페인어, 중세 라틴어에서 영어로 들어갔습니다.^[14] 처음에는 용어의 의미가 방정식 이론, 즉 다항식을 푸는 관점에서 조작하는 기술로 제한되었습니다. 이것은 19세기에^[b] 대수학의 범위가 다양한 종류의 대수적 연산과 대수적 구조에 대한 연구와 그 기본 공리를 포함하는 것으로 확장되면서 바뀌었습니다.^[17]

주요지점

소대수

학교 대수학, 대학 대수학, 고전 대수학으로도 불리는 초등 대수학은 가장 오래되고 기본적인 대수학 형태입니다.^[18] 변수의 사용에 의존하고 공식이 어떻게 변환될 수 있는지를 조사하는 산술의 일반화입니다.^[19]

산술은 수 연산을 연구하는 학문으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈 등의 산술 연산을 이용하여 수가 어떻게 결합되고 변형되는지를 연구합니다. 예를 들어 덧셈 연산은 $2{\displaystyle }$+ ${\displaystyle 5}$ = 7 ${\display 2+5$=$7}$에서와 같이 덧셈이라고 하는 두 개의 숫자를 합이라고 하는 세 번째 숫자로 결합합니다$.$

기본 대수는 규칙적인 숫자 외에 변수를 허용하면서 동일한 연산에 의존합니다. 변수는 지정되지 않거나 알 수 없는 수량에 대한 기호입니다. 그들은 정확한 값을 모르는 관계를 진술하고 어떤 숫자가 사용되는지에 관계없이 참인 일반 법칙을 표현할 수 있게 합니다. 예를 들어 $식$ ${\displaystyle 2}$× 3 = ${\displaystyle 3}$× 2 ${\displaystyle 2\times$3=$3\times 2}$는 산술에 속하며 이러한 특정 숫자에 대해서만 등식을 표현합니다. 숫자를 변수로 대체함으로써 $식$ ${\displaystyle a}$× b = ${\displaystyle b}$× a ${\displaystyle a\times$ b=$b\times a}$에 표현된 가환성의 원리와 같은 가능한 숫자 조합에 적용되는 일반 법칙을 표현할 수 있습니다$.$

대수적 표현은 변수와 숫자를 결합하기 위해 산술 연산을 사용하여 형성됩니다. 관례적으로 $소문자{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x$ $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 및$$ $z{\displaystyle }$ ${\displaystyle z}$는 변수를 나타냅니다$$. ${\displaystyle {경우}_{}}$에 따라 x 1 ${\$ ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $2{\displaystyle {}_{}}$ ${\$및 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ $3{\displaystyle {}_{}}$ ${\$에서와 같이 변수를 구별하기 위해 첨자가 추가됩니다$.$ 소문자 $a{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ a$\},$ b ${\displaystyle$ $b$$}$$및{\displaystyle }$ $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ c$}$는 일반적으로 상수 및 계수에 사용됩니다.^[c] 예를 들어, ${\displaystyle 5}$ x${\displaystyle }$+ 3 ${\displaystyle$5 x + $3}$이라는 표현은 숫자 5에 $변수{\displaystyle }$ x ${\displaystyle x}$를 곱하고$$ 결과에 숫자 3을 더해서 만든 대수식입니다$$. 대수식의 다른 예로는 ${\displaystyle 32}$ ${\displaystyle x}$ z ${\displaystyle 32xyz}$ 및 ${\displaystyle \mathrm{64<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; 32xyz\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline\; mw-invert"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/dac6f9148904415002f9fc4a9649bdf737247f89"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:5.898ex;\; height:2.509ex;">}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ 1 ${\displaystyle {}_{}^{}}$+ 7 ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 13}$ ${\displaystyle 64x_{1}^{2}+7x_{2}-13}$이 있습니다$.$^[20]

대수적 표현은 두 표현을 서로 연관시키는 문장을 구성하는 데 사용됩니다. 등식은 $5$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle 6}$ x = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{y}}$+ 4 ${\displaystyle 5x^{2}$ + 6 x = 3$y$+ $}$에서와 같이 등호(= ${\displaystyle$ =})가 있는 두 개의 식을 비교하여 만든 문장입니다$.$ 부등식은 다음 기호 ${\displaystyle$<}), 다음 기호 ${\$$displaystyle$ $>})$ 및 부등식 기호$($≠ ${\displaystyle$ \n)와 같은 기호로 구성됩니다.$등식}).$ 단순한 표현식과 달리 진술은 참이거나 거짓일 수 있으며 진술의 참값은 일반적으로 변수의 값에 따라 달라집니다. 예를 들어, $x$ ${\displaystyle x}$이 2 또는 -2이면 $x$ ${\displaystyle 2^{}}$ = ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle$ x$^{2$}=$4}$ 문은 true이고 그렇지 않으면 false입니다. 변수가 있는 방정식은 항등식과 조건식으로 나눌 수 있습니다. 항등식은 식 $2$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 5}$ ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle 7}$ x ${\displaystyle 2x+5x$=$7x}$와 같이 변수에 할당할 수 있는 모든 값에 대해 참입니다$.$ 조건식은 일부 값에 대해서만 참입니다. $예$를 들어 x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 4}$ = ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle x+4$=$9}$ 방정식은 $x$ ${\displaystyle x}$이 5인 경우에만 참입니다.

기본 대수학의 주요 목적은 진술이 참인 값을 결정하는 것입니다. 이를 위해 문을 변환하고 조작하는 기술이 사용됩니다. 이 과정을 안내하는 핵심 원리는 방정식의 한쪽에 적용되는 모든 연산이 방정식의 다른 쪽에도 수행되어야 한다는 것입니다. 예를 들어, 방정식의 왼쪽에서 5를 빼면 양쪽의 균형을 맞추기 위해 방정식의 오른쪽에서 5를 빼야 합니다. 이러한 단계의 목표는 일반적으로 관심 있는 변수를 한쪽에서 분리하는 것입니다. 이 과정은 해당 변수에 대한 방정식을 푸는 것으로 알려져 있습니다. 예를 들어 $x$ ${\displaystyle x}$에 대해 x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 7}$ = 4 ${\displaystyle x-7$=$4}$ 방정식을 양쪽에 7을 더하면 풀 수 있으며, 이는 왼쪽에 있는 $x$ ${\displaystyle$ $x$$}$ 방정식을 분리하여 $x$ = ${\displaystyle 11}$ ${\displaystyle$ x=$11}$ 방정식을 만듭니다$.$

방정식을 푸는 데 사용되는 다른 많은 기술이 있습니다. 단순화는 복잡한 표현식을 동등하고 간단한 표현식으로 대체하는 데 사용됩니다. 예를 들어 $식{\displaystyle \mathrm{}}$ 7 ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 7x-3x}$을 식 4 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle 4x}$로 대체할$$ 수 있습니다$.$^[24] 인수분해는 여러 요인의 곱으로 식을 다시 쓰는 데 사용됩니다. 이^[d] 기법은 다항식에서 식이 0인 값을 결정하는 데 일반적입니다. 예를 들어 다항식 ${\displaystyle {x\mathrm{}}^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 3}$ x${\displaystyle }$- ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle$ x$^{2}-3x-10}$은${\displaystyle }$(${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle 2)(x}$- ${\displaystyle 5)}$ ${\displaystyle (x$+ 2$)(x-5)}$로 인수분해할 수 있습니다$$$.$ 다항식은 요인 중 하나가 0인 경우, 즉 x ${\displaystyle$ x$}$가 -2 또는 5인 경우에만 전체적으로 0입니다.^[26] 변수가 여러 개인 문의 경우 대체는 하나의 변수를 이 변수를 사용하지 않는 등가식으로 대체하는 일반적인 기법입니다. 예를 들어, $y$ = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle$y = $3x}$임을 알고 있다면 $7$ x ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle 7xy}$ 식을 ${\displaystyle 21}$ x ${\displaystyle 2^{}}$ ${\displaystyle 21x^{2}}$로 단순화할 수 있습니다$.$ 비슷한 방법으로 한 변수의 정확한 값을 알고 있다면 다른 변수의 값을 결정하는 데 사용할 수 있습니다.

초등 대수학은 수학, 과학, 비즈니스 및 일상 생활의 많은 분야에 응용됩니다.^[28] 기하학 분야에서 중요한 응용 분야는 그래프의 형태로 기하학적 도형을 설명하기 위해 대수 방정식을 사용하는 것에 관한 것입니다. 이를 위해 방정식의 서로 다른 변수는 좌표로 해석되고 방정식을 푸는 값은 그래프의 점으로 해석됩니다. 예를 들어 방정식 $y$ = ${\displaystyle 0.5}$ ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$y = 0$.5$ x - 1$}$에서 $x$ ${\displaystyle x}$가 0으로 설정되어 있으면 방정식이 참이 되려면 $y$ ${\displaystyle y}$가 -1이어야 합니다. $즉{\displaystyle }$, x ${\displaystyle$ x$}$- ${\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 쌍$$$({\displaystyle 0,}$- ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle (0,$ - $1)}$이 방정식 그래프의 일부입니다. $반대$로 ${\displaystyle }$ ${\displaystyle$ $x$$}$- y ${\displaystyle$ y$}$ 쌍$({\displaystyle \mathrm{0<img\; alt="\{\backslash displaystyle\; y\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline\; mw-invert"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d"\; style="vertical-align:\; -0.671ex;\; width:1.155ex;\; height:2.009ex;">},}$ ${\displaystyle 7)}$ ${\displaystyle (0, 7)}$은$($는) 방정식을 풀지 않으므로 그래프의 일부가 아닙니다. 그래프는 방정식을 푸는 ${\displaystyle }$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$- y ${\displaystyle y}$ 쌍의$$ 총합을 포함합니다.^[29]

선형대수

선형 대수학은 선형 방정식의 시스템을 연구하기 위해 기본 대수학 방법을 사용합니다.^[30] 변수에 다른 변수를 곱하지 않고 지수화, 근의 추출, 로그와 같은 연산이 변수에 적용되지 않으면 방정식은 선형입니다. 예를 들어, 식 ${\displaystyle 0.25}$ ${\displaystyle x}$- 4 = ${\displaystyle \mathrm{y}}$ ${\displaystyle 0.25x-4$=$y}$ 및 $x$ ${\displaystyle 1_{}}$- ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$+ 3 ${\displaystyle \mathrm{x}}$ ${\displaystyle 3_{}}$ = ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle x_{1}-7x_{2}+3x_{3$}}$=$0}은$($는) 선형인 반면 x $2$ $=$${\displaystyle }$${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x^{2$}$=$y}$및$ 3 $x$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}15}$ $=$$$ ${\displaystyle 3x_{1}x_{2}+$15$=$$0}$은(는) 비선형입니다. 여러 방정식이 모두 동일한 변수 집합에 의존하는 경우 방정식 체계를 형성합니다.^[31]

선형 방정식 시스템은 종종 행렬과^[e] 벡터를^[f] 통해 표현되어 전체 시스템을 하나의 방정식으로 표현합니다. 이는 변수를 각 식의 왼쪽으로 이동하고 상수 항을 오른쪽으로 이동하여 수행할 수 있습니다. 그런 다음 방정식의 모든 계수를 포함하는 행렬을 공식화하고 변수로 구성된 열 벡터와 곱하여 시스템을 표현합니다.^[32] 예를 들어, 방정식 체계는

(a) ${\displaystyle 9}$ ${\displaystyle {}_{}}$ 1${\displaystyle {}_{}}$+ ${\displaystyle 3}$ x ${\displaystyle 2_{}}$- ${\displaystyle 13}$ x ${\displaystyle 3_{}}$ = 0 ${\displaystyle 9x_{1}+3x_{2}-13x_{3$}=$0}$

(b) ${\displaystyle 2.3}$ ${\displaystyle x_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$+ 7 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 3_{}}$ = 9 ${\displaystyle 2.3x_{1}$ + $7x_{3$$}=9}$

(c) ${\displaystyle }$- ${\displaystyle 5_{}}$ x 1${\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 17}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle 2_{}}$ =${\displaystyle }$- ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -5x_{1}-17x_{2$}=-$3}$

로 표기할 수 있습니다.

선형대수학은 기본대수학과 마찬가지로 방정식을 해결하기 위해 방정식을 조작하고 변환하는 데 관심이 있습니다. 여러 방정식을 한 번에 다루고 모든 방정식이 동시에 참인 값을 찾는 것으로 기본 대수학을 넘어섭니다. 예를들면, if the system is made of the two equations ${\displaystyle 3x_{1}-x_{2}=0}$ and ${\displaystyle x_{1}+x_{2}=8}$ then using the values 1 and 3 for ${\displaystyle x_{1}}$ and ${\displaystyle x_{2}}$ does not solve the system of equations because it only solves 첫 번째 방정식이지만 두 번째 방정식은 아닙니다.^[33]

선형대수학에서 가장 핵심적인 두 가지 질문은 방정식 체계가 해를 가지고 있는지 여부와 만약 그렇다면, 그것이 유일한 해를 가지고 있는지 여부입니다. 해를 갖는 방정식 체계를 일관성이라고 합니다. 이는 방정식이 서로 모순되지 않는 경우입니다. 두 개 이상의 방정식이 서로 모순되면 방정식 체계가 일관되지 않고 해가 없습니다. For example, the equations ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=0}$ and ${\displaystyle x_{1}-3x_{2}=7}$ contradict each other since no values of ${\displaystyle x_{1}}$ and ${\displaystyle x_{2}}$ exist that solve both equations at the same time.^[34]

일관된 방정식 체계가 유일한 해를 갖는지 여부는 변수의 수와 독립 방정식의 수에 따라 달라집니다. 여러 방정식이 동일한 정보를 제공하지 않고 서로 도출할 수 없는 경우 서로 독립적입니다. 변수의 수가 독립 방정식의 수와 같으면 고유 해가 존재합니다. 반면에 결정되지 않은 시스템은 방정식보다 변수가 많고 해가 일정하다면 해의 수가 무한히 많습니다.^[35]

방정식을 풀기 위한 기본 대수학에서 사용되는 많은 기술은 선형 대수학에서도 적용됩니다. 대체 방법은 하나의 방정식에서 시작하여 그 방정식에서 하나의 변수를 분리합니다. 다음 식으로 진행하여 고립된 변수를 찾은 식으로 대체하여 미지의 변수의 수를 1개씩 줄입니다. 모든 변수의 값이 결정될 때까지 이와 나머지 방정식에 동일한 프로세스를 다시 적용합니다.^[36] 제거 방법은 다른 방정식에 하나의 방정식을 추가하여 새로운 방정식을 만듭니다. 이렇게 하면 두 방정식에 나타나는 하나의 변수를 제거할 수 있습니다. ${\displaystyle 식}$ x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 7}$ y = ${\displaystyle 3}$ ${\displaystyle -x+7y$=$3}$ 및 ${\displaystyle 2}$ x${\displaystyle }$- 7 ${\displaystyle y}$ = ${\displaystyle 10}$ ${\displaystyle 2x-7y$=$10}$을$($를) 포함하는 시스템의 경우$$첫 번째 식을 두 번째 식에 추가하여 $y$ ${\displaystyle y}$를 제거하여 x ${\displaystyle x}$가 13임을 나타낼 수 있습니다. 어떤 경우에는 방정식을 다른 방정식에 추가하기 전에 상수를 곱해야 합니다.^[37] 크레이머의 법칙, 가우스-조던 제거, LU 분해와 같은 많은 고급 기법이 행렬 계산을 기반으로 알고리즘을 구현합니다.^[38]

기하학적 수준에서 방정식 체계는 기하학적 수치로 해석될 수 있습니다. 두 개의 변수가 있는 시스템의 경우 각 방정식은 2차원 공간의 한 선을 나타냅니다. 두 선이 교차하는 지점이 솔루션입니다. 일관성이 없는 시스템의 경우 두 선이 평행하게 실행됩니다. 즉, 두 선은 교차하지 않기 때문에 해결책이 없습니다. 두 방정식이 독립적이지 않으면 동일한 선을 설명하므로 한 방정식의 모든 해는 다른 방정식의 해이기도 합니다. 이러한 관계는 방정식을 그래프로 표시하고 방정식이 교차하는 위치를 결정하여 해를 찾는 것을 가능하게 합니다.^[39] 변수가 더 많은 방정식 시스템에도 동일한 원리가 적용되며, 차이점은 방정식이 선이 아니라 고차원 수치를 설명한다는 것입니다. 예를 들어, 세 개의 변수가 있는 방정식은 3차원 공간의 평면에 해당하며 모든 평면이 교차하는 점이 방정식 체계를 해결합니다.^[40]

추상대수

현대 대수학이라고도 불리는 추상 대수학은 다양한 종류의 대수 구조를 연구합니다.^[41] 대수적 구조는 수의 덧셈과 같은 수학적 대상에 대한 연산을 이해하기 위한 틀입니다. 기본 대수와 선형 대수가 특정 대수 구조의 범위 내에서 작동하는 반면, 추상 대수는 대수 구조가 서로 어떻게 다른지, 그리고 군, 고리, 장 등 어떤 종류의 대수 구조가 있는지 비교하는 보다 일반적인 접근 방식을 취합니다.^[42]

형식적인 수준에서 대수적 구조는 하나 또는 여러 연산과 함께 기본 집합이라고 하는 수학적 객체의 집합입니다^[g].^[h] 추상 대수학은 일반적으로 기본 집합에서 임의의 두 개체를 입력으로 가져와 이 집합에서 출력으로 다른 개체로 매핑하는 이진 연산으로^[i] 제한합니다.^[46] 예를 들어, $대수$ 구조 ⟨ N$,$ + ⟩${\displaystyle \langle \mathbb {$N}, +\rangle }는 자연수를 기본 집합으로 하고 덧셈을 이진 연산으로 합니다. 기본 집합에는 숫자 이외의 수학적 개체가 포함될 수 있으며 연산은 정규 산술 연산에만 제한되지 않습니다.^[47] 예를 들어, 기하학적 물체의 대칭 그룹의 기본 집합은 회전과 같은 기하학적 변환으로 구성되며, 그 아래에서 물체는 변하지 않습니다. 이진 연산은 두 개의 변환을 입력으로 사용하고 첫 번째 변환에 이어 두 번째 변환을 적용한 결과 변환을 출력으로 사용하는 함수 구성입니다.^[48]

추상대수학은 연산이 준수하는 법칙이나 공리와 사용하는 연산의 수를 기반으로 대수 구조를 분류합니다. 가장 기본적인 유형 중 하나는 하나의 연산이 있고 이 연산이 연관적이고 항등식 요소와 역등식 요소가 있어야 하는 그룹입니다. 여러 응용 프로그램의 순서가 중요하지 않은 경우, 즉 $({\displaystyle a}$ ∘ $b)$ ∘ $c {\displaystyle (a\$circ b)\circ c${\displaystyle \}}$가 모든 요소에 $대한$∘($b$∘ c$)${\displaystyle a\circ (b\circ c)}와${\displaystyle \mathrm{동일}}$한 경우 작업이 연관됩니다. 연산은 ${\displaystyle \mathrm{다른}}$ 요소의 값을 변경하지 않는 하나의 요소 e가 존재하는 경우, 즉 ∘ ${\displaystyle e}$ = ${\displaystyle e}$가 a = {\$displaystyle$a$\circ$= e$circ$ a = a}를 ∘하는 경우 항등 요소 또는 중성 요소를 갖습니다. 어떤 $요소$에 대해 ${\displaystyle$ $a$$}$에 대해 그 효과를 반전시키는$$ 역수 $요소{\displaystyle {}^{}}$ a${\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ a$^{-1}}$이(가) 있는$$ 경우 연산은 역수 요소를 허용합니다. 어떤 원소가 그 역에 연결되어 있다면 그 결과는 중성 원소 e이며, ${\displaystyle {\mathrm{공식적}}^{}}$으로는 ∘ a - ${\displaystyle 1^{}}$ = ${\displaystyle a}$ - 1 ∘ a = $e {\displaystyle$a$\circ$ a$^{-1}$ = a^{-1}\$circ$a=e} 입니다. 이러한 요구 사항을 충족하는 모든 대수 구조는 군입니다. ${\displaystyle 예}$를 들어, ⟨ $Z,$ + ⟩${\displaystyle \langle \mathbb {$Z}, +\rangle }은 덧셈 연산과 함께 정수 집합에 의해 구성된 그룹입니다. $중성{\displaystyle }$ 요소는 0이고 ${\displaystyle$ a$}$ 숫자의 역 요소는${\displaystyle }$- ${\displaystyle -a}$입니다$.$^[50] 반대로 자연수는 양의 수만 포함하고 있으므로 역원소가 없기 때문에 무리를 형성하지 않습니다.^[51] 그룹 이론은 그룹을 연구하는 추상 대수학의 하위 학문입니다.^[52]

링은 덧셈과 곱셈과 유사하게 작동하는 두 가지 연산$($∘ ${\displaystyle \$circ$}$ 및 ⋆$displaystyle$ \star})을 갖는 대수적 구조입니다. 그룹의 모든 요구 사항은 첫 번째 연산에도 적용됩니다. 연관성이 있고 항등식 요소와 역등식 요소가 있습니다. ${\displaystyle \mathrm{또한}}$, ∘ ${\displaystyle b}$ =$$b ∘ $a${\$displaystyle$ a\$circ$b = b\circ a}는 모든 요소에 대해 참임을 의미합니다. 분배성의 공리는 두 연산이 서로 상호 작용하는 방식을 지배합니다. ⋆$$(${\displaystyle b}$∘ $c$)${\displaystyle }$=${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$⋆$)$ ∘ (a$$⋆ c) {\$displaystyle$ a$\star ($${\displaystyle b}$\$circ$c) = (a${\displaystyle \backslash \mathrm{star}}$ b)\circ (a${\displaystyle \backslash \mathrm{star}}$c${\displaystyle )\}}$및${\displaystyle }$(${\displaystyle b}$∘$c$) ⋆ a = (b ⋆$a$) ∘$${\displaystyle (b\circ c)\star a = (b\star a)\circ (c\star a)}라고 명시되어 있습니다. $정수$의 고리는 ⟨${\displaystyle }$Z${\displaystyle ,}$ $+,$ × ⟩${\displaystyle \langle \mathbb {$Z},$+,\backslash$times \rangle}로 표시되는 고리입니다. 두 연산 모두 연관성, 교환성, 분배성의 공리를 따르고 두 연산 모두 동일 원소와 역 원소를 가지면 고리는 필드가 됩니다. 정수의 고리는 곱셈적인 역수가 없기 때문에 필드를 형성하지 않습니다. 예를 들어, $7{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 7}$의 곱셈 역수는 정수의 일부가$$아닌 ${\displaystyle \frac{17}{}}$ ${\$입니다. 유리수, 실수, 복소수는 각각 연산 덧셈과 곱셈을 통해 필드를 형성합니다.^[58]

그룹, 고리, 필드 외에도 추상대수에 의해 연구되는 많은 다른 대수적 구조가 있습니다. 여기에는 마그마, 반군, 모노이드, 아벨 군, 교환 고리, 모듈, 격자, 벡터 공간 및 필드에 대한 대수가 포함됩니다. 설명하는 개체의 유형과 작업이 충족해야 하는 요구 사항이 서로 다릅니다. 추가적인 요구사항을 추가함으로써 기본적인 구조를 좀 더 발전된 구조로 바꿀 수 있다는 점에서 많은 부분이 서로 연관되어 있습니다.^[59] 예를 들어, 마그마의 작동이 연관성이 있는 경우 마그마는 세미그룹이 됩니다.^[60]

보편 대수

보편 대수학은 일반적으로 대수 구조를 연구하는 학문입니다. 이는 이진 연산에만 국한되지 않고 삼원 연산과 같이 더 많은 입력으로 연산할 수 있는 추상 대수의 일반화입니다. 보편 대수학은 기본 집합을 구성하는 특정 요소에 관심을 두지 않고 대신 서로 다른 대수 구조가 어떤 구조적 특징을 갖는지 조사합니다.^[61] 그러한 구조적 특징 중 하나는 다양한 대수적 구조에서 사실인 정체성에 관한 것입니다. 이러한 맥락에서 항등식은 기본 집합의 모든 요소에 대해 참인 보편 방정식 또는 방정식입니다. 예를 들어, 정류율은 $모든$ 요소에 대해 ∘ b ${\displaystyle$a\circ b}와 $b$∘ $a {\displaystyle$ b\circa}가${\displaystyle }동일$하다는 보편적인 방정식입니다. 모든 동일성을 공유하는 두 개의 대수 구조는 같은 다양성에 속한다고 합니다.^[63] 예를 들어, 정수의 고리와 다항식의 고리는 교환성과 연관성과 같은 동일한 동일성을 가지므로 동일한 다양성의 일부를 형성합니다. 이에 비해 유리수 분야는 곱셈적 역수의 존재와 같은 추가적인 동일성을 가지고 있기 때문에 이 품종에 속하지 않습니다.^[64]

보편 대수학은 정체성 외에도 준정체성과 관련된 구조적 특징에도 관심이 있습니다. 준정체성이란 특정한 조건하에서만 존재하면 되는 정체성을 말합니다.^[m] 모든 정체성이 준정체성이지만 모든 준정체성이 정체성인 것은 아니라는 의미에서 정체성의 일반화입니다. 모든 준동등성을 공유하는 대수적 구조는 동일한 준동등성에 속한다고 표현되는 특정 구조적 특징을 공통적으로 가지고 있습니다.^[65]

동형 사상은 보편 대수학에서 두 대수 구조를 비교하여 구조적 특징을 검토하는 도구입니다.^[66] 동형은 한 대수 구조의 기저 집합에서 특정 구조적 특성을 보존하는 다른 대수 구조의 기저 집합까지의 함수입니다. 두 대수 구조가 이진 연산을 사용하고 ${\displaystyle \mathrm{형태}}$ ⟨$$A가 있으면 ${\displaystyle \$lang$le$$$A$,\backslash {\displaystyle \mathrm{circ}}$\rangle$$} 및 ⟨ B를 ⋆ ⟩하고 ${\displaystyle$ \lang$le{\displaystyle }$B,\${\displaystyle \mathrm{star}}$ \${\displaystyle \mathrm{rangle}}$ $}$을$$∘ ⟩하면 $함수$ h는 A → B {\displaystyle h:$A\to B}$는 다음 요구 사항을 충족하는 경우 동형입니다. ${\displaystyle h(x}$ $∘$ y) $=$${\displaystyle }$h($x$ $⋆$ h(y)${\displaystyle$h(x$\circy$)$=$$$h(x)\star h(y)}. 동형 사상의 존재는 두 번째 대수 구조의 $연산$⋆ ${\displaystyle$\star}가 첫 번째 대수 구조의 $연산$∘${\displaystyle$ \circ}와 동일한 역할을 한다는 것을 보여줍니다. 동형 사상은 두 대수 구조 사이의 높은 유사성을 나타내는 특별한 유형의 동형 사상입니다. 동형은 두 대수 구조의 요소들 사이에 일대일 관계를 설정하는 것을 의미하는 이중적 동형입니다. 이것은 첫 번째 대수 구조의 모든 요소가 두 번째 구조의 매핑되지 않은 요소 없이 두 번째 구조의 하나의 고유한 요소에 매핑된다는 것을 의미합니다.^[68]

비교의 또 다른 도구는 대수 구조와 그 하위 대수 사이의 관계입니다.^[69] If ${\displaystyle \langle A,\circ \rangle }$ is a subalgebra of ${\displaystyle \langle B,\circ \rangle }$ then the set ${\displaystyle A}$ is a subset of ${\displaystyle B}$.^[n] A subalgebra has to use the same operations as the algebraic structure^[o] and they have to follow the same axioms. 여기에는 A ${\displaystyle$ A$}$에서 하위 대수의 모든 연산이 닫혀 $있어야{\displaystyle }$ 한다는 요구 사항이 포함됩니다$.$^[69] 예를 들어, 덧셈과 함께 짝수 정수의 집합은 덧셈과 함께 정수 전체 집합의 하위 대수입니다. 짝수 두 개의 합이 다시 짝수가 되기 때문입니다. 그러나 두 개의 홀수를 더하면 선택한 부분 집합의 일부가 아닌 짝수가 생성되기 때문에 홀수 정수 집합과 덧셈은 부분 대수가 아닙니다.^[70]

역사

대수학의 기원은 산술 계산과 미지의 양을 포함하는 수학 문제를 해결하려는 시도에 있습니다. 이러한 발전은 바빌로니아, 이집트, 그리스, 중국, 인도와 같은 다양한 지역에서 고대에 이루어졌습니다. 가장 초기의 문서 중 하나는 고대 이집트의 Rhind Papyrus로 기원전^[p] 1650년경에 작성되었으며 선형 방정식을 푸는 방법에 대해 논의하는데, 이것은 "수량; 그것의 네 번째가 추가됩니다. 15살이 됩니다. 수량이 어떻게 됩니까?" 비슷한 시기의 바빌로니아 점토판에서는 제곱을 완성하는 방법과 같은 일차 다항식과 이차 다항식을 푸는 방법을 설명합니다.^[71]

이 통찰들 중 많은 것들이 고대 그리스로 향했습니다. 기원전 6세기부터 그들의 주된 관심사는 대수학이 아닌 기하학이었지만 기하학 문제를 풀기 위해 대수학적 방법을 사용했습니다. 예를 들어, 그들은 피타고라스의 두 제곱법의 차이 공식과 나중에 유클리드의 요소에서 예시된 것처럼 길이와 면적을 알 수 없는 양으로 취하면서 기하학적 도형을 연구했습니다.^[72] 기원전 3세기 디오판토스는 산술이라는 책 시리즈에서 대수 방정식을 푸는 방법을 자세히 다루었습니다. 그는 다항식을 표현하기 위해 기호 표기법을 처음으로 실험했습니다.^[73] 고대 중국에서 수학적 예술에 관한 아홉 장의 책은 행렬과 같은 작도를 사용하는 것을 포함하여 대수 방정식을 풀기 위한 다양한 기술을 탐구했습니다.^[74]

이러한 초기 발전을 어느 정도까지 전조가 아닌 대수학적으로 적절한 부분으로 간주해야 하는지는 논란의 여지가 있습니다. 그들은 대수적 문제에 대한 해결책을 제공했지만 추상적이고 일반적인 방식으로 구상하지 않고 대신 특정 사례와 응용에 초점을 맞추었습니다.^[75] 이것은 서기 825년에 완성과 균형에 의한 계산에 관한 그의 책을 출판한 페르시아 수학자 알콰리즈미와 함께 바뀌었습니다.^[q] 양변을 "축소"하고 "균형"하여 선형 및 2차 방정식을 조작하는 데 사용할 수 있는 일반적인 방법에 대한 첫 번째 상세한 처리를 제시합니다.^[77] 대수학에 대한 다른 영향력 있는 공헌은 9세기의 아랍 수학자 타비트 이븐 쿠라와 11세기와 12세기의 페르시아 수학자 오마르 카얌으로부터 비롯되었습니다.^[78]

인도에서 브라마굽타는 7세기에 여러 변수가 있는 2차 방정식과 방정식 체계를 푸는 방법을 연구했습니다. 그의 다른 혁신들 중에는 대수 방정식에서 0과 음수를 사용하는 것이 있었습니다.^[79] 9세기의 인도 수학자 마하브 ī라와 12세기의 바흐카라 2세는 브라마굽타의 방법과 개념을 더욱 정교화했습니다. 1247년 중국의 수학자 진지샤오는 고차 다항식을 포함한 다항식의 수치적 평가를 위한 알고리즘을 포함하는 아홉 개의 섹션으로 된 수학 논문을 썼습니다.^[81]

이탈리아의 수학자 피보나치는 알콰리즈미의 아이디어와 기술을 그의 리버 아바치와 같은 책으로 유럽에 가져왔습니다.^[82] 1545년, 이탈리아의 다수학인 제롤라모 카르다노는 대수학의 많은 주제들을 다루었고, 3차 방정식과 4차 방정식을 푸는 일반적인 방법들을 처음으로 제시한 그의 책인 아르스 마그나를 출판했습니다.^[83] 16세기와 17세기 프랑스 수학자 프랑수아 비에테와 르네 데카르트는 변수와 연산을 나타내는 문자와 기호를 도입하여 방정식을 수학적 공식으로 표현하는 것이 가능해졌습니다. 그들의 전임자들은 문제와 해결책에 대한 구두 설명에 의존했습니다.^[84] 일부 역사학자들은 이러한 발전을 대수학 역사의 핵심 전환점으로 보고, 상징적 조작에 기초한 추상적 성격을 결여했기 때문에 그 이전에 도래한 것을 대수학의 선사시대로 간주합니다.^[85]

17세기와 18세기에 5도 이상의 다항식에 대한 일반적인^[r] 해를 찾으려는 많은 시도가 실패했습니다.^[88] 18세기 말, 독일의 수학자 카를 프리드리히 가우스는 대수학의 기본 정리를 증명했는데, 대수학은 일반적인 해를 제공하지 않고 어느 차수의 다항식 0의 존재를 설명합니다.^[15] 19세기 초, 이탈리아의 수학자 파올로 루피니와 노르웨이의 수학자 닐스 헨리크 아벨은 5차 이상 다항식에 대한 일반적인 해가 존재하지 않는다는 것을 보여줄 수 있었습니다.^[88] 그들의 연구 결과에 대한 반응으로 프랑스 수학자 에바리스테 갈루아는 나중에 갈루아 이론으로 알려진 것을 발전시켰고, 이는 다항식의 해에 대한 보다 심층적인 분석을 제공함과 동시에 집단 이론의 기초를 다졌습니다.^[16] 수학자들은 곧 집단 이론이 다른 분야와 관련이 있다는 것을 깨닫고 기하학이나 수론 같은 학문에 적용했습니다.^[89]

19세기 중반부터 대수학에 대한 관심은 기본 대수학과 관련된 다항식 연구에서 대수 구조에 대한 보다 일반적인 탐구로 옮겨져 추상 대수학의 등장을 알렸습니다. 이 접근법은 임의의 대수 연산의 공리적 기초를 탐구했습니다.^[90] 부울 대수, 벡터 대수, 행렬 대수와 같은 다양한 연산과 요소를 기반으로 한 새로운 대수 시스템의 발명은 이러한 발전을 수반했습니다.^[91] 추상대수학의 영향력 있는 초기 발전은 독일 수학자 다비드 힐베르트, 에른스트 슈타이니츠, 에미 노에테르, 에밀 아르틴에 의해 이루어졌습니다. 그들은 다양한 형태의 대수적 구조를 연구하고 기본 공리를 기반으로 그룹, 고리 및 필드와 같은 유형으로 분류했습니다.^[92] 보편 대수학과 관련된 훨씬 더 일반적인 접근법에 대한 아이디어는 영국의 수학자 알프레드 노스 화이트헤드가 1898년에 쓴 '보편 대수학에 관한 논문'에서 착안했습니다. 1930년대부터 미국의 수학자 개릿 버크호프는 이러한 아이디어를 확장하고 이 분야의 많은 기본 개념을 개발했습니다.^[93] 밀접하게 관련된 발전은 모델 이론, 범주 이론, 위상 대수학, 상리 대수학, Lie 대수학, 자유 대수학, 상리 군의 공식화였습니다.^[94]

적용들

대수학의 영향력은 광범위하고 경험 과학뿐만 아니라 수학의 많은 분야를 포함합니다. 대수적 표기법과 대수적 원리는 과학 법칙을 표현하고 방정식을 풀기 위해 물리학 및 관련 학문에서 핵심적인 역할을 합니다.^[95] 또한 공학, 경제, 컴퓨터 과학, 지리학과 같은 분야에서 관계를 표현하고 문제를 해결하며 시스템을 모델링하는 데 사용됩니다.^[96]

수학의 다른 분야

수학의 대수화는 대수적 방법과 원리를 수학의 다른 분야에 적용하는 과정입니다. 여기에는 변수 형태의 기호를 사용하여 보다 일반적인 수준에서 수학적 통찰력을 표현하고 대수학을 사용하여 물체가 서로 상호 작용하고 관계를 맺는 방법을 설명하는 수학적 모델을 개발하는 것이 포함됩니다.^[97] 대수학이 연구하는 추상적 패턴은 기하학, 위상학, 수론, 미적분학 등의 분야에서 구체적으로 응용할 수 있는 부분이 많기 때문에 가능합니다.^[98]

기하학은 대수적 진술로 설명할 수 있는 기하학 도형에 관심이 있습니다. 예를 들어, 방정식 $y$ = 3 ${\displaystyle x}$- ${\displaystyle 7}$ ${\displaystyle$y = $3x-7}$은 2차원 공간의 선을 설명하고, ${\displaystyle \mathrm{방정식}}$ ${\displaystyle x^{}}$ 2${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle y^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$+ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle 2^{}}$ = 1 ${\displaystyle x^{2}$ + y$^{2}$ + $z^{2$} =$1$은 3차원 공간의 구에 해당합니다. 대수기하학에서 특히 흥미로운 것은 더 복잡한 기하학 도형을 설명하는 데 사용할 수 있는 다항식 시스템에 대한 해인 ^[s]대수 다양성입니다.^[99] 대수적 추론은 기하학적 문제를 해결하는 데에도 사용될 수 있습니다. 예를 들어, 이 두 방정식으로 구성된 방정식 체계를 풀면 $y$ = x${\displaystyle }$+ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$y = $x$+ $1}$로 설명된 선이 x ${\displaystyle 2^{}}$+ ${\displaystyle y^{}}$ 2 = ${\displaystyle 25}$ ${\displaystyle$ x$^{2}+y^{2$}= $25}$로 설명된 원과 교차하는지 여부와 위치를 결정할 수 있습니다. 토폴로지는 연속 변형 작업 하에서 보존되는 기하학적 도형 또는 토폴로지 공간의 특성을 연구합니다. 대수 위상학은 위상 공간을 분류하기 위해 군 이론과 같은 대수 이론에 의존합니다. 예를 들어, 호모토피 그룹은 루프 또는 구멍의 존재를 기반으로 위상 공간을 분류합니다.^[101] 정수론은 정수의 성질과 관계에 관한 것입니다. 대수적 수 이론은 예를 들어 페르마의 마지막 정리와 같은 대수적 표현을 사용하여 법칙을 설명하고 정수의 고리와 같은 대수적 구조를 어떻게 형성하는지 분석함으로써 이 탐구 분야에 대수적 방법을 적용합니다.^[102] 대수학의 통찰력은 수학적 표현을 사용하여 변화와 축적 속도를 조사하는 미적분학과도 관련이 있습니다. 이 표현식이 어떻게 변환될 수 있는지, 그리고 이 표현식에서 어떤 역할을 하는지를 이해하기 위해서는 대수학에 의존합니다.^[103]

논리

논리학은 올바른 추론을 연구하는 학문입니다.^[104] 대수 논리학은 논리적 추론의 기초가 되는 구조와 패턴을 설명하고 분석하기 위해 대수적 방법을 사용합니다.^[105] 추론을 이끌어내는 활동에 미치는 구체적인 결과를 고려하지 않고 수학적 구조 자체를 이해하는 데 관심이 있습니다. 또 다른 부분은 논리의 문제가 대수학의 언어로 어떻게 표현될 수 있는지, 대수학적 분석을 통해 얻은 통찰력이 논리에 어떤 영향을 미치는지 조사합니다.^[106]

부울 대수는 명제 논리를 설명하는 대수 논리에서 영향력 있는 장치입니다.^[107] 명제는 참일 수도 있고 거짓일 수도 있는 진술입니다.^[108] 명제 논리는 논리적 연결을 사용하여 두 명제를 결합하여 복잡한 명제를 형성합니다. 예를 들어, 연결 "만약... 그러면 "비가 오면"과 "거리가 젖는다"는 명제를 결합하여 "비가 오면 거리가 젖는다"는 복잡한 명제를 형성하는 데 사용할 수 있습니다. 명제 논리는 복잡한 명제의 진리값이 그 구성요소의 진리값에 따라 어떻게 달라지는지에 관심이 있습니다.^[109] 부울 대수를 사용하면 진리값을 숫자로 해석하여 이 문제를 해결할 수 있습니다. 0은 거짓에 해당하고 1은 참에 해당합니다. 논리적 연결은 두 개의 숫자를 입력으로 받아 복잡한 명제의 참값에 해당하는 출력을 반환하는 이진 연산으로 이해됩니다.^[110] 대수 논리학은 또한 대수적 구조를 통해 논리의 더 복잡한 시스템을 어떻게 설명할 수 있는지, 그리고 이러한 대수적 구조가 어떤 다양성과 준변량에 속하는지에 관심이 있습니다.^[111]

교육

대수학 교육은 대부분 초등 대수학에 초점을 맞추고 있는데, 이것이 학교 대수학이라고 불리는 이유 중 하나입니다. 추상적 추론 및 일반화와 관련된 새로운 인지적 도전을 제기하면서 산술의 기초를 숙달해야 하기 때문에 일반적으로 중등 교육 전까지는 도입되지 않습니다.^[113] 수학적 상징성, 예를 들어 미지의 양을 표현하기 위해 변수를 사용할 수 있는 방법을 이해하도록 도와줌으로써 학생들이 수학의 추상적인 면에 익숙해지도록 하는 것을 목표로 합니다. 학생들에게 또 다른 어려움은 산술 계산과 달리 대수적 표현을 직접 풀 수 없는 경우가 많다는 사실입니다. 대신에, 학생들은 종종 알려지지 않은 양을 결정하는 것을 목표로 특정한 법칙에 따라 그것들을 변형시키는 방법을 배울 필요가 있습니다.^[114]

균형 척도를 사용하여 방정식을 나타내는 것은 학생들에게 대수학의 기본 문제를 소개하는 그림 같은 접근 방식입니다. 척도에 있는 일부 물체의 질량은 알 수 없으며 변수를 나타냅니다. 방정식을 푸는 것은 한쪽에 남아 있는 물체가 질량을 알 수 없는 물체일 때까지 양쪽이 균형을 유지하는 방식으로 양쪽의 물체를 더하고 제거하는 것에 해당합니다.^[112] 단어 문제의 사용은 대수학이 실제 상황에 어떻게 적용되는지 보여주는 또 다른 도구입니다. 예를 들어, 학생들은 나오미의 동생이 나오미보다 사과를 두 배 더 많이 가지고 있는 상황을 제시받을 수 있습니다. 둘 다 12개의 사과를 가지고 있기 때문에 학생들은 이 상황을 설명하는 대수 방정식($$ ${\displaystyle x}$+ ${\displaystyle x}$ = ${\displaystyle 12}$ ${\displaystyle 2x$+ x = $12$을 찾고 나오미가 몇 개의 사과를 가지고 있는지를 결정해야 합니다(${\displaystyle \mathrm{x}}$ = 4 ${\displaystyle$x= $4}).$

참고 항목

참고문헌

메모들

인용문

원천

외부 링크