p-adic 지수 함수

수학, 특히 p-adic 분석에서 p-adic 지수함수는 복잡한 숫자에 대한 일반적인 지수함수의 p-adic 아날로그다.복합적인 경우와 마찬가지로 p-adic logarithm이라는 역 함수를 가지고 있다.

정의

C의 일반적인 지수 함수는 무한 시리즈에 의해 정의된다.

${\displaystyle \exp(z)=\sum _{n=0}^{\inflt }{\frac{z^{n}}{n!}}.}$

완전히 유사하게 Q의_p 대수적 폐쇄의 완료인 C에_p 대한 지수함수를 정의한다.

${\displaystyle \exp _{p}(z)=\sum _{n=0}^{\n}{\frac{z^{n}}{n!}}.}$

그러나, 모든 C에 수렴되는 exp와 달리 exp는_p 디스크에만 수렴한다.

${\displaystyle z _{p}<p^{-1/(p-1)}.}$

이는 p-adic 계열은 합계가 0이 되는 경향이 있는 경우에만 수렴하기 때문이며, 각 합계의 분모에 있는 n!가 p-adolic적으로 매우 크게 만드는 경향이 있기 때문에, 오히려 분자에 z의 작은 값이 필요하다.

p-adic 지수(p-adic 지수)는 e로^x 표기되기도 하지만, e라는 숫자 자체는 p-adic 아날로그가 없다.파워 시리즈 exp_p(x)가 x = 1에서 수렴되지 않기 때문이다.p ≠ 2에 대해서는 e를 exp_p(p)의 p-th 루트로 선택할 수 있지만,^[a] 그러한 루트가 여러 개 있고 그 중에서 표준적인 선택이 없다.^[1]

p-adic 로그 함수

파워 시리즈

${\displaystyle \log _{p}(1+x)=\sum _{n=1}^{n=1}{n=1}{n=1}^{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}},}$

x < 1을 만족하는 x in C에_p 대한 수렴은 z - 1 < 1의 p-adic logarithm 함수 로그_p(z)를 정의하며, 통상적인 속성 로그_p(zw) = logz_p + logw를_p 만족한다.함수 로그는_p 이 마지막 속성을 계속 만족시키고 로그_p(p) = 0을 설정함으로써 C ×
p(C의_p 0이 아닌 원소 집합)의 모든 것으로 확장할 수 있다. 구체적으로는 C ×
p의 모든 원소 w는 w = p^r·lit·z, root of unity의 root,^[2] z - 1 < 1 이 경우 로그(w_p) = log_p(z)로 기록할 수 있다.^[b]C_p ×
p의 이 함수는 로그(p) = 0의 선택을 강조하기 위해 이와사와 로그(logarithm)라고 부르기도 한다. 실제로 C에서_p 로그_p(p)의 각 선택에 대해 z - 1 < 1>에서 C ×
p의 전체로 로그의 확장이 있다.^[3]

특성.

z와 w가 둘 다 exp에_p 대한 수렴 반경에 있다면, 그 합계는 너무 커 우리는 exp_p(z + w) = exp_p(z)exp_p(w)를 통상적으로 첨가하는 공식을 갖는다.

마찬가지로 z와 w가 C의_p 0이 아닌 요소인 경우 로그_p(zw) = logz_p + logw_p.

exp_p 도메인에 있는 z의 경우 exp_p(1+z_p) = 1+z, log_p(exp_p(z) = z가 있다.

이와사와 로그(z)의_p 뿌리는 정확히 p^r·ζ형식의 C의_p 원소로서 r은 합리적인 수이고 ζ은 단결의 뿌리인 것이다.^[4]

오일러의 아이덴티티인 e^2πi = 1의 C에는_p 아날로그가 없다는 점에 유의한다.이것은 스트라스만의 정리의 귀결이다.

C의 상황에 대한 또 다른 주요한 차이점은 exp의_p 융합 영역이 로그의_p 융합 영역보다 훨씬 작다는 것이다.변형된 지수함수인 Artin-Hasse 지수함수를 대신하여 z < 1로 수렴할 수 있다.

메모들

참조

• 제12장Cassels, J. W. S. (1986). Local fields. London Mathematical Society Student Texts. Cambridge University Press. ISBN 0-521-31525-5.
• Cohen, Henri (2007), Number theory, Volume I: Tools and Diophantine equations, Graduate Texts in Mathematics, vol. 239, New York: Springer, doi:10.1007/978-0-387-49923-9, ISBN 978-0-387-49922-2, MR 2312337
• Robert, Alain M. (2000), A Course in p-adic Analysis, Springer, ISBN 0-387-98669-3

외부 링크

• p-adic 지수 및 p-adic 로그