Paden-Kahan 서브 문제

파든-카한 하위 문제는 일반적인 로봇 조작자의 ^[1]역운동학에서 자주 발생하는 해결된 기하학적 문제의 집합이다.문제 집합이 완전한 것은 아니지만, 많은 산업용 ^[2]로봇에 대한 역운동학적 분석을 단순화하는 데 사용될 수 있다.

심플화 전략

지수법의 곱에 의해 정의된 구조 방정식의 경우, 파덴-카한 하위 문제는 역운동학 문제를 단순화하고 해결하기 위해 사용될 수 있다.특히 행렬 지수는 가환적이지 않다.

일반적으로 하위문제는 접합각을 해결하기 위해 역운동학 문제(예: 접합축의 교차점)의 특정 지점을 해결하기 위해 적용된다.

회전 관절 제거

단순화는 회전은 축에 있는 점에 영향을 미치지 않는다는 원리로 이루어집니다.예를 들어 ${\textstyle p}$ p $\textstyle$ p가 ${\textstyle p}$ 회전 트위스트의 ${\textstyle \xi }$ 축에 ${\textstyle \xi }$ 경우(\ $textstyle\xi$ 그 위치는 트위스트의 작동에 영향을 받지 않습니다.To Wit :

\displaystyle e^{\widehat\xi }\theta }p=p}

따라서, 구조 방정식의 경우,

e^{\widehat {\xi }_{1}\theta _{1}e^{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{3}}=g

{\textstyle \xi _{1}}

서 § 1

(\

_

{1

§

(\

textstyle

\xi

_

{

2})

및

{\textstyle \xi _{2}}

§

{\textstyle \xi _{3}}

{\textstyle \xi _{1}}

(\

textstyle

\

xi _{3

}})

{\textstyle \xi _{3}}

의

{\textstyle \xi _{3}}

{\textstyle \xi _{1}}

축에 있는

{\textstyle p}

p(\

textstyle

p

)

에

{\textstyle p}

방정식의 양쪽을 모두 0으로 바꿉니다

.

{\textstyle \xi _{2}}

(

textstyle

\

xi _

{2}

{\textstyle \xi _{2}}

의 수율

e^{\widehat {\xi}}_{1}\theta _{1}e^{\widehat {\xi}}_{2}\theta _{{3}}\theta _{3}}p=gp

§

{\textstyle \xi _{3}}

(\

textstyle \xi

_

{3

을 취소하면 이 값이 산출됩니다.

\displaystyle e^{\widehat {\xi }_{1}\theta _{1}e^{\widehat {xi }}_{2}\theta _{2}}p=gp}

, 1

{\textstyle \xi _{1}}

{

textstyle \xi

_ {1

}

{\textstyle \xi _{2}}

2

{\textstyle \xi _{2}}

{

textstyle \xi

_ {2

}

}가

{\textstyle \xi _{2}}

교차하는 경우 하위 문제 2로 해결할 수 있습니다.

노름

어떤 경우에는 방정식의 양쪽에서 점을 빼고 결과의 규범을 취함으로써 문제를 단순화할 수도 있다.

예를 들면,

e^{\widehat {\xi }_{1}\theta _{1}e^{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{3}}=g

§ 3

{\textstyle \xi _{3}}

{

textstyle \xi

_ {3}

{\textstyle \xi _{3}}

}

{\textstyle \xi _{1}}

1

{\textstyle \xi _{1}}

{

textstyle \

xi

{\textstyle \xi _{1}}

_ {

{\textstyle \xi _{1}}

} {\

{\textstyle q}

{\textstyle \xi _{2}}

{\ q

{ textstyle

q

{\textstyle \xi _{2}}

{\textstyle q}

{\

{\

{\textstyle \xi _{3}}

3 for

{\textstyle p}

{\ {\ {\ {\

{\textstyle p}

{\ {\ p {

textstyle

\

xi

{

{\textstyle q}

}

{\textstyle \xi _{3}}

a

a

of of2 a2 at2 at2 at2 at2 at2 at2 at2 at2 at2 at2 at2 at2

{\textstyle \xi _{3}}

at2 at2 。

yle

q }와

{\textstyle q}

양쪽의 규범을 취한다.

{displaystyle}\gp-q=\e^{\widehat {xi}}_{1}\theta _{1}e^{\widehat {xi}}}_{2}\theta _{\widehat {xi}}}}{\ta _{\ta _3p}={p

이 문제는 Subproblem 3을 사용하여 해결할 수 있습니다.

하위 문제 목록

각 서브문제는 기하학적 증명에 기초한 알고리즘으로 제시된다.여러 개의 해결책이 있거나 해결책이 없는 경우를 설명하기 위해 작성되어야 하는 주어진 하위 문제를 해결하기 위한 코드는 광범위한 로봇에 대한 역운동학 알고리즘에 통합될 수 있다.

하위 문제 1: 단일 축에 대한 회전

첫 번째 Paden-Kahan 서브 문제의 그림.

${\textstyle \xi }$ 크기를 갖는 0 피치 트위스트 ${\$ { $textstyle \xi$ }, ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 3 \ $textstyle$ p , $q$ \ in \ $mathbb$ { $R }^$ {3 $}$ 로 ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 합니다.§ $(\textstyle \theta$ )를 ${\textstyle \theta }$ 찾습니다.

e^{\widehat\xi }\theta }p=q

이 하위 문제에서는 $(\textstyle$ p $)$ 이 ${\textstyle p}$ 두 ${\textstyle q}$ $점$ $(\$ textstyle ${\textstyle q}$ q ${\textstyle q}$ 과 일치하도록 특정 축 $(\$ $textstyle$ \ $xi)$ 을 ${\textstyle \xi }$ 중심으로 회전합니다.

첫 번째 Paden-Kahan 하위 문제에서 투영된 원의 그림.

솔루션

r ${\textstyle r}$ { $textstyle$ \xi ${\textstyle r}$ ${\textstyle \xi }$ 의 축에 r { textstyle \ $xi$ ${\textstyle \xi }$ $}$ 을 ${\textstyle u=(p-r)}$ (를 ${\textstyle u=(p-r)}$ $점$ 으로 ${\textstyle r}$ .{ $textstyle$ ${\textstyle \xi }$ $u$ $=$ ( $)}$ 및 ${\textstyle v=(q-r)}$ $q-r$ 를 정의합니다. ${\textstyle r}$ ${\textstyle \xi }$ { $textstyle$ r ${\textstyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }r=r.}$ 은 $($ 으 ${\textstyle r}$ )의 축에 ${\textstyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }r=r.}$ . ${\textstyle e^{{\widehat {\xi }}\theta }r=r.}$ ${\textstyle e^{{\widehat {\omega }}\theta }u=v.}$ e ${\textstyle e^{{\widehat {\omega }}\theta }u=v.}$ ^ ${\textstyle e^{{\widehat {\omega }}\theta }u=v.}$ ${\textstyle e^{{\widehat {\omega }}\theta }u=v.}$ $.$ {\ $widehat {\$ widehat ${\theta }u =$ v.}

${\textstyle u'}$ 으로 벡터 ${\textstyle \omega \in \mathbb {R} }$ { $textstyle$ ${\textstyle \xi }$ $u$ ${\textstyle u'}$ } 및 ${\textstyle v'}$ ${\$ { $textstyle$ v ${\textstyle v'}$ }는 ${\textstyle v'}$ {\의 축에 수직인 평면에 대한 ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \xi }$ { $textstyle$ ${\textstyle u}$ u ${\textstyle u}$ ${\textstyle v}$ } ${\textstyle v}$ v { ${\textstyle \omega \in \mathbb {R} }$ $textstyle$ $v$ ${\textstyle \xi }$ 의 ${\textstyle \omega \in \mathbb {R} }$ ${\textstyle \omega \in \mathbb {R} }$ 투영으로 정의한다. $\textstyle \xi$ ${\textstyle \xi }$

u'=u-\Omega ^{T}u

그리고.

(\displaystyle v'=v-\obega \obega ^{T}v)

{\textstyle u'=0}

{\textstyle u'=0}

{

textstyle

u

` =

{\textstyle p=q}

{\textstyle u'=0}

、

=

q {

textstyle

p

=

q }이면

{\textstyle p=q}

두 지점은 모두 회전 축에 놓입니다.따라서 하위 문제는 이 경우 무한한 수의 가능한 해결책을 제시합니다.

문제가 해결되려면 ${\textstyle \omega }$ ${\$ { $textstyle$ u ${\textstyle u}$ } ${\textstyle v}$ ${\textstyle \omega }$ { $textstyle$ v ${\textstyle v}$ }의 ${\textstyle v}$ ${\textstyle \omega }$ {\ { textstyle \ $obe$ ${\textstyle \omega }$ } 축과 ${\$ { $textstyle$ \ $obe$ }에 ${\textstyle \omega }$ 수직인 평면에 투영하는 길이가 같아야 합니다.확실히 다음 사항을 확인할 필요가 있다.

\Omega ^{T}u=\Omega ^{T}v

그리고 그것

{\displaystyle\u'\=\v'\}

이러한 방정식이 충족되면 atan2 함수를 사용하여 $(\textstyle \theta)$ 값을 ${\textstyle \theta }$ 구할 수 있습니다.

(\displaystyle \theta =\mathrm {atan2})(\obega ^{T}(u'\times v'), u'^{T}v').}

u

{\textstyle u'\neq 0}

0 {

textstyle

u ' \

neq

0

{\textstyle u'\neq 0}

인 경우 이 서브문제는

"\textstyle \theta

에 대해1개의 해결책을 제시합니다.

하위 문제 2: 두 개의 후속 축에 대한 회전

Paden-Kahan Subproblem 2의 그림.하위 문제에서는 원이 두 점에서 교차하는 경우 두 가지 해결 방법이 생성됩니다. 즉, 원이 접선 상태이면 한 가지 해결 방법, 원이 교차하지 않으면 해결 방법이 없습니다.

${\textstyle \xi _{1}}$ 1 \ $textstyle \xi$ _ { ${\textstyle \xi _{1}}$ } ${\textstyle \xi _{2}}$ 2 \ $textstyle \xi$ _ {2 $}$ be ${\textstyle \xi _{2}}$ 、 magnitude 2 ${\textstyle \xi _{2}}$ text 、단위크기와 교차축의 두 개의 제로피치 트위스트라고 합니다. ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ q ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 3 \ $textstyle$ p $,q\in \mathbb {R}^{$ 3}을 ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 2점으로 ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 합니다.§ ${\textstyle \theta _{1}}$ ( ${\textstyle \theta _{1}}$ _ { $1}$ ) ${\textstyle \theta _{2}}$ § ${\textstyle \theta _{2}}$ 2 ( $textstyle \theta$ _ { $2})$ 를 ${\textstyle \theta _{2}}$ 찾습니다. $e^{\widehat {\xi }_{1}\theta _{1}e^{\widehat {xi }}_{2}\theta _{2}}p=q$

이 문제는 p ${$ $textstyle$ p $}$ 를 ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi _{2}}$ $($ 텍스트 스타일 \ ${\textstyle p}$ _ ${2$ 의 축을 중심으로 회전시킨 후 $($ ${\textstyle \theta _{2}}$ 스타일 ${\textstyle \theta _{1}}$ $\theta$ $_$ $})$ 의 축을 중심으로 회전시키면 p ${textstyle$ $p$ $}$ 의 ${\textstyle \xi _{1}}$ ${\textstyle p}$ ${\textstyle p}$ 위치가 일치합니다.t $q$ { $textstyle$ q ${\textstyle q}$ } （ $1$ 1 ${\textstyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta }$ （ \ ${\textstyle \xi _{2}}$ $textstyle$ \ $xi$ $_$ { } ） of ${\textstyle \xi _{1}}$ {\ ${\$ $θ$ \ $textstyle \xi$ ${\textstyle \xi _{2}}$ _ ${$ } ） if {\ {\ ${\textstyle \theta _{1}+\theta _{2}=\theta }$ = {\texttexttexttexttexttexttext1 such2 . $ta ）$ sub 1 1 1 11로 이 문제가 감소합니다.

솔루션

두 축이 평행하지 않은 경우( ${\textstyle \omega _{1}\neq \omega _{2}}$ , ${\textstyle \omega _{1}\neq \omega _{2}}$ ≠ ${\textstyle \omega _{1}\neq \omega _{2}}$ \ $obega _{$ 1}\ $neq \obega$ _ ${2})),$ ${\textstyle c}$ c {\ $textstyle$ c $}$ 는 ${\textstyle c}$ 다음과 같은 점이 ${\textstyle c}$ .

e^{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}p=c=e^{-{\widehat {xi}}_{1}\theta _{1}}q

{\textstyle c}

, c

\textstyle

c는 p

\textstyle

p가

{\textstyle p}

{\textstyle p}

q\

textstyle

q

{\textstyle q}

와 일치하기 전에 한 축을 중심으로 회전하는

{\textstyle p}

을 나타냅니다

{\textstyle c}

. 각 회전은 SubProblem 1과 동일하지만 c

\textstyle

c\textst에

{\textstyle c}

하나 이상의 유효한 솔루션을 식별해야 합니다.

yle

c

}

를

{\textstyle c}

사용하여 회전을 해결합니다.

r $\textstyle$ r을 ${\textstyle r}$ 두 축의 교차점으로 ${\textstyle r}$ .

({displaystyle e^{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}}(p-r)=c-r=e^{-{\widehat {xi}}_{1}\theta _{1}}(q-r).}

Paden-Kahan 하위 문제 2의 그림으로, 하위 문제가 하나의 해결책만 생성하는 접선 사례를 보여줍니다.

$벡터$ ${\textstyle u=(p-r)}$ ( ${\textstyle u=(p-r)}$ - r ){ $textstyle$ u ${\textstyle v=(q-r)}$ ( p - ${\textstyle u=(p-r)}$ r ) ${\textstyle u=(p-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ ( ${\textstyle z=(c-r)}$ ${\textstyle v=(q-r)}$ - ${\textstyle v=(q-r)}$ r ){ $textstyle$ v = ( q - ${\textstyle v=(q-r)}$ r ) ${\textstyle z=(c-r)}$ z ${\textstyle z=(c-r)}$ ( ${\textstyle z=(c-r)}$ c - ${\textstyle z=(c-r)}$ r ${\textstyle z=(c-r)}$ ){ $textstyle$ z $=$ ( c - $r$ ${\textstyle z=(c-r)}$ 를 정의합니다.그러므로,

e^{\widehat {\xi }}_{2}\theta _{2}u=z=e^{-{\widehat {xi}}_{1}\theta _{1}}v.

즉, ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ Tu ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{2}^{T}u=\omega _{2}^{T}z}$ ${$ $textstyle$ \ $omega$ _ { $2}^{$ $T}u=\obega_{2}^{T}z$ ${\textstyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$ ${\textstyle \omega _{1}^{T}v=\omega _{1}^{T}z}$ {\ $textstyle \obega$ _ ${$ }^{ $T}v =$ \ $omega$ _ { $1}^{T}z$ ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ ‖ u 、 ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ 2 ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ 2 ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ 2 \ textstyle $\$ $u$ \ ^{2} = \ $z$ \ $^{$ 2} $=$ \ $v$ \ { ${\textstyle \omega _{1}}$ $^2$ } ${\textstyle \|u\|^{2}=\|z\|^{2}=\|v\|^{2}}$ 、 1 、 1 ${\textstyle \omega _{1}}$ ${\textstyle \omega _{2}}$ 2 ${\textstyle \omega _{2}}$ 、 \ $textstyle$ \ 、 ${\textstyle \omega _{1}\times \omega _{2}}$ 2 ${\textstyle \omega _{2}}$ 、 { tyle \ }s

z=\alpha \obega _{1}+\displays \obega _{2}+\displays (\obega _{1}\times \obe _{2}).

계수의 값은 다음과 같이 해결할 수 있습니다.

Paden-Kahan 하위 문제 2의 그림으로, 두 개의 교차하는 원과 두 개의 해답이 있는 경우를 보여줍니다.양쪽 솔루션(c, c2)이 강조 표시됩니다.

\alpha = frac {(\obega_{1}^{T}\obega_{2}\obega_{2}u-\obega_{1}^{T}v}{({1}^{T}\omega_{2}^{2}-1}

\displaystyle \displaystyle = frac {(\obega _{1}^{T}\obega _{2})\obega _{1}^{T}v-\obega _{2}^{T}u}{({1}^{T}\omega_{2}^{2}-1}}

,그리고.

\displaystyle ^{2}-\alpha ^{2}-\displayfrac ^{2}-\alpha ^{2}-\alpha \displaystyle _{1}\times _{2}^{2}.}}

하위 문제에서는 원이 두 점에서 교차하는 경우 두 가지 해결 방법이 생성됩니다. 즉, 원이 접선 상태이면 한 가지 해결 방법, 원이 교차하지 않으면 해결 방법이 없습니다.

하위 문제 3: 주어진 거리까지 회전

${\textstyle \xi }$ 크기를 가진 0 피치 트위스트 ${\$ \ $textstyle \xi$ let ${\textstyle \xi }$ $、$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ , ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\$ R ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ \ $textstyle$ p , $q$ \ $mathbb$ { R } ^ { $}$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ $style$ \ $textstyle$ \ delta ${\textstyle \delta }$ } { { 、 0보다 큰 ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 라고 합니다.§ $(\textstyle \theta$ )를 ${\textstyle \theta }$ 찾습니다. $(\displaystyle\q-e^{\widehat\xi }}\theta }p =\display.}$

이 문제에서는 점 $($ $텍스트$ $스타일$ ${\textstyle \xi }$ $)$ 가 ${\textstyle p}$ 점 $q$ $(텍스트$ 스타일 ${\textstyle q}$ q $)$ 로부터의 거리 $θ$ (\textstyle \xi ${\textstyle \delta }$ )가 될 때까지 축 p(\textstyle $\$ $xi)$ 를 ${\textstyle \xi }$ ${\textstyle \xi }$ 중심으로 회전합니다. 솔루션이 존재하기 위해서는 점 ${\textstyle \xi }$ p $(\$ $textstyle$ p $)$ 를 ${\textstyle p}$ ${\textstyle \xi }$ 으로 한 원이 스퍼와 교차해야 합니다. ${\textstyle \delta }$ of radius ${\$ （ \ $textstyle$ \ $）$ 는 ${\textstyle \delta}$ q ${$ $textstyle$ q ${\textstyle q}$ }를 ${\textstyle q}$ 으로 합니다.

솔루션

r ${$ $textstyle$ ${\textstyle \xi }$ r ${\textstyle r}$ ${\textstyle \xi }$ 을 ${\textstyle r}$ $(를)$ 의 축으로 ${\textstyle r}$ . ${\textstyle u=(p-r)}$ u ${\textstyle u=(p-r)}$ ( ${\textstyle u=(p-r)}$ - ${\textstyle u=(p-r)}$ ){ $textstyle$ u = ( p - ${\textstyle u=(p-r)}$ r ) ${\textstyle v=(q-r)}$ v ${\textstyle v=(q-r)}$ ( ${\textstyle v=(q-r)}$ - ${\textstyle v=(q-r)}$ ){ $textstyle$ v= ( $q-r)}$ 는 다음과 ${\textstyle v=(q-r)}$ 같이 정의됩니다.

{\displaystyle\v-e^{\widehat\xi }}\theta }u\^{2}=\displaystyle ^{2}.}

u ${\textstyle u}$ { $textstyle$ ${\textstyle u'=u-\omega \omega ^{T}u}$ ${\textstyle v}$ v {\ $textstyle$ v $}$ 의 ${\textstyle v}$ 투영도는 "투영"에 의해 정의된 " $textstyle$ v' $=$ $u-\obmega ^{T}$ ${\textstyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$ 및 ${\textstyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$ v - } ${\textstyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$ v $.\textstyle$ v'= $v-\obe ^{T}$ 이다 ${\textstyle v'=v-\omega \omega ^{T}v.}$ . ${\textstyle p-q}$ ${\textstyle \omega }$ { $textstyle$ \ omega ${\textstyle p-q}$ $}$ 방향으로 ${\textstyle \omega }$ q { $textstyle p-q$ } :

\displaystyle '^{2}=\display ^{2}- \obega ^{T}(p-q) ^{2}.

{\textstyle u'}

u

{\textstyle u'}

: {

textstyle

{\textstyle \theta _{0}}

u

{\textstyle u'}

}와

{\textstyle u'}

v

{\

{

textstyle

v

{\textstyle v'}

} 사이의

{\textstyle v'}

각도

{\textstyle \theta _{0}}

0 {

{\textstyle \theta _{0}}

\

theta

_ { 0

}

은

{\textstyle \theta _{0}}

atan2 함수를 사용하여 구합니다.

(\displaystyle \theta _{0}=atan2(\Omega ^{T}(u'\times v'), u'^{T}v').}

(\textstyle\theta)

는

{\textstyle \theta }

다음 공식으로 구할 수 있습니다.

({displaystyle \theta =\pm \cos ^{-1}\left\frac u'\^{2}+\v'^{2}-\cisco '{2\u'\v'\}\right).}

이

서브문제에서는 반지름

{\textstyle \|u'\|}

의

{\textstyle \|u'\|}

원이 반지름

{\textstyle \delta '}

의

{\textstyle \|u'\|}

원과 교차하는

{\textstyle \|u'\|}

점의 수에 따라 0, 1,

{\textstyle \|u'\|}

또는2개

의 해결책이 나올 수 있습니다

{\textstyle \delta '}

Sub problem 4: 2개의 축을 중심으로 주어진 거리로 회전합니다.

${\textstyle \xi _{1}}$ 1 \ $textstyle \xi$ _ { ${\textstyle \xi _{1}}$ } ${\textstyle \xi _{2}}$ 2 \ $textstyle \xi$ _ {2 $}$ be ${\textstyle \xi _{2}}$ 、 magnitude 2 ${\textstyle \xi _{2}}$ text 、단위크기와 교차축의 두 개의 제로피치 트위스트라고 합니다. ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ 1, ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ 2 ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ 3 \ $textstyle$ p $,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R}^{3$ }을 ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ 점으로 ${\textstyle p,q_{1},q_{2}\in \mathbb {R} ^{3}}$ .§ ${\textstyle \theta _{1}}$ ( ${\textstyle \theta _{1}}$ _ { $1}$ ) ${\textstyle \theta _{2}}$ § ${\textstyle \theta _{2}}$ 2 ( $textstyle \theta$ _ { $2})$ 를 ${\textstyle \theta _{2}}$ 찾습니다. ${\displaystyle\e^{\widehat\{1}\theta_{1}e^{\widehat{xi}}_{2}\theta_{2}}p-q_{1}\=\widehat_{1}.}$

이 문제는 최종 지점이 알려진 두 점까지의 거리에 의해 구속된다는 점을 제외하고 하위 문제 2와 유사합니다.

Sub Problem 5: 지정된 거리로 변환

${\$ { $textstyle \xi$ $}$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ p 、 ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ 3 \ $textstyle p , q$ \ $in$ \ $mathbb$ { $R$ } ^ { $3$ } ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ ${\$ {\ $0$ 보다 ${\textstyle \delta}$ 큰 실수라고 ${\textstyle p,q\in \mathbb {R} ^{3}}$ .§ $(\textstyle \theta$ )를 ${\textstyle \theta }$ 찾습니다. $(\displaystyle\q-e^{\widehat\xi }}\theta }p =\display.}$

레퍼런스

^ Paden, Bradley Evan (1985). "Kinematics and Control of Robot Manipulators". Ph.D. Thesis. Bibcode:1985PhDT........94P.
^ Sastry, Richard M. Murray ; Zexiang Li ; S. Shankar (1994). A mathematical introduction to robotic manipulation (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1] Paden, Bradley Evan (1985). "Kinematics and Control of Robot Manipulators". Ph.D. Thesis. Bibcode:1985PhDT........94P.

[2] Sastry, Richard M. Murray ; Zexiang Li ; S. Shankar (1994). A mathematical introduction to robotic manipulation (PDF) (1. [Dr.] ed.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. ISBN 9780849379819.

[1]

[2]

Search