파두아 포인트

두 변수의 다항식 보간에서, Padua 지점은 $그들$의 Lebesg 상수의 최소 성장으로 증명된, O${\displaystyle }$(${\displaystyle {\mathrm{로그}}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ $){\displaystyle$O$(\log ^{2}n)}$인, 비등결점 점 집합의 첫 번째 예(그리고 지금까지 유일한 예)이다$.$^[1]이들의 이름은 원래 발견된 파두아 대학 덕분이다.^[2]

포인트는 도메인${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$×${\displaystyle }$[${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$1,1]\time [-1$,1]\subset \mathb {R}$^{$2$ 이후 90도 회전을 통해 얻은 포인트는 4개의 방향성으로 사용할 수 있다. 이렇게 하면 4개의 다른 패두아 포인트를 얻을 수 있다.

네 가족

우리는 파두아 점을 생성 곡선이라 불리는 파라메트릭 곡선의 "샘플링"으로 볼 수 있는데, 이는 네 패밀리의 각 패밀리에 대해 약간씩 다르기 때문에 보간 $정도{\displaystyle }$ n$[\displaystyle n}$과 패밀리 $s{\displaystyle }$ ${\displaysty s}$에 대한 점을 다음과 같이 정의할$$ 수 있다.

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace =\left\lbrace \gamma _{s}\left({\frac {k\pi }{n(n+1)}}\right),k=0,\ldots ,n(n+1)\right\rbrace .}$

실제로 파두아 지점은 곡선의 자기 교차점에 정확히 놓여 있고, 사각형의 경계와 함께 곡선의 교차점에 놓여 ${\displaystyle {있다\mathrm{}}^{}}[{\displaystyle }$- 1,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ 2 ${\$The cardinality of the set ${\displaystyle \scriptstyle {\text{Pad}}_{n}^{s}}$ is ${\displaystyle \scriptstyle {\text{Pad}}_{n}^{s} =N={\frac {(n+1)(n+2)}{2}}}$. Moreover, for each family of Padua points, two points lie on consecutive vertices of the square${\displaystyle [}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ ${\displaystyle \mathrm{2n}}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 2n-1}$ 포인트는$$ 정사각형의 가장자리에 놓여 있고, 나머지 포인트는 정사각형 내부 생성곡선의 자기 절편에 놓여 있다.^[3][4]

4개의 생성 곡선은 [${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 2}$ $]{\displaystyle [0,2\pi ]$의$$구간에서 닫힌 파라메트릭 곡선으로 리사주 곡선의 특별한 경우다.

첫 번째 가족

첫 번째 패밀리의 Padua 포인트 생성 곡선은

${\displaystyle \pi _{1}(t)=[-\cos(nt)],-\cos(nt)],\cos(nt)],\caps t\in [0,\pi ].}$

위에서 설명한 대로 샘플을 채취하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

${\displaystyle {\text{Pad}}_{n}^{1}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\mu _{j},\eta _{k}),0\leq j\leq n;1\leq k\leq \lfloor {\frac {n}{2}}\rfloor +1+\delta _{j}\rbrace ,}$

$여기$서 $\Delta {\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$= 0 ${\displaystyle \property_{$j}=$0}$은(는$)$ n ${\$$displaystyle$ $n}$이(가$$) 짝수이거나 홀수일$$ 때$$$,$ j {\$displaystyle$ n}과$k${\$displaysty k}$이($가{\displaystyle }$) 모두 홀수일$$ 경우$$ ${\displaystyle {\Delta j}_{}}$= 1$${\daystytype $_{j}$

와 함께

${\displaystyle \mu _{j}=\cos \left({\frac {j\pi }{n}}\right),\eta _{k}={\begin{cases}\cos \left({\frac {(2k-2)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ odd}}\\\cos \left({\frac {(2k-1)\pi }{n+1}}\right)&j{\mbox{ even.}}}\end{case}}$

여기서부터 첫 번째 패밀리의 Padua 지점은 $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 짝수일 경우 하단에 두 개의 꼭지점이 있고, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyn}$이(가) 홀수일 경우 왼쪽에 두 개의 정점이 있다.

두 번째 가족

두 번째 패밀리의 Padua 포인트 생성 곡선은

${\displaystyle \pi _{2}(t)=[-\cos(nt),-\cos(n+1)],\cos t\in [0,\pi ],}$

$따라서{\displaystyle }$ n ${\displaystyle n}$이(가) 짝수일 경우 왼쪽에 정점이 있고, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수일 경우 아래쪽에 정점이 있다.

세 번째 가족

세 번째 패밀리의 Padua 포인트 생성 곡선은

${\displaystyle \pi \{3}(t)=[\cos(n+1)t],\cos(nt)],\cos(nt)],\caps t\in [0,\pi ],}$

$따라서{\displaystyle }$ n {\$displaystyle n}$이(가$)$ 짝수일 경우 상단에 정점이 있고, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수일 경우 오른쪽에 정점이 있다.

네번째 가족

네 번째 패밀리의 파두아 포인트 생성 곡선은

${\displaystyle \pi_{4}(t)=[\cos(nt),\cos((n+1)t)],\cos([0,\pi ],}$

$n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 짝수일 경우 오른쪽에 정점이 있고, $n{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가) 홀수일 경우 상단에 정점이 있다.

보간식

The explicit representation of their fundamental Lagrange polynomial is based on the reproducing kernel ${\displaystyle \scriptstyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )}$, ${\displaystyle \scriptstyle \mathbf {x} =(x_{1},x_{2})}$ and ${\displaystyle \s$criptstyle $\mathbf {y}$ = $(y_{1},y_{2})$ 공간$$${\displaystyle {spacen}_{}^{}}$ ${\displaystyle {}_{}^{}([}$- 1,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$)${\$ style $\Pi \{n}^{2}([-1,1]^{2})}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle ={\frac {1}{\pi ^{2}}}\int _{[-1,1]^{2}}f(x_{1},x_{2})g(x_{1},x_{2}){\frac {dx_{1}}{\sqrt {1-x_{1}^{2}}}}{\frac {dx_{2}}{\sqrt {1-x_{2}^{2}}}}}$

에 의해 정의된.

${\displaystyle K_{n}(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\sum _{k=0}^{n}\sum _{j=0}^{k}{\hat {T}}_{j}(x_{1}){\hat {T}}_{k-j}(x_{2}){\hat {T}}_{j}(y_{1}){\hat {T}}_{k-j}(y_{2})}$

$T{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$이(가) 정규화된 Chebyshev polyomial of degree $j{\displaystyle }$ ${\displaystyle j}($$^$ ${\displaystyle 0_{\mathrm{}}}$= T ^ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$ = ${\displaystyle {}_{}}$ ${\hat {T}_{0}=)$를 나타냄$$$T_{0$ $T{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ ${\displaystyle {\stackrel{}{^}}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle 2\sqrt{\mathrm{}}}$ T ${\displaystyle p_{}}$ ${\$${\displaystyle {T\_}_{}}$${p}}$ 여기서$$ $T{\displaystyle {}_{}}$ p (${\displaystyle {}_{}\cdot }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle \cos }$ ${\displaystyle }$(${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \arccos }$ ${\displaystyle }$ (${\displaystyle \cdot }$ $){\$는 제1종 p ${\displaystyp}$의 고전적인 체비셰프 다항식이다$$.$$^[3]For the four families of Padua points, which we may denote by ${\displaystyle \scriptstyle {\text{Pad}}_{n}^{s}=\lbrace \mathbf {\xi } =(\xi _{1},\xi _{2})\rbrace }$, ${\displaystyle s=\lbrace 1,2,3,4\rbrace }$, the interpolation formula of order ${\displa$함수 $f$의 $ystyle n}$ :${\displaystyle [}$$$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$$1$${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$→ ${\displaystyle {\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {\mathbb{}}^{}}$ ${\$ 일반$$ 표적 $x{\displaystyle \mathbf{}}$ ${\displaystyle [}$- ${\displaystyle 1}$,${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$2}}: 그 다음이다$$.

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{n}^{s}f(\mathbf {x} )=\sum _{\mathbf {\xi } \in {\text{Pad}}_{n}^{s}}f(\mathbf {\xi } )L_{\mathbf {\xi } }^{s}(\mathbf {x} )}$

여기서 $L{\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle \xi \mathbf{}}$ ${\displaystyle s_{}^{}}$( x${\displaystyle }$) ${\$}^{$s}(\mathbf {x} )$는 기본 Lagrange 다항식이다.

${\displaystyle L_{\mathbf {\xi}^{s}(\mathbf {x} )=w_{\\mathbf {n}(\mathbf {\xi},\mathbf {x})-T(\xi _{i})=w_{si}T_{n}(x_{i}),\quad s=1,2,3,4,\quad i=2-(s\mod 2).}$

$w{\displaystyle {}_{}}$ ${\$\scriptstyle $w_{\mathb{\xi}}}}}}$의 가중치는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle w_{\mathbf {\xi } }={\frac {1}{n(n+1)}}\cdot {\begin{cases}{\frac {1}{2}}{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is a vertex point}}\\1{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an edge point}}\\2{\text{ if }}\mathbf {\xi } {\text{ is an interior point.}}}\end{case}}$

참조

외부 링크

• Padua 포인트 및 일부 보간 소프트웨어와 관련된 출판물 목록.