파니츠 연산자

미분 기하학의 수학적 분야에서 파니츠 연산자는 리만 다지관의 차원 n에 정의된 4차 미분 연산자다.1983년 발견한 스테판 파니츠의 이름을 따 붙여졌으며, 이후 2008년 파니츠에 사후에 인쇄본이 출판되었다.사실, E에 의한 순응적 초중력이라는 맥락에서 앞서 같은 연산자가 발견되었다. 프래드킨과 A. 1982년 Tseytlin (Phys Let B 110 (1982) 117 및 Nucle Phys B 1982 (1982) 157).그것은 공식에 의해 주어진다.

${\displaystyle P=\Delta ^{2}-\delta \left\{(n-2)J-4V\cdot \right\}d+(n-4)Q}$

여기서 Δ는 라플라스-벨트라미 연산자, d는 외부 파생상품, Δ는 형식적 부호, V는 쇼텐 텐서, J는 쇼텐 텐서(Shouten tensor)의 트레이스, 점(dot)은 어느 지수에서든 텐서(tensor) 수축을 나타낸다.여기 Q는 스칼라 불변제다.

${\displaystyle(-4V ^{2}+nJ^{2}+2\Delta J)/4,}$

여기서 Δ는 양의 라플라시안이다.이것은 4차원에서 Q-커버를 산출한다.

연산자는 적절한 의미에서는 단지 등호 구조에만 의존하기 때문에 등호 기하학에서 특히 중요하다.이런 종류의 또 다른 운영자는 순응적인 라플라시안이다.그러나 등정 라플라시안(Laplacian)은 라플라스-벨트라미(Laplace-Beltrami) 연산자의 배수로 선행 기호가 있는 2차인 반면, 파니츠 연산자는 4차이며, 선행 기호는 라플라스-벨트라미 연산자의 사각형이다.파니츠 연산자는 2 - n/2의 등가 밀도를 -2 - n/2의 등가 밀도로 보낸다는 점에서 등가 불변이다.구체적으로는 미터법이 존재하는 상태에서 밀도다발의 표준소요화를 이용하여, 규칙에 따른 순응변동 g ω Ωg에 따라 변환하는 기능에 대해 파니츠 연산자 P를 일반 연산자로 대표하여 리만 미터법 g로 나타낼 수 있다.

${\displaystyle \Oomega ^{n/2+2}P(g)\phi =P(\Oomega ^{2}g)\오메가 ^{n/2-2}\phi .\,}$

연산자는 원래 순응적 비침윤성을 보장하기 위해 저차 보정 조건을 구체적으로 작성함으로써 도출되었다.후속 조사는 파니츠 운영자를 밀도에 대한 유사 일치 불변 연산자 계층 구조(GJMS 운영자)에 배치했다.

파니츠 운영자는 라플라시안의 기능적 결정요소에 대한 극단적 문제와 관련하여 자연적으로 나타나는 차원 4에서 가장 철저하게 연구되었다(폴리아코프 공식을 통해, 브랜슨 & 외스트드 1991 참조).차원 4에서만 파니츠 연산자는 "중요한" GJMS 연산자로, 이는 점증적 분석을 통해서만 복구할 수 있는 잔류 스칼라 조각(Q 곡률)이 있음을 의미한다.파니츠 운영자는 차원 4에서도 Moser-Trudinger 불평등에 대한 극단적 문제에 나타난다 (1999년 창)

CR Paninitz 연산자

CR 다지관 연구와 관련된 4차원 정합 기하학과 3차원 CR 기하학 사이에는 밀접한 관계가 있다.C가 도입한 CR 다지관에는 자연적으로 정의된 4차 오더 연산자가 있다. 로빈 그레이엄과 존 리는 4차원 리만 다지관에 정의된 고전적인 파니츠 운영자와 유사한 많은 속성을 가지고 있다.^[1]CR 기하학에서 이 연산자를 CR Paninitz 연산자라고 한다.모든 홀수 치수 CR 다지관에 대해 정의되었지만 Graham과 Lee가 정의한 연산자는 실제 치수 5 이상에서 일치 공변량인 것으로 알려져 있지 않다.이 연산자의 등정 공분산은 실제 치수 3에서 켄고 히라치에 의해 확립되었다.실제 차원 5 이상에서는 항상 음이 아닌 연산자다.여기서 위에서 논의한 리만니아 사례에서와 같이 순응 인자에 의해 측정기준을 변경하는 것과 달리, CR 3 다지관의 접촉 형태를 순응 인자에 의해 변경한다.치수 3에서 CR Paninitz 연산자의 비부정성은 아래에서 증명된 CR 불변 조건이다.이는 Kengo Hirachi가 처음 관찰한 CR Paninitz 연산자의 등정 공변량 속성에 따른다.^[2]더욱이, CR 파니츠 운영자는 콘의 라플라시안에게 하한선인 날카로운 고유값을 얻는 데 중요한 역할을 한다.사군 차니요, 흥린추, 바오로 C의 결과물이다. 양.^[3] 이 날카로운 고유값 하한은 콤팩트한 리만 다지관의 라플라스-벨트라미 연산자를 위한 유명한 안드레 리히네로위츠의 CR 기하학에서 정확히 유사하다.CR다지관을 ${\displaystyle {Cn}^{}}$ {n ${\$ $C$$^{n}$에 포함시키기 위한 [3]의 조건들은 CR다지관을 ${\displaystyle {Cn}^{}}$ ${\$ C$^{n}$에 영구적으로 그리고 비주변적으로 표현된다$.$또한 J. S. Case, S. Chanillo, P. Yang 저자가 내장형 소형 CR 매니폴드에 비부정형 CR Paninitz 연산자가 있을 때 보증할 수 있는 조건을 획득하는 부분적인 결과도 있다.^[4]실제 치수 3의 CR 다지관에 대한$$ CR ${\displaystyle {Paninitz\mathrm{}}_{}}$ 연산자 $P{\displaystyle {}_{}}$ 4 ${\$의 공식 정의는 다음과 같다(첨자 $4{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle 4}$은 이것이 네 번째 주문 연산자임을 독자에게 상기시키기 위한$$ 것이다).

${\displaystyle P_{4}\phi ={\frac {1}{{1}}}(\Box _{b}}}+{\Box _{b}}\Box _{b}}\Overline {\b}\Box _{b}\Box}\8Im(A^{11}\pi_{1}{1}{1}{1}{1}{1}{1}}}}}}}}}}}})}}}}}}}})}}}}}{1}{1}{1}}}}}}}}$

${\displaystyle {◻}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$는 CR 지오메트리와 몇 가지 복잡한 변수에 근본적인 역할을 하는 콘 라플라시안을 나타내며, Joseph J. Kohn이 소개했다.콘 라플라시안의 정의는 접선성 카우치-리만 콤플렉스(Kohn Laplacian, Kohn-Rosi 콤플렉스)를 참조할 수 있다.또한 A ${\$는 Webster-Tanaka Torsion tensor 및 $and{\displaystyle {}_{}}$$$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$$displaystyle \phi$${$1} $기능$의 공변량$$ 파생물을 나타낸다$$$.$Webster-Tanaka, 연결부, Torsion 및 곡률 텐서 설명서는 다음에서 찾을 수 있다.^[5][6]차원 3에서 CR Paninitz 연산자를 볼 수 있는 다른 방법이 아직 있다.[5] J. Lee는 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 커널이 정확하게 CR plurihmonic 함수(CR 홀로모르픽 함수의 실제 부분)로 구성되는$$ 속성을 가진$$ 3차 주문 연산자 P ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$을 구성했다.위에 표시된 파니츠 연산자는 정확히 이 세 번째 오더 연산자 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$의 차이점이다$.$세 번째 오더 연산자 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle P_{3}\phi =({\phi _{\bar{1}^{1}{1}:{1}}}+{1}+{\sqrt{-1}A_{11}\phi ^{1}}\ta ^{1}}}}}\{1}}}}}\ta ^{1}$

여기 A ${\$는 Webster-Tanaka 비틀림 텐서다.파생 모델은 Webster-Tanaka 연결부를 사용하여 취하며 $\theta {\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}^{}}$ ${\$는 콤팩트 매니폴드의 CR 구조를 정의하는 CR-홀모픽 탄젠트 벡터에 대한 이중 1 형식이다.따라서 $P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$는${\displaystyle }$(${\displaystyle 1}$,${\displaystyle }$0${\displaystyle }$) ${\displaystyle (1,0)}$개의$$ 양식에 함수를 전송한다$$.따라서 그러한 운영자의 다양성은 기능에 대한 기능을 취하게 될 것이다.J. Lee가 구축한 3차 주문 연산자는 실제 치수 3의 CR 다지관에 있는 CR plurihamonic 기능만을 특징으로 한다.

${\displaystyle {3차원\mathrm{}}_{}}$ CR 다지관의 $P{\displaystyle {}_{}}$ 4 ${\$에 대한 히라치의 공변량 변환 공식은 다음과 같다.CR 다지관은${\displaystyle }$(${\displaystyle M}$ ,${\displaystyle ,}$ , ${\displaystyle J}$)$${\$displaystyle (M,\theta ,J)}$이$($가) 되도록 두십시오$.$ $여기$서 $display$ {\displaystyle $\theta }$은(는) 접촉면 위에 있는$$ $\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \ta }$의 커널에 있는$$ CR 구조는 $}$이다.conform ~ =${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{2f}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}${\$displaystyle \$$teta}$ 순응적 변환을 통해$$ 백그라운드 연락처 양식 $\theta {\displaystyle }$${\displaystyle {\tilde{\}}}$을(를) 변환하자$.$ 이 새로운 연락처 양식은 이전 연락처 양식이나 $백그라운드$ 연락처 양식의 순응적 변경으로 얻은 $\theta {\displaystyle }${\$displ$의 커널은 변경하지 않았다.$aystyle \theta$ $\}.$ 즉, $\theta {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$}}이고$$$\theta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \theta$}은$($는) 동일한 커널을 가지고$$ 있다. 즉, 접촉면에는 변동이 없다.CR 구조 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$은(는) 변경되지 않은 상태로 유지되었다$$.새로운 연락처 양식 $\theta {\displaystyle \stackrel{}{}}$~ ${\$$P}_{4$$}$에 대한 CR Paninitz $연산자{\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$ P${\displaystyle {\stackrel{}{}}_{}}$~ 4 ${\$$displaystyle$ {P}_{4}}은(는) 히라치 공식으로 $contact$ ${\displaystyle \teta}$ 연락처 양식의 CR Panitz 연산자와 관련이 있는 것으로$$ 보인다.

${\displaystyle {\tilde{P}_{4}=e^{-4f}P_{4}}}$

다음으로 매니폴드 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 볼륨 폼이 충족되는지$$ 확인하십시오.

${\displaystyle d{\tilde{V}={\tilde{\theta}}\wedge d{\tilde{\\theta}}}\wedge d\theta =e^{4f}dV}$

히라치의 변형 공식을 이용해서, 그 뒤에,

${\displaystyle \int _{M}{\tilde{P}}{4}}\phi \phi d}{V}=\int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

따라서 우리는 쉽게 다음과 같이 결론짓는다.

${\displaystyle \int _{M}P_{4}\phi \phi dV}$

CR 불변제야위에 표시된 통합은 동일한 CR 구조 $J{\displaystyle }$ ${\displaystyle J}$을(를) 설명하는 다른 접촉 양식에 대해 동일한 값을 가진다$.$

$오퍼레이터{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {P\mathrm{}}_{}}$ 4${\${4}}는$$ 진정한 자기 적응형 오퍼레이터 P 4 {\displaystyle P_${4}$Webster-Tanaka torsion tensor가 0인 S$$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}^{}}$ ${\$ S$^{3}$와 같은 CR 다지관에서는, 위에 표시된 공식에서, 콘 라플라시안과 관련된 선도적인 용어만이 살아남는다는 것을 알 수 있다.[5]에 제시된 텐서 정류 공식 다음으로, 웹스터-타나카 토션 텐서 A ${\$이 소멸되면 연산자 ${\displaystyle b_{}}{\displaystyle {}_{}}$b${\displaystyle ,\stackrel{}{{}_{}}}$ ,$`{\$ 통근하는$$ 것을 쉽게 확인할 수 있다.더 정확히 말하자면

${\displaystyle [\Box _{b},{\overline {\Box _{b}}]=4{\sqrt{-1}ImQ}$

어디에

${\displaystyle Q\phi =2{\\sqrt{-1}(A_{11}\phi _{1}_{1}}){1}:{1}$

따라서 $◻{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ,$◻ b$ ${\displaystyle$\Box _{b},{\$overline$ {\$Box _{b}}}}}$은(는) 비틀림 제로 가정 하에서 동시에 대각선이 가능하다$$.다음으로 $◻{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle b_{}}$ ${\$ 및${\displaystyle \stackrel{}{{}_{and}}}$ b$'{\$은(는) perforce realue인 고유값의 순서도 동일하다는$$ 점에 주목한다.따라서 우리는 P ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\$의 공식으로부터 비틀림이 0인 CR 구조물에 음성이 아닌 CR Paninitz 연산자가 있다는 결론을$$ 내린다.기사[4]는 무엇보다도 C ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$의 실제 타원체는 CR Paninitz 연산자가 음성이 아닌$$ $C{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\$ C$^{2}}$의 복잡한 구조로부터 물려받은 CR 구조를 지니고 있다는$$ 것을 보여준다.타원형의 CR 구조는 비바니싱 Webster-Tanaka 비틀림을 가지고 있다.따라서 [4]는 CR Paninitz 연산자가 음성이 아니며 Torsion tensor도 사라지지 않는 CR 다지관의 첫 번째 예를 제공한다.위에서 CR Pinitz는 커널이 플러리호밍함수인 연산자의 발산임을 관찰했으므로, CR Pinitz 연산자의 커널이 모든 CR Plurihamonic 함수를 포함하고 있다는 것도 뒤따른다.그래서 리만니안의 경우와 극명한 대조를 이루는 CR 파니츠 연산자의 커널은 무한한 차원 커널을 가지고 있다.낟알이 정확히 plurihmonic 함수인 경우에 대한 결과, 낟알 등에서 보충공간의 성격과 역할은 아래 [4]로 인용한 글에서 찾을 수 있다.

CR Paninitz 운영자의 주요 응용 프로그램 중 하나와 [3]의 결과는 Ji-Hsin Cheng, Andrea Malchiodi, Paul C로 인한 포지티브 매스 정리의 CR 아날로그에 있다. 양.^[7] 이렇게 하면 CR 야마베 문제에 대한 결과를 얻을 수 있다.

CR 기하학에서 CR Paninitz 연산자의 역할과 관련된 자세한 사실은 기사 CR 매니폴드에서 확인할 수 있다.

참고 항목

• 칼라비 추측
• 몽게암페어 방정식
• 양의 질량 추측
• 야마베 추측

참조

• Branson, Thomas P.; Ørsted, Bent (1991), "Explicit functional determinants in four dimensions", Proceedings of the American Mathematical Society, 113 (3): 669–682, doi:10.2307/2048601, ISSN 0002-9939, JSTOR 2048601, MR 1050018.
• Chang, Sun-Yung A. (1999), "A fourth order differential operator in conformal geometry", in M. Christ; C. Kenig; C. Sadorsky (eds.), Harmonic Analysis and Partial Differential Equations; Essays in honor of Alberto P. Calderón, Chicago Lectures in Mathematics, pp. 127–150.
• Paneitz, Stephen M. (2008), "A quartic conformally covariant differential operator for arbitrary pseudo-Riemannian manifolds (summary)", Symmetry, Integrability and Geometry: Methods and Applications, 4: Paper 036, 3, arXiv:0803.4331, Bibcode:2008SIGMA...4..036P, doi:10.3842/SIGMA.2008.036, ISSN 1815-0659, MR 2393291, S2CID 115155901.