병렬 단일 소스 최단 경로 알고리즘

알고리즘 그래프 이론의 중심 문제는 가장 짧은 경로 문제다.최단 경로 문제의 일반화 중 하나는 단일 소스-최단 경로(SSSP) 문제로 알려져 있는데, 이는 그래프에서 모든 정점 쌍 사이의 최단 경로를 찾는 것으로 구성된다.디크스트라의 알고리즘처럼 이 문제를 해결하는 고전적인 순차 알고리즘이 있다.그러나 이 글에서는 이 문제를 해결하는 두 개의 병렬 알고리즘을 제시한다.

이 문제의 또 다른 변화는 병렬 접근방식인 병렬 올페어 최단 경로 알고리즘을 가진 올페어-짧은 경로(APSP) 문제다.

문제 정의

Let $G{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( ${\displaystyle V}$, ${\displaystyle E}$) ${\displaystyle G=(V,E)}$은(는) ${\displaystyle V}$= n ${\displaystyle$ V $=n}$ 노드와$$ ${\displaystyle E}$= m ${\displaystyle$ E $=m}$ 가장자리가$$ 있는 방향 그래프여야$$ 한다.$s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$을(를) 구별되는 꼭지점("소스"라고 함)으로$$ 하고 $c{\displaystyle }$ ${\displaystyle c}$을(를) 각 에지에 음이 아닌 실제 값 가중치를 할당하는 함수로 한다$$.단일 소스-최단 $경로$ 문제의 목적은 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$에서 도달할$$ 수 있는 모든 정점 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ s}에 $대해$$$$s{\displaystyle }$${\displaystyle \{\backslash }$$displaystyle s$$}$에서 $v{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $v}$까지의 최소 중량 경로의 가중치를 계산하는 것이다$.$ted ${\displaystyle \mathrm{dist}}$ ${\displaystyle }$ ${\displaystyle (v}$) ${\displaystyle \propertname {displayname} (v)}$.경로의 무게는 가장자리의 무게의 합이다.${\displaystyle \mathrm{distage}}$ ${\displaystyle (u}$, ${\displaystyle v}$) :=${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {dist}(u,v):$$v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) $u{\displaystyle }$ ${\displaystyle$^[1]$u}$에서 연결할 수 없는$$ $경우$$.$

순차적 최단 경로 알고리즘은 일반적으로 모든 노드에 대한 임시 거리 유지를 기반으로 반복적 라벨링 방법을 적용하며, ${\displaystyle \mathrm{텐트}}$tent(${\displaystyle v}$ )${\displaystyle$ $\$$operatorname {tent}(v)}$은(는$)$ 항상 $\infty {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle$ s}에서 $v$ {\$displaystyty v}$까지의 일부 경로 가중치 또는$$ 그에 따라$$ 상위bound on ${\displaystyle \operatorname {dist} (v)}$. Tentative distances are improved by performing edge relaxations, i.e., for an edge ${\displaystyle (v,w)\in E}$ the algorithm sets ${\displaystyle \operatorname {tent} (w):$$=\min\{\propertname {tent}(w),\propertname {tent}(v)+c(v,w$^[1]

모든 병렬 알고리즘에 대해 우리는 동시 읽기 및 동시 쓰기를 사용하는 PRAM 모델을 가정할 것이다.

델타 스텝 알고리즘

델타 스텝 알고리즘은 라벨 보정 알고리즘으로, 모든 임시 거리가 고정될 때 알고리즘의 마지막 단계까지 에지 완화를 통해 정점의 임시 거리를 여러 번 교정할 수 있음을 의미한다.

알고리즘은 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Delta }$ 크기의 거리 범위를 나타내는 버킷의 배열에서 임시 거리로 적격 노드를 유지한다$.$ 각 단계 동안 알고리즘은 첫 번째 비어 있지 않은 버킷의 모든 노드를 제거하고 최대 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Delta$ .높이의 모든 무게의 모든 나가는 가장자리를 완화한다.각각의 출발 노드가 확실히 정착된 후에야 그녀의 체중은 완화된다.^[1]Δ ${\displaystyle \Delta }$ 매개 변수는$$ "단계 너비" 또는 "버킷 너비"^[1]라고도 하는 양의 실수다.

병렬은 첫 번째 비어 있지 않은 버킷의 모든 노드를 동시에 제거하고 나가는 빛 가장자리를 한 단계로 이완시킴으로써 얻어진다.노드 $v{\displaystyle }$ ${\$$displaystyle$ $v}$이(가) 최종 거리 값이 아닌$$ 현재 버킷 $B{\displaystyle }$[${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[i]}$에서 제거된 경우$$, 일부 후속 단계에서 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$이(가) $결국{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystystyle$ $B$$[$$i]}$에 $다시{\displaystyle }$ 삽입되고 v$}$의 나가는 라이트 가장자리가 된다$$.재입고지금까지$$ $B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[i]}$에서 제거된 모든 노드에서 발산되는 나머지 무거운 가장자리는 $B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[i]}$이(가) 마침내$$ 비어 있을 때 한 번 이완된다.이후 알고리즘은 비어 있지 않은 다음 버킷을 검색하고 위에서 설명한 대로 진행한다.^[1]

소스 노드 $s{\displaystyle }$ ${\displaystyle s}$에 대한 최대 최단 경로 는 L ) : { , ): ,)( , v ) < ${\displaystyle L(s):$$=\max\{\operatorname {dist}(s,v):\operatorname {dist}(s,v)<\inful$ 약칭 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L$^[1] 또한 경로의 크기는 경로의 가장자리 수로 정의된다.

라이트 에지와 헤비 에지를 구분하는데, 라이트 에지는 최대 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$의 중량을 가지며 헤비 $에지$는$$Δ {\$displaystyle \Delta }$보다 큰 중량을 갖는다.$$

델타 스테핑 알고리즘은 다음과 같다.

1 $preach{\displaystyle v}$ $\$ V {\$displaystyle v\$in$$ ${\displaystyle V}$} do 텐트${\displaystyle }$do${\displaystyle (v}$ ) :${\displaystyle }$∞= ${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \operatorname {tent}(v):$$=\infully }$ 2 r$$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle a}$ x${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{s}}$ ${\displaystyle ,}$ 0${\displaystyle }$) ${\displaystyle reself(s,0$ (*거리 0*의 소스 노드 삽입) 3인 반면${\displaystyle \mathrm{}}$while ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathrm{Em}}$ ${\displaystyle p}$ t ${\displaystyle y}$(${\displaystyle B}$) ${\displaystyle \lnot isB(B)}$은(*A 위상:일부 대기열에 있는 노드 왼쪽 (a*) 4 i ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle 최소}$ {${\displaystyle j}$≥ ${\displaystyle 0}$: ${\displaystyle B}$ [${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \ne }$ ] ${\displaystyle \mathrm{]}}$ ∅ } ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle$ i$:=\min\{j\geq 0:$$B[$${\displaystyle j}$$]\neq \emptyset$\}}**$$소형 비빈 버킷(b)*) 5 R ${\displaystyle \mathrm{:=}}$ {\$displaystyle$ R$:=\mempt$}*$$아직 버킷 B[i]에 대해 노드가 삭제되지 않음$$) 6 반면 $B{\displaystyle }$[ i ${\displaystyle ]\mathrm{}}$≠ ${\displaystyty B[\ne$]\$neq \empt$] $}$(*New phase (c)*) 7      ${\displaystyle Req:=findRequests(B[i],light)}$                            (*Create requests for light edges (d)*) 8      ${\displaystyle R:=R\cup B[i]}$                                               (*Remember deleted nodes (e)*) 9${\displaystyle B[i]:$$=\emptyset }$                                                    (*Current bucket empty*) 10     ${\displaystyle relaxRequests(Req)}$                                         (*Do relaxations, nodes may (re)enter B[i] (f)*) 11   ${\displaystyle Req:=fi$$ndRequests(R,heavy)}$                                (*Create requests for heavy edges (g)*) 12   ${\displaystyle relaxRequests(Req)}$                                           (*Relaxations will not refill B[i] (h)*) 13 14 Function ${\displaystyle findRequests(V^{\prime },kind:\{\text{light},\text{heavy}\})}$${\displaystyle findRequests(V'),kind:$$\{{\text{light}},{\text{heavy}}\})}$:set of Request 15   return ${\displaystyle \{(w,\operatorname {tent} (v)+c(v,w)):v\in V'\land (v,w)\in E_{\text{kind}}\}}$ 16 17 Procedure ${\displaystyle relaxRequests(Req)}$ 18   foreach(w, 음)∈ Req{\displaystyle(w,x)\in Req}니 re에 내가 x(w, 음){relax(w,x)\displaystyle}1920절차 re에 내가 x(w, 음){relax(w,x)\displaystyle}(B에서 *Insert 또는 이동 및 w만약 x<, \operatorname{텐트}(w)*)21만약 x <. 텐트를 세우다⁡(w){\displaystyle x<, \operatorname{톤멤머는}$(w)}$ 그 후 22${\displaystyle }$B [${\displaystyle \mathrm{tent}}$ 텐트${\displaystyle (}$ (${\displaystyle w}$) / ${\displaystyle \Delta \mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle ]}$ :=${\displaystyle B}$ [${\displaystyle \mathrm{tent}}$ 텐트${\displaystyle (}$ (${\displaystyle w}$) / ${\displaystyle \Delta \mathrm{}}$ ${\displaystyle ]}$ ] ] ${\displaystyle ]}$∖ {$}$ {\$displaystyle$ B$[\llllloor \rfloor ]:$$=B[\lfloor \operatorname {tent} (w)/\Delta \rfloor ]\setminus \{w\}}$                       (*If in, remove from old bucket*) 23    ${\displaystyle B[\lfloor x/\Delta \rfloor ]:$$=B[\lfloor x/\Delta \rfloor ]\cup \{w\}}(*$새 버킷에 삽입*) ${\displaystyle \mathrm{24개}}$ 텐트 ${\displaystyle (w}$) ${\displaystyle :=}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaysty \operatorname {tent}(w):$$=x}$

예

다음은 작은 예시 그래프의 알고리즘 실행에 대한 단계별 설명이다.소스 정점은 정점 A이고 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta }$은(는) 3과 같다.

알고리즘을 시작할 때, 소스 꼭지점 A를 제외한 모든 정점에는 무한 임시 거리가 있다.

Bucket ${\displaystyle B[0]}$ has range ${\displaystyle [0,2]}$, bucket ${\displaystyle B[1]}$ has range ${\displaystyle [3,5]}$ and bucket ${\displaystyle B[2]}$ has range ${\displaystyle [6,8]}$.

버킷 $B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[0]}$에는 정점 A가 포함되어 있다$$.다른 양동이는 모두 비어 있다.

노드	A	B	C	D	E	F	G
잠정거리	0	$\displaystyle \infit }$	$\displaystyle \infit }$	$\displaystyle \infit }$	$\displaystyle \infit }$	$\displaystyle \infit }$	$\displaystyle \infit }$

알고리즘은 A와 B, G, ${\displaystyle \mathrm{E}}$를 연결하는 가장자리인 $B{\displaystyle }$[ 0 ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[0]}$에 입사하는 모든 빛 가장자리를 완화시킨다$.$

정점 B, G, E는 $버킷{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[1]}$에 삽입된다$.$ $B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[0]}$이(가) 여전히 비어 있기$$ 때문에 A와 D를 연결하는 무거운 가장자리도 이완된다.

노드	A	B	C	D	E	F	G
잠정거리	0	3	$\displaystyle \infit }$	5	3	$\displaystyle \infit }$	3

$이제{\displaystyle }$ B${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle$ B$[1]}$에 발생한 조명 가장자리가 완화되었다$$.꼭지점 ${\displaystyle \mathrm{C}}$는 버킷 $B{\displaystyle }$[ 2${\displaystyle }$] ${\displaystyle B[2]}$에 삽입된다$.$ 이제 $B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle B[1]}$이(가) 비어 있으므로$$ E와 F를 연결하는 무거운 가장자리가 완화될 수 있다.

노드	A	B	C	D	E	F	G
잠정거리	0	3	6	5	3	8	3

다음 단계에서는 버킷 $B{\displaystyle }$[ ${\displaystyle 2}$] ${\디스플레이$ 스타일 $B[2]}$을(를) 조사하지만, 잠정적인 거리는 수정하지 않는다.

알고리즘이 종료된다.

런타임

앞에서 언급한 바와 같이 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 최대 최단 경로 중량이다$$.

최대 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}${\$displaystyle \Delta}$의 총$$ 중량과 엣지 반복이 없는 $\Delta {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \Delta}$ - 경로를$$ 호출해 봅시다.

Let ${\displaystyle C_{\Delta }}$ denote the set of all node pairs ${\displaystyle \langle u,v\rangle }$ connected by some ${\displaystyle \Delta }$-path ${\displaystyle (u,\dots ,v)}$ and let ${\displaystyle n_{\Delta }:= C_{\Delta } }$. Similarly, define $$${\displaystyle C_{\Delta +}}$ as the set of triples ${\displaystyle \langle u,v',v\rangle }$ such that ${\displaystyle \langle u,v'\rangle \in C_{\Delta }}$ and ${\displaystyle (v',v)}$ is a light edge and let ${\displaystyle$$m_{\Delta }:=C_{\Delta +}$$}$ .

순차 델타 스텝 알고리즘은 최대 ${\displaystyle \mathcal{}}$ (${\displaystyle n}$+ m${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ +${\displaystyle {}_{}}$L /${\displaystyle \Delta \mathrm{}}$ )${\디스플레이$ 스타일 ${\mathcal {O}(n+m+n_{\)$가 필요하다${\displaystyle .}$$델타 }+m_{\$$델타 }+L/\Delta )}$ 작업$$.단순한 병렬화는 시간 $O{\displaystyle \mathcal{}(L\frac{}{}}$ ${\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }}{}}$ Δ ${\displaystyle \Delta {}_{}}$ ${\displaystyle {\Delta \mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle \log }$ Δ log $){\$ n$\rig)}$에 실행된다.$$^[1]

If we take ${\displaystyle \Delta =\Theta (1/d)}$ for graphs with maximum degree ${\displaystyle d}$ and random edge weights uniformly distributed in ${\displaystyle [0,1]}$, the sequential version of the algorithm needs ${\displaystyle {\mathcal {O}}(n+m+dL)}$ total averag${\displaystyle {}^{}}$ 시간과 단순 병렬화는 $평균{\displaystyle \mathcal{}}$O(d 2 L l log ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}n}$) ${\displaystyle {\mathcal {O}(d^{2}L\log ^{2}n)}$에 걸린다$.$^[1]

그래프 500

Graph 500 벤치마크의 세 번째 계산 커널은 단일 소스 최단 경로 계산을 실행한다.^[2]Graph 500 벤치마크의 기준 구현은 이 계산에 델타 스텝 알고리즘을 사용한다.

반지름 스텝 알고리즘

반지름 스텝 알고리즘의 경우 $그래프{\displaystyle }$ G ${\displaystyle$ G$}$이(가) 리디렉션되지 않은 것으로$$ 가정해야 한다.

알고리즘에 대한 입력은 ${\displaystyle \mathrm{가중치}}$, 비방향 그래프, 소스 꼭지점 및 ${\displaystyle {\mathbb{}}_{}}r{\displaystyle }$ : V →${\displaystyle }$R${\displaystyle {}_{}}$+ ${\$$V\rightarrow \mathb {R} _$^[3]알고리즘은 $소스$의 s$${\$displaystyle s}$로부터 증가하는 거리에 있는 정점을 방문한다$.$ 각 $단계{\displaystyle }$ i$${\$displaystyle$$$i$}$에서 Radius-Steping은 $d{\displaystyle {}_{}}$- ${\displaystyle 1_{}}${\$displaystyle$ $d_{i$:1$}}$에서 ${\displaystyle {di}_{}}${\$displaystystyle$ d_{$i}$까지 ${\}$에 중심을 맞춘다$.$$\displaystyle v}$은(는) - 1 < d (( , ) ${\$^[3]

다음은 유사 부드의 반지름 스테핑 알고리즘이다.

입력: 그래프 $G{\displaystyle }$= ${\displaystyle (V}$, E${\displaystyle }$, w${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ G$=(V,E,w$ 정점 $반지름{\displaystyle }$ r${\displaystyle (\cdot )}$ ${\displaystyle r(\cdot$ $)\},$ 소스 $노드{\displaystyle }$ s ${\displaystyle s}$출력:The graph distances ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ from ${\displaystyle s}$.  1  ${\displaystyle \delta (\cdot )\leftarrow +\infty }$, ${\displaystyle \delta (s)\leftarrow 0}$  2  foreach ${\displaystyle v\in N(s)}$ do ${\displaystyle \delta$(v)\leftarrow w(s,v)}, S0←{s}{\displaystyle S_{0}\leftarrow \{s\}}, 나는 ← 1{\displaystyle i\leftarrow 1}3S나는 − 1<>V{\displaystyle S_{i-1}<>V}나는 VS∖ 나는 1{δ(v)+r(v)}{\displaystyle d_{나는}\leftarrow \min −_{v\in V\setminus S_{∈분 v← 4d.i-1}}$\{\delta (v)+r(v)\}}$  5    repeat     6      foreach ${\displaystyle u\in V\setminus S_{i-1}}$ s.t ${\displaystyle \delta (u)\leq d_{i}}$ do  7        foreach ${\displaystyle v\in N(u)\setminus S_{i-1}}$ do  8          ${\displaystyle \delta (v)\leftarrow min\{\delta (v),\delta (u)+w(u,}$${\displaystyle \delta (v)\leftarrow \min\{\delta (v),\delta (u)+w(u,v)\}}$  9    until no ${\displaystyle \delta (v)\leq d_{i}}$ was updated  10   ${\displaystyle S_{i}=\{v\; \;\delta (v)\leq d_{i}\}}$  11   ${\displaystyle i=i+1}$  12 return ${\displaystyle \delta (\cdot )}$$\displaystyle \cdot(\cdot )}$

For all ${\displaystyle S\subseteq V}$, define ${\displaystyle N(S)=\bigcup _{u\in S}\{v\in V\mid d(u,v)\in E\}}$ to be the neighbor set of S.표준 너비 우선 검색 또는 Dijkstra 알고리즘을 실행하는 동안, 프론티어는 방문한 모든 정점의 인접 집합이다.^[3]

Radius-Stepping 알고리즘에서는 하위 단계 수를 경계하는 것을 목표로 각 라운드에서 새로운 라운드 거리 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\$가 결정된다$$.알고리즘은 각 꼭지점에 대해$$ $반경{\displaystyle }$ r$){\displaystyle r(v)}$을 취하고 프런티어(4호선)의$$ 모든 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$에 대해 최소$\Delta {\displaystyle (v}$)${\displaystyle }$+ r$(v$)를 취하여 단계$$ $i{\displaystyle }$ ${\displaystysty i}$에서 $d_{i}$를 선택한다.

그런 다음 5-9호선은 d ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 미만의 모든 정점이$$ 해결될 때까지 Bellman-Ford 하위 단계를 실행한다.$그런{\displaystyle {}_{}}$ 다음 d ${\displaystyle i_{}}$ ${\$ 내의 정점을 방문 세트 ${\displaystyle S_{}}$ i ${\$에 추가한다$.$^[3]

예

다음은 작은 예시 그래프의 알고리즘 실행에 대한 단계별 설명이다.소스 정점은 정점 A이며 모든 정점의 반경은 1과 같다.

알고리즘의 시작 부분에서 소스 꼭지점 A를 제외한 모든 정점은 가성모드에서$$ $\Delta {\displaystyle }$ ${\displaystyle \delta }$로 표시되는 무한 임시 거리를 가진다.

A의 모든 이웃은 긴장을 풀고 $S{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }${ A${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S_{0}=\{{{{}}}$$A$

노드	A	B	C	D	E	F	G
잠정거리	0	3	$\displaystyle \infit }$	5	3	$\displaystyle \infit }$	3

변수 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\$}을 4와 같도록 선택하고$$ 정점 B, E, G의 인접을 이완시킨다.${\displaystyle S_{1}=\{A,B,E,G\}}$

노드	A	B	C	D	E	F	G
잠정거리	0	3	6	5	3	8	3

변수 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$ ${\$}}은 6과 같도록 선택되며$$ 값은 변경되지 않는다.${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }${ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle S_{2}=\{A,B,C,D,E,G$

변수 $d{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$ ${\$를 9와 같도록 선택하며$$ 값이 변경되지 않는다.${\displaystyle S_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$=${\displaystyle }${ A${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle D,}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle F,}$ ${\displaystyle G\}}$ ${\displaystyle S_{3}=\{A,B,C,D,E,F,G$

알고리즘이 종료된다.

런타임

After a preprocessing phase, the radius stepping algorithm can solve the SSSP problem in ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m\log n)}$ work and ${\displaystyle {\mathcal {O}}({\frac {n}{p}}\log n\log pL)}$ depth, for ${\displaystyle p\leq {\sqrt {n}}}$. In addition, the preprocessing phase takes ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m\log n+np^{2})}$ work and ${\displaystyle {\mathcal {O}}(p^{2})}$ depth, or ${\displaystyle {\mathcal {O}}(m\log n+np^{2}\log n)}$ work and ${\displaystyl$$e {\mathcal{O}(p\log$ p$)}$ 깊이$$.^[3]

참조