행렬의 부분 역행

선형 대수학 및 통계학에서 행렬의 부분 역행은 수치해석 및 통계에 응용되는 가우스 소거와 관련된 연산이다.다양한 저자에 의해 주 피벗 변환 또는 스위프, 자이트레이션 또는 교환 연산자로도 알려져 있다.

$블록$으로 분할된$$ 벡터 $공간{\displaystyle }$ V ${\displaystyle V}$을(를${\displaystyle )}$ ${\displaystyle \mathrm{통해}}$ n$$× n {\displaystyle $n\times n}$ 행렬$$ $A{\displaystyle }$ ${\displaystyle A}$이(가) 지정됨:

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{pmatrix}}}$

If ${\displaystyle A_{11}}$ is invertible, then the partial inverse of ${\displaystyle A}$ around the pivot block ${\displaystyle A_{11}}$ is created by inverting ${\displaystyle A_{11}}$, putting the Schur complement ${\displaystyle A/A_{11}}$ in place of ${\di$$splaystyle A_{22$을(를) 실행하고 이에 따라 오프다이앵글 요소를 조정하십시오.^[1]

${\displaystyle \operatorname {inv} _{1}A={\begin{pmatrix}(A_{11})^{-1}-(A_{11})^{-1}A_{12}\\A_{21}(A_{11})^{-1}&A_{22}-A_{21}(A_{11})^{-1A_{12}\end{pmatrix}}}}}}}$

개념적으로 부분 역전은 일치 분할된 열 행렬$({\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 2${\displaystyle {}_{}{}^{}}$)의 경우 Matrix($x_{1},x_{2}^{{$2$}^{\$$v\time$ V$}에서 매트릭스$, ${\displaystyle \mathrm{AX}}$)의 그래프의 회전에^[2] 해당한다$.$$T}$ 및$$${\displaystyle }$(${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}{}^{}}$) ${\displaystyle T^{}}$ ${\$$T}$ $:$^[1]

${\displaystyle A{\begin{pmatrix}x_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}y_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}\Leftrightarrow \operatorname {inv} _{1}(A){\begin{pmatrix}y_{1}\\x_{2}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x_{1}\\y_{2}\end{pmatrix}}}$

이렇게 정의한 대로 이 연산자는 자체 역행이다: ${\displaystyle {\mathrm{inv}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$(${\displaystyle {\mathrm{inv}}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle A}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \operatorname {inv} _{k}(\operatorname {inv} _{k}(A)).$$=A}$, 그리고 만약 피벗 블록 A ${\displaystyle {11}_{}}$ ${\$이 전체 매트릭스로 선택된다면$$, 변환은 단순히 매트릭스 $역{\displaystyle {}^{}}$A - ${\displaystyle 1^{}}${\$displaystyle$ A$^{-1$ . 일부 저자는 (다른 이름들 중 하나에서) 관련 연산을 정의하는데, 이것은 (다른 이름들 중 하나에서)에 역행하지 않는다는 점에 유의한다.tead에는${\displaystyle }$(${\displaystyle \mathrm{inv}}$ ${\displaystyle k_{}{}^{}}$) ${\displaystyle {2\mathrm{}}^{}}$( A${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= -${\displaystyle A}$ ${\displaystyle (\opername {inv} _{k}^{2}(A)=-A}$ 가 있다$.$

변환은 ${\displaystyle {종종}_{}}$ 0이 아닌 단일 원소 a ${\displaystyle k_{}}$ ${\$을 중심으로 피벗으로 표시되며, 이 경우 변환은 다음과 같다$.$

${\displaystyle \left[\operatorname {inv} _{k}(A)\right]_{ij}={\begin{cases}{\frac {1}{a_{kk}}}&i=j=k\\-{\frac {a_{kj}}{a_{kk}}}&i=k,j\neq k\\{\frac {a_{jk}}{a_{kk}}}&i\neq k,j=k\\a_{ij}-{\frac {a_{ik}a_{kj}}{a_{kk}}}&i\neq k,j\neq k\end{cases}}}$

부분적 삽입은 다음과 같은 여러 가지 좋은 특성을 준수한다.^[3]

• 서로 다른 블록 주위의 반전들이 통근하기 때문에, 더 큰 피벗은 작은 피벗들의 배열로 만들어질 수 있다.
• 부분 반전 대칭 행렬의 공간 보존

수치해석에서 부분 역의 사용은 피벗의 선택에 어느 정도 융통성이 있어 비반복적인 요소를 피할 수 있고, (피벗은 행렬의 그래프의) 회전 연산이 가우스시가 암묵적으로 수행하는 피복 연산에 비해 수학적 안정성이 뛰어나기 때문이다.탈락자 ^[2]명단통계에서 사용하는 것은 결과 행렬이 선형 회귀의 맥락에서 유용한 의미를 갖는 블럭으로 잘 분해되기 때문이다.^[3]

참조