4각형의 수직 이등분 구조

기하학에서, 4각형의 수직 이등분 구조는 기존의 4각형의 측면에 수직 이등분선을 사용하여 주어진 4각형에서 새로운 4각형을 생산하는 구조다. 이 구조는 비순환적인 경우에 사방형의 원곡선을 대체하기 위한 시도로서 자연스럽게 발생한다.

시공의 정의

Suppose that the vertices of the quadrilateral ${\displaystyle Q}$ are given by ${\displaystyle Q_{1},Q_{2},Q_{3},Q_{4}}$. Let ${\displaystyle b_{1},b_{2},b_{3},b_{4}}$ be the perpendicular bisectors of sides ${\displaystyle Q_1{Q}_2,Q_2{Q}_3,Q_3}$${\displaystyle {}_{}{Q}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {4\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$ ${\$2}$Q_{3}Q_{3}Q_${4}Q_{4$}Q_{1$}Q_${1$}:{1$}:{$1} 각각. Then their intersections ${\displaystyle Q_{i}^{(2)}=b_{i+2}b_{i+3}}$, with subscripts considered modulo 4, form the consequent quadrilateral ${\displaystyle Q^{(2)}}$. The construction is then iterated on ${\displaystyle Q^{(2)}}$ to produce ${\di$$splaystyle$ Q$^{(3)}$ 등

$Q{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle {\mathrm{i}}^{}}$+ 1$){\$ Q$^{(i+1)}}$의 정점을 $Q{\displaystyle {}^{}}$($){\$의 정점 3개의 정점 조합을 선택하여 형성된 4개의 삼각형의 원곡선이 되도록$$ 함으로써 등가의 구조를 얻을 수 있다$.$

특성.

1. $Q{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle 1^{}}$ $){\$Q^{(1)}}}}}{\displaystyle Q^{($2)}}}}$이(가)^[1] 주기적이지$$ 않으면 $Q{\displaystyle {}^{}}$ (${\displaystyle 2^{}}$ )${\$ Q$^{(2)$가 퇴화되지 않는다$$.

2. 사방${\displaystyle {}^{}}Q{\displaystyle {}^{}}$ ( ${\displaystyle 2^{}}$) ${\$ Q$^{(2)}}}}}$은 결코 순환되지 않는다$$.^[1] #1과 #2를 합치면 $Q{\displaystyle {}^{}}$( ${\displaystyle 3^{}}$)$${\$디스플레이 스타일$ Q$^{(3)}}}}}}}$은(는) 항상 비데겐화다.

3. $사변측정감시{\displaystyle {}^{}}$ Q${\displaystyle {}^{}}$( $){\$와 Q${\displaystyle {}^{}}$($){\$는 동음이의어로, 특히 유사하다.^[2] 사변측정감시 $Q{\displaystyle {}^{}}$( $){\$ Q$^{($$)}}{\$displaystyle $Q{\displaystyle {}^{}}$^{(4$displaystyle Q^{$ ($4)}$도 동음이의어다$$.

3. 수직 이등분자 구조는 이등분법을 통해 역전될 수 있다.^[3] 즉, $Q{\displaystyle {}^{}}$(${\displaystyle i^{}}$+ $){\$${\displaystyle {i+}^{}}$$1$$)}}}}}}{\$displaystyle Q^{(i)}}}}}}을${\displaystyle {(}^{}}$를) 구성할 수 있다$.$

4. Let ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta }$ be the angles of ${\displaystyle Q^{(1)}}$. For every ${\displaystyle i}$, the ratio of areas of ${\displaystyle Q^{(i)}}$ and ${\displaystyle Q^{(i+1)}}$ is given by^[3]

$[\displaystyle (1/4)(\displaystyle)(\displaystyle)(\displaysty)(\display)(\display)(\display)(\disc)(\display)\}$

5. If ${\displaystyle Q^{(1)}}$ is convex then the sequence of quadrilaterals ${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(2)},\ldots }$ converges to the isoptic point of ${\displaystyle Q^{(1)}}$, which is also the isoptic point for every ${\displaystyle Q^{(i)}}$. Similarly, if ${\displaystyle Q^{(1)}}$ is concave, then the sequence ${\displaystyle Q^{(1)},Q^{(0)},Q^{(-1)},\ldots }$ obtained by reversing the construction converges to the Isoptic Point of the ${\displaystyle Q^{(i)}}$'s.^[3]

참조

• J. 랭그, 문제 E1050, 아머. 수학. 월 60 (1953) 551
• V. V. Prasolov, 평면 기하학 문제, vol. 1 (러시아어), 1991; 문제 6.31.
• V. V. Prasolov, 평면 및 솔리드 형상의 문제, vol. 1(D로 번역됨) Leites), http://students.imsa.edu/~tliu/math/planegeo.eps에서^{[permanent dead link]} 이용 가능.
• D. Bennett, 동적 기하학은 지오메트리 켜기, (ed. J. King), MAA 노트 41, 1997, 페이지 25–28의 오래된 문제에 대한 관심을 새롭게 한다.
• J. 킹, 수직 이등분선에 의해 형성된 4각 측광선, 지오메트리 켜기(ed. J. King), MAA 노트 41, 1997, 페이지 29–32.
• G. C. 쉐퍼드 수직 이등분 구조, 검 데디카타, 56 (1995) 75–84.
• A. 보고몰니, 수직 이등분자, 상호작용 수학 미스셀라니와 퍼즐로 형성된 사변측정학 http://www.cut-the-knot.org/Curriculum/Geometry/PerpBisectQuadri.shtml
• B. 그룬바움, 4각형에서 파생된 온 쿼드랑글—3부, Gembinatorics 7(1998), 88–94.
• O. 라드코와 E. 슈커만, 수직 이등분자 건설, 이솝틱 포인트와 심슨 라인, 포룸 기하학 12: 161–189 (2012)