섭동함수

수학적 최적화에서 섭동 함수는 원시 및 이중 문제와 관련된 함수다.그 이름은 그러한 기능이 초기 문제의 동요를 규정한다는 사실에서 유래되었다.많은 경우에 이것은 제약조건을 바꾸는 형태를 취한다.^[1]

일부 텍스트에서는 값 함수를 섭동함수라고 하며, 섭동함수는 분기함수라고 한다.^[2]

정의

로컬 볼록한 공간$({\displaystyle {}^{}}$, X ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\$ 및${\displaystyle }$(${\displaystyle Y}$,$Y$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\$을(으)로$$ 구분된 두 쌍의 쌍이 주어짐$.$그런 다음${\displaystyle }f{\displaystyle }$ :${\displaystyle X}$ → ${\displaystyle R\mathbb{}\{\{}$ +${\displaystyle \mathrm{}}$} ${\displaystyle \}}${\$displaystyle f:X\to \mathb {R} \cup \cupty \}}$을(를) 함수에 따라 원초적인 문제를 정의할 수 있다$.$

${\displaystyle \inf _{x\in X}f(x).\,}$

제약조건 $조건$이 있는 경우$$ $f{\displaystyle }$$$${\displaystyle \leftarrow f}$ + ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {c\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{o}}_{}}$ n ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ r a $a$ a t ${\displaystyle {\mathrm{t}}_{}}$ { { { { { { { { ${${ { { { { { ${${$${ { { { { { { { { { { o$$o o$$ o$$ o$$o$$o o o o o o o o $o{\displaystyle }$ o o o o o o o t o o o o t o t o t o t o그러면 $F{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$${\displaystyle }$${\displaystyle \times }$ Y${\displaystyle }$→ ${\displaystyle R\mathbb{}}$ ${\displaystyle \cup }$ { +${\displaystyle \mathrm{\infty }}$ ${\displaystyle \}}$ ${\displaystyle F:X\time Y\$time Y\$to \mathb {R} \cup$\cup{+\$inflt{\displaystyle }$$$\}}}} \$displaysty F(x,0)=$인 경우에만 섭동함수가 된다$$$.$^[1][3]

이중으로 사용

이중성격차는 불평등 좌우의 차이다.

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}-F^{}}(0,y^{*})\leq \inf _{x\in X}F(x,0),}$

여기서 $F{\displaystyle {}^{}}$ $∗{\$는 두 변수의 볼록 결합이다.^[3][4]

어떤 선택이든 섭동 기능 F 약한 이중성이 유지된다.만약 충족된다면 강한 이중성을 암시하는 많은 조건들이 있다.^[3]For instance, if F is proper, jointly convex, lower semi-continuous with ${\displaystyle 0\in \operatorname {core} ({\Pr }_{Y}(\operatorname {dom} F))}$ (where ${\displaystyle \operatorname {core} }$ is the algebraic interior and ${\displaystyle {\Pr }_{Y}}$ is the projection${\displaystyle {Pr}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$( ${\displaystyle x}$, y${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle {\Pr }_{Y}(x,y)=y}$) 및 X, Y는 Fréchet 공간이고 그 다음에는 강한 이중성이 유지된다.^[1]

예

라그랑기안

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle (X,X^{*})$ 및$$ $({\displaystyle Y}$,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle (Y,Y^{*})$을 이중 쌍으로 한다$$.Given a primal problem (minimize f(x)) and a related perturbation function (F(x,y)) then the Lagrangian ${\displaystyle L:X\times Y^{*}\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$ is the negative conjugate of F with respect to y (i.e. the concave conjugate).저것은 라그랑지안이 정의한 것이다.

${\displaystyle L(x,y^{*})=\inf _{y\in Y}\left\{F(x,y)-y^{*(y)\right\}.}$

특히 약한 이중성 minmax 방정식은 다음과 같이 보일 수 있다.

${\displaystyle \sup _{y^{*}\in Y^{*}}-F^{*}(0,y^{*})=\sup _{y^{*}\in Y^{*}}\inf _{x\in X}L(x,y^{*})\leq \inf _{x\in X}\sup _{y^{*}\in Y^{*}}L(x,y^{*})=\inf _{x\in X}F(x,0).}$

만약 원초적인 문제가 다음에 의해 주어지는 경우

${\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq 0}f(x)=\inf _{x\in X}{\tilde {f}(x)}$

${\displaystyle \mathrm{여기}}$서 $f{\displaystyle \stackrel{}{}}$~${\displaystyle }$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle f}$( x${\displaystyle }$)${\displaystyle }$+ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {R{\mathbb{}}_{}^{}}_{}}$+ ${\displaystyle {{}_{}^{}}_{}}$(${\displaystyle }$-${\displaystyle }$( ${\displaystyle x}$)${\displaystyle }$) ${\displaystyle {\tilde{f}}(x)=f(x)++$$I_{\mathb {R} _{+}^{d}}(-g(x))}}$.그 다음, 이 동요가 에 의해

${\displaystyle \inf _{x:g(x)\leq y}f(x)}$

그러면 섭동 기능은

$F(x,y)=f(x)+I_{\mathb {R} _{+}^{d}}}(y-g(x))).}$

따라서 L은 사소한 것으로 볼 수 있기 때문에 라그랑의 이중성과의 연관성을 알 수 있다.

${\displaystyle L(x,y^{*}={\begin}f(x)+y^{*(g(x))}&{\text{{}y^{*}\in \mathb {R} _{+}^{d},\-\inflt &\text{else}}}.\end{case}}}$

펜첼 이중성

$({\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$, ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle (X,X^{*})$ 및$$ $({\displaystyle Y}$,${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$) ${\displaystyle (Y,Y^{*})$을 이중 쌍으로 한다$$.보조 연산자 $T{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$: ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {\ast }^{}}$→ X → Y ${\displaystyle T:X\to Y}$이(가) 있는 선형 지도 $T{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ∗ → ${\displaystyle {}^{}}$ {\$displaystyle$ T$^{*}$이(가) 있다고 가정하십시오.$Y^{*}\to X^{*}}$. Assume the primal objective function ${\displaystyle f(x)}$ (including the constraints by way of the indicator function) can be written as ${\displaystyle f(x)=J(x,Tx)}$ such that ${\displaystyle J:X\times Y\to \mathbb {R} \cup \{+\infty \}}$. Then the p에스터브 기능은 다음과 같다.

$[\displaystyle F(x,y)=J(x,Tx-y)]}$

In particular if the primal objective is ${\displaystyle f(x)+g(Tx)}$ then the perturbation function is given by ${\displaystyle F(x,y)=f(x)+g(Tx-y)}$, which is the traditional definition of Fenchel duality.^[5]

참조