플뤼커 좌표

기하학에서, 플뤼커 좌표, 플뤼커에 의해 19세기에 도입될 수 있는 방법 각 선에 사영 3-space, P3에 6제 차 기하의 좌표를 부여하기.왜냐하면 그들은 2차 제약 조건을 충족하는, 그들은 라인의 P3지점의4-dimensional 공간 사이의 P5에서 5-sp 사영 2차 곡면에 대한 일대일 대응을 확립한다.에이스. 그래스만 좌표의 전신이자 특수한 경우(k-차원 선형 서브 스페이스 또는 평면을 n-차원 유클리드 공간에서 기술함), 플뤼커 좌표는 기하 대수학에서 자연적으로 발생한다. 그것들은 컴퓨터 그래픽에 유용한 것으로 증명되었고, 로봇 제어에 사용되는 운동학 이론에서 나사 및 렌치의 좌표까지 확장될 수 있다.

기하학적 직감

3차원 유클리드 공간의 선 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$은(는) 포함된 두 개의 구별되는 점 또는 이를 포함하는 두 개의 구별되는 평면에 의해 결정된다. $점{\displaystyle }$ x${\displaystyle }$= ( ${\displaystyle {x\mathrm{}}_{}}$ 1,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle {3\mathrm{}}_{}}$) ${\displaystyle$ x$=(x_{1},x_{2},x_{3}}$ $및$ y =${\displaystyle }$( ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$, ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 2,${\displaystyle {}_{}{}_{}{3\mathrm{}}_{}}$ )$${\$displaysty$ y$=(y_{1},y_},y_{3}})$가 있는 첫 번째 경우를 생각해 보십시오$.$ $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$까지의 벡터 변위는 점이 구별되고 선의 방향을 나타내기 때문에 0이 아니다$$. $즉{\displaystyle }$, $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle L}$의 점 사이의 모든 변위는 d$$${\displaystyle }$= ${\displaystyle y}$- ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle d=y-x}$의 스칼라 배수. 단위 질량의 물리적 입자가 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x}에서 $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}($으)로$$ 이동한다면, 원점에 대한 순간을 가질 수 있을 것이다$.$ 기하 등가란 방향은 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$과 원점을$$ 포함하는 평면에 수직이며, 길이는 변위와 원점에 의해 형성된 삼각형의 면적의 두 배와 같은 벡터를 말한다. 점을 원점으로부터의 치환으로 처리하면, 순간은 m = x x x y로 여기서 "×"는 벡터 크로스 제품을 나타낸다. 고정 선 $L{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ L$}$의 경우$,$ 삼각형의 기저값으로 간주되는$$$x{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ x$}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaystyle y}$ 사이의 세그먼트 길이에 비례하며, 선에 따라 베이스를 미끄러뜨려도 그 자체와 평행하게 변경되지 않는다. 정의상 모멘트 벡터는 선을 따라 있는 모든 변위에 수직이므로 d ⋅ m = 0, 여기서 " where"은 벡터 도트 곱을 나타낸다.

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$과 m ${\displaystyle m}$ 둘$$ 다 L ${\displaystyle L$}을(를) 결정하기에 충분하지 않지만$,$ $두{\displaystyle }$ 쌍은 함께 x ${\displaystyle x}$과 $y{\displaystyle }$ ${\displaysty y}$ 사이의 거리에 따라 달라지는 공통 (nonzero) 스칼라 배수까지 고유하게 된다$.$ 즉, 좌표.

(d:m) = (d₁:d₂:d₃:m₁:m₂:m₃:m)

λ 0에 대한 모든 쌍(λd:λm)은 L의 점 및 L에만 의해 생성될 수 있으며, d가 0이 아닌 한 그러한 쌍은 고유한 선을 결정한다는 점에서 L에 대한 균일한 좌표로 간주할 수 있다. 더욱이, 이 접근방식은 투영 기하학의 관점에서 점, 선 및 "무한도"의 평면을 포함하도록 확장된다.

예. x = (2,3,7)와 y = (2,1,0)로 한다. 그러면 (d:m) = (0:-2:-7:-7:14:-4)

또는 L을 포함하는 두 개의 구별되는 평면의 점 x에 대한 방정식을 다음과 같이 한다.

0 = a + a x x

0 = b + b ⋅ x .

그런 다음 각각의 평면은 벡터 a와 b에 수직이고 L의 방향은 둘 다에 수직이어야 한다. 따라서 우리는 d = × b를 설정할 수 있는데, 이는 a와 b가 0도 아니고 평행도 아니기 때문에 0이 아니다(평면은 구별되고 교차한다). 점 x가 두 평면 방정식을 모두 만족하면 선형 결합도 만족한다.

0	= a (b + b ⋅ x) − b (a + a ⋅ x)
	= (a b − b a) ⋅ x .

즉, m = b - b a는 원점에서 L의 점으로 변위하는 것에 직각인 벡터로서, 사실은 a와 b에서 이전에 정의한 d와 일치하는 순간이다.

증명 1: m = b - b a = r × d = r × (a × b)라는 것을 보여줄 필요가 있다.^{what is "r"?}

일반성을 상실하지 않고 a a = b ⋅ b = 1로 한다.

B점이 원조다. L선은 D점을 통과하며 그림의 평면에 직교한다. 두 평면은 CD와 DE를 통과하며 둘 다 그림의 평면에 직교한다. 점 C와 E는 해당 평면에서 원점 B에 가장 가까운 점이며, 따라서 각도 BCD와 BED는 직각이며, 따라서 점 B, C, D, E는 원 위에 놓여 있다(탈레스의 정리의 윤곽선 때문에). BD는 그 원의 지름이다.

a :=BE/BE , b :=BC/BC ，r :=BD, -a = BF ，-b = BC = BG, m = Ab - ba = FG, d = × b = sin(FBG)

Angle BHF는 다음과 같은 주장으로 인한 직각이다. Let ${\displaystyle \epsilon :=\angle BEC}$. Since ${\displaystyle \Delta BEC\cong \Delta BFG}$ (by side-angle-side congruence), then ${\displaystyle \angle BFG=\epsilon }$. Since ${\displaystyle \angle BEC+\angle CED=90^{\circ }}$, let ${\displaystyle {ϵ}^{\prime }:={90}^{}}$${\displaystyle \epsilon ':=90^{\circ }-\epsilon =\angle CED}$. By the inscribed angle theorem, ${\displaystyle \angle DEC=\angle DBC}$, so ${\displaystyle \angle DBC=\epsilon '}$. ${\displaystyle \angle HBF+\angle BFH+\angle FHB=180^{\c$$irc }}$; ${\displaystyle \epsilon '+\epsilon +\angle FHB=180^{\circ }}$, ${\displaystyle \epsilon +\epsilon '=90^{\circ }}$ therefore ${\displaystyle \angle FHB=90^{\circ }}$. Then DHF must be a right angle as well.

각도 DCF와 DHF는 직각이기 때문에 C, D, H, F 4개 지점은 원 위에 놓여 있고, (교차되는 세컨트 정리)

BF BC = BH BD , that is ab sin(FBG) = BH r sin(FBG), 2(area of triangle BFG) = ab sin(FBG) = BH FG = BH r sin(FBG), m = FG = r sin(FBG) = r d , check direction and m = r × d. ∎

증명 2:

a a a = b b b = 1로 한다. 라는 뜻을 내포하고 있다.

a = - BE, b = - BC.

벡터 트리플 제품 공식에 따르면

r × (a × b) = (r ⋅ b) a − (r ⋅ a) b

그러면

r = 0이면 L선은 d 방향으로 원점을 통과한다. r > 0일 경우, 선은 방향 d를 가지며, 선원과 선 L을 포함하는 평면은 정상 벡터 m을 가지며, 선은 원점을 중심으로 한 원(정규에서 m까지 그리고 그림의 평면에 수직)에 접한다.

예. a₀₀ = 2, a = (-1,0,0) 및 b = -7, b = (0,7,-2)로 한다. 그러면 (d:m) = (0:-2:-7:-7:14:-4)

통상적인 대수적 정의가 관계를 모호하게 하는 경향이 있지만, (d:m)는 L의 플뤼커 좌표다.

대수적 정의

원시 좌표

In a 3-dimensional projective space ${\displaystyle P^{3}}$, let ${\displaystyle L}$ be a line through distinct points ${\displaystyle x}$ and ${\displaystyle y}$ with homogenous coordinates ${\displaystyle (x_{0}:x_{1}:x_{2}:x_{3})}$ and ${\displaystyle (y_0:y_1:}$${\displaystyle y_{}}$ ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$: ${\displaystyle {y\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle (y_{0}:y_{1}:y_{2}:y_{3}}$.

Plucker 좌표 $p{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle i_{}}$ ${\displaystyle j_{}}$ ${\$는 다음과 같이 정의된다$$.

${\displaystyle p_{ij}}$

${\displaystyle {}={\displaysty}x_{i}x_{i}_{i}\\x_{j}_{j}\end{vmatrix}}=x_{j}y}=x_{j}-x_{j}y}y_{i}y}}.}$

(원소가_ij p인 스큐 대칭 행렬을 Plucker 행렬이라고도 함)
이것은 p_ii = 0과 p_ij = -p를_ji 의미하며, 6 (4 선택 2)의 독립 수량으로 가능성을 줄인다. 6분의 1

${\displaystyle(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}}}}}$

공통의 0이 아닌 척도 계수까지 L에 의해 고유하게 결정된다. 더욱이 6개 성분이 모두 0일 수는 없다. 따라서 L의 Plucker 좌표는 대장 표기법에 의해 제안된 바와 같이 5차원 투사 공간에서 점의 균일한 좌표로 간주될 수 있다.

이러한 사실을 보려면 M을 점 좌표를 열로 하여 4×2 행렬이 되게 한다.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}\x_{1}\x_{2}\x_{3}\x_{3}&y}\end{bmatrix}}}}}}}}$

Plucker 좌표 p는_ij M의 i행과 j행의 결정인자다. x와 y는 구별되는 점이기 때문에 M의 열은 선형적으로 독립적이며, M은 순위 2를 가진다. M′을 L에 다른 쌍의 구별되는 점을 가진 열 x x x x와 y가 있는 두 번째 행렬이 되게 한다. M′의 열은 M의 열들의 선형 결합이다. 따라서 일부 2×2 비정규 행렬 λ의 경우,

$M'=M\Lambda.}$

특히 M′과 M의 i열과 j열은 다음과 같이 연관되어 있다.

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x'_{i}&y'_{i}\\x'_{j}&y'_{j}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{i}&y_{i}\\x_{j}&y_{j}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\lambda _{00}&\lambda _{01}\\\lambda _{10}&\lambda _{11}\end{bmatrix}}.}$

따라서 왼쪽 2×2 행렬의 결정 인수는 오른쪽 2×2 행렬의 결정 인자의 산물과 같으며, 그 중 후자는 고정 스칼라, 데트 Ⅱ이다. 더욱이 M의 2×2 하위 결정체 6개는 모두 M의 등급이 2이기 때문에 0이 될 수 없다.

플뤼커 지도

모든³ 선(P의¹ 선형 영상)의 집합을 P by G로_1,3 나타낸다. 그래서 우리는 지도를 가지고 있다:

${\displaystyle {\begin}\alpha \colon \colon \mathrm {G} _{1,3}&\오른쪽 화살표 \mathbf {P} ^{5}\\\L&\mapsto L^{\alpha },\end{arged}}}$

어디에

${\displaystyle L^{\alpha }=(p_{01}:p_{02}:p_{03}:p_{23}:p_{31}:p_{12}).}$

이중좌표

또는 선은 두 평면의 교차점이라고 설명할 수 있다. L은 각각 동종 계수(a⁰:a¹:a²:a:a³)와 (b⁰:b¹:b²:b:b³:b)를 가진 구별되는 평면 a와 b에 포함된 선이 되도록 한다.(예를 들어 첫 번째 평면 방정식은 σ_k ax^k_k=0이다.) 듀얼 플뤼커 좌표 p는^ij

${\displaystyle p^{ij}}$

${\displaystyle {}={\put{vmatrix}a^{i^{j}\\b^{j}\end{vmatrix}=a^{i}b^{j}-a}b^{i}}.}$

이중 좌표는 일부 계산에서 편리하며, 일차 좌표와 동일하다.

${\displaystyle(p_{01}:p_{02}p_{03}p_{23}:p_{31:p_{12}=(p^{31)=p^{312:p^{01}:p^{03}}$

여기서 균일한 좌표에서 두 벡터 사이의 균등성은 우측의 숫자가 어떤 공통 스케일링 계수 $to{\displaystyle }$ ${\displaystyle \lambda }$까지 왼쪽의 숫자와 같다는 것을 의미한다$.$ 구체적으로는 (i,j,k,ci)가 (0,1,2,3)의 짝수 순열화되도록 하고, 그 다음에,

${\displaystyle p_{ij}=\boda p^{k\ell }}$

기하학

기하학적 직관과 다시 관련시키려면 x₀ = 0을 무한대의 평면으로 삼으십시오. 따라서 무한대에 있지 않은 점의 좌표는 x₀ = 1이 되도록 정규화할 수 있다. 그러면 M이 된다.

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&1\x_{1}&y_{1}\x_{2}\x_{3}&y_{3}\end{bmatrix},}$

and setting ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3})}$ and ${\displaystyle y=(y_{1},y_{2},y_{3})}$, we have ${\displaystyle d=(p_{01},p_{02},p_{03})}$and ${\displaystyle m=(p_{23},$$p_{31},p_{12}}}$.

d =${\displaystyle }$(${\displaystyle }p{\displaystyle }$ ${\displaystyle {23}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {31}^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {12}^{}}$) ${\displaystyle$ d$=(p^{23},p^{31$${\displaystyle {}^{}}$$p$^{31,p$^{12}})$와 $m{\displaystyle }$= ${\displaystyle ({}^{}}$ ${\displaystyle {01}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{p02}}^{}}$,${\displaystyle {}^{}}$^{${\displaystyle {03}^{}}${\$displaystym m=(p^{01,p^{02$,p$^{03}}}})$이 있다$.$

선과 클라인 쿼드릭 사이의 편향

평면 방정식

점 z = (z₀:z₁:z₂:z:z₃)가 L에 있으면 다음 열

${\displaystyle {\bmatrix}x_{0}&y_{0}&y_{0}\\x_{1}#1}&y_{1}\1}\x_{2}&y_{2}&j_{3}&y_{3}&z_{bmatrix}}}}}}}}}}}end{bmatrix}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$

선형 의존적이어서 이 큰 행렬의 순위는 여전히 2이다. 이는 모든 3×3 하위 계수가 다음과 같은 4개의 평면 방정식을 생성하면서 결정인 0을 가지고 있음을 의미한다.

${\displaystyle{\begin{정렬}0&, ={\begin{vmatrix}x_{0}&, y_{0}&, z_{0}\\x_{1}&, y_{1}&, z_{1}\\x_{2}&, y_{2}&, z_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&, ={\begin{vmatrix}x_{1}&, y_{1}\\x_{2}&, y_{2}\end{vmatrix}}z_{0}-{\begin{vmatrix}x_{0}&, y_{0}\\x_{2}&, y_{2}\end{vmatrix}}z_{1}+{\begin{vmatrix}x_{0}&, y_{0}\\x_{1}&, y_{1}\end{v매트릭스}}z_ᆩ\\[5pt]&, =p_{12}z_{0}-p_{02}z_{1}+p_{01}z_{2}.\\[5pt]&=p^{03}z_{0}+p^{13}z_{1}+p^{23}z_{2}.\end{정렬}}}$

입수 가능한 4대의 평면은 다음과 같다.

${\displaystyle {\begin{matrix}0&=&{}+p_{12}z_{0}&{}-p_{02}z_{1}&{}+p_{01}z_{2}&\\0&=&{}-p_{31}z_{0}&{}-p_{03}z_{1}&&{}+p_{01}z_{3}\\0&=&{}+p_{23}z_{0}&&{}-p_{03}z_{2}&{}+p_{02}z_{3}\\0&=&&{}+p_{23}z_{1}&{}+p_{31}z_{2}&{}+p_{12}z_{3}\end{matrix}}}$

이중 좌표를 사용하여 (a⁰:a¹:a²:a:a³:a) 선 계수가 되도록 하는 것은ⁱ 각각 a = p^ij, 또는

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{3}p^{ij}z_{i},\qquad j=0,\ldots,3.}$

각 Plucker 좌표는 네 개의 방정식 중 두 개에 나타나며, 각 방정식은 서로 다른 변수를 곱하고, 좌표 중 적어도 한 개가 0이 아니므로 L에서 교차하는 두 개의 구별되는 평면에 대해 비확실성이 보장된다. 따라서 선의 플뤼커 좌표는 그 선을 고유하게 결정하며, 지도 α는 주입이다.

이차관계

α의 이미지는 P의⁵ 점의 전체 집합이 아니다; L 선에 있는 Plucker 좌표는 2차 Plucker 관계를 만족한다.

${\displaystyle {\regated}0&=p_{01}p^{01}+p_{02}p^{03}+p^{03}{03}+p^{03}\&={01}p_{02}p_{03}p_{03}p_{12}.\end{정렬}}}$

증거를 위해 이 동종 다항식을 결정요소로 쓰고 라플라스 확장(역방향)을 사용한다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{1}&y_{1}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{3}&y_{3}\\x_{1}&, y_{1}\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}x_{0}&, y_{0}\\x_{3}&, y_{3}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x_{1}&, y_{1}\\x_{2}&, y_{2}\end{vmatrix}}\\[5pt]&, =(x_{0}일 경우 y_{1}-y_{0}일 경우 x_{1}){\begin{vmatrix}x_{2}&, y_{2}\\x_{3}&, y_{3}\end{vmatrix}}-(x_{0}일 경우 y_{2}-y_{0}일 경우 x_{2}){\begin{vmatrix}x_{1}&, y_{1}\\x_{3}&, y_{3}\end{vmatrix}}+(x_{0}일 경우 y_{3}-y_{0}일 경우 x_{3}){\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}\\\[5pt]&&=x_{0}\left(y_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+y_{3}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}}\right)-y_{0}\left(x_{1}{\begin{vmatrix}x_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-x_{2}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}+x_{3}{{\cHB{vmatrix}x_{1}&y_{1}\\\x_{2}&y_{2}\end{vmatrix}\오른쪽)\\[5pt]&=x_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&y_{1}\\x_{2}&y_{2}&y_{2}\\x_{3}&y_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}-y_{0}{\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}&y_{1}\\x_{2}&x_{2}&y_{2}\\x_{3}&x_{3}&y_{3}\end{vmatrix}}\end{aligned}}}$

3×3 결정요인 두 개 모두 중복된 기둥이 있기 때문에 오른손은 똑같이 0이다.

또 다른 증거는 다음과 같다. 이후 벡터

${\displaystyle d=\왼쪽(p_{01},p_{02},p_{03}\오른쪽)}$

벡터에 수직이다

${\displaystyle m=\왼쪽(p_{23},p_{31},p_{12}\오른쪽)}$

(위 참조), d와 m의 스칼라 제품은 0! q.d여야 한다.

점 방정식

(x:x₀₁:x₂:x₃)를 점 좌표로 하고, 한 선의 가능한 점 4개는 각각 좌표_i x = p를_ij 가지고 있다. j = 0...3의 경우, 이러한 가능한 점 중 일부는 모든 좌표가 0이기 때문에 허용되지 않을 수 있지만, 적어도 하나의 Plucker 좌표는 0이 아니기 때문에 적어도 두 개의 구별되는 점이 보장된다.

경쟁률

(q₀₁:q₀₂:q:q₀₃:q:q₂₃:q:q₃₁:q:q:q₁₂)가 P에서⁵ 점의 균일한 좌표인 경우, 일반성의 손실이 없는 q는₀₁ 0이 아니라고 가정한다. 그럼 매트릭스

${\displaystyle M={\begin{bmatrix}q_{01}&#01}\\01}\-q_{12}\-q_{02}\q_{310}\end{bmatrix}}}}}}}}$

순위 2를 가지며, 따라서 그 열은 선 L을 정의하는 구별되는 점들이다. P⁵ 좌표인 q가_ij 2차 플뤼커 관계를 만족하면 L의 플뤼커 좌표가 된다. 이를 보려면 먼저 q₀₁ 대 1을 정상화하십시오. 그리고 나서 우리는 즉시 M, p_ij = q로_ij 계산된 Plucker 좌표에 대해 다음을 제외하고

${\displaystyle p_{23}=-q_{03}q_{12}-q_{02}q_{31}.}$

그러나 q가_ij Plucker 관계 q₂₃+q₀₂₃₁+q₀₃₁₂ = 0을 충족하면 p₂₃ = q는₂₃ ID 집합을 완료한다.

결과적으로 α는 2차 다항식의 0 집합으로 구성된 대수적 다양성에 대한 추론이다.

${\displaystyle p_{01}p_{23}+p_{02}p_{31}+p_{03}p_{12}}}}$

그리고 α도 주사이기 때문에 P의³ 선은 P의⁵ 이 사분위수 지점과 편향적으로 일치하는데, 플뤼커 사분위 또는 클라인 사분위라고 한다.

사용하다

plücker 좌표는 특히 발생을 수반하는 3차원 공간의 선 기하학 문제에 대해 간결한 해답을 제공한다.

선상교차

P의³ 두 선은 스큐(skew) 또는 코플란라(commlanar)이며, 후자의 경우는 일치하거나 고유한 점에서 교차한다. p와_ij p′_ij이 두 선의 Plucker 좌표인 경우, d•m′+m•d′ = 0일 때 정확히 동일 평면이다.

${\displaystyle {\begin{aligned}0&=p_{01}p'_{23}+p_{02}p'_{31}+p_{03}p'_{12}+p_{23}p'_{01}+p_{31}p'_{02}+p_{12}p'_{03}\\[5pt]&={\begin{vmatrix}x_{0}&y_{0}&x'_{0}&y'_{0}\\x_{1}&y_{1}&x'_{1}&y'_{1}\\x_{2}&y_{2}&x'_{2}&y'_{2}\\x_{3}&y_{3}&x'_{3}&y'_{3}\end{vmatrix}}.\end{정렬}}}$

선이 꼬불꼬불할 때, 결과의 기호는 교차하는 감각을 나타낸다: 오른손잡이 나사가 L을 L로 가져가면 양이고, 그렇지 않으면 음이다.

이차적 플뤼커 관계는 본질적으로 선이 그 자체와 동일 평면이라고 말한다.

라인 결합

두 선이 평행하지만 평행하지 않은 경우, 공통 평면에 방정식이 있다.

0 = (m•d′)x₀ + (d×d′)•x ,

여기서 $x{\displaystyle }$=${\displaystyle }$( x ${\displaystyle {1\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}}$x ${\displaystyle {2\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle {}_{}{x\mathrm{}}_{}}$ 3${\displaystyle {}_{}}$) ${\displaystyle x=(x_{1},x_{2},x_{3}}}}$

사소한 동요는 공통면의 존재를 파괴할 것이며, 선의 거의 평행은 그러한 평면이 존재하더라도 그러한 평면을 찾는데 수적 어려움을 야기할 것이다.

회선미팅

두 개의 동일 평면 선은 둘 다 원점을 포함하지 않으며 공통점이 있다.

(x₀ : x) = (d•m′:m×m′) .

이 제한을 충족하지 않는 라인을 처리하려면 참조를 참조하십시오.

플레인 라인 미팅

방정식이 있는 평면 지정

${\displaystyle 0=a^{0}x_{0}+a^{1}x_{1}+a^{2}x_{2}+a^{3}x_{3},}$

또는 보다 간결하게 0 = ax⁰₀+a•x; 그리고 플뤼커 좌표(d:m)와 함께 그 안에 있지 않은 선이 주어진다면, 그들의 교차점은

(x₀ : x) = (a•d : a×m − a₀d) .

점 좌표(x₀:x₁:x₂:x₃)는 Plucker 좌표의 측면에서도 다음과 같이 표현할 수 있다.

${\displaystyle x_{i}=\sum _{j\neq i}a^{j}p_{ij}\qquad i=0\ldots 3.}$

점선 결합

점(y₀:y)과 점(y:y)을 포함하지 않는 선을 지정하면 공통 평면에 방정식이 있다.

0 = (y•m) x₀ + (y×d−y₀m)•x .

평면 좌표(a⁰:a¹:a²:a:a³)는 다음과 같이 이중 Plucker 좌표의 측면으로도 표현할 수 있다.

${\displaystyle a^{i}=\sum _{j\neq i}y_{j}p^{ij}\qquad i=0\ldots 3.}$

라인 패밀리

클라인 쿼드릭은 P에⁵ 있기 때문에 1차원과 2차원의 선형 하위공간을 포함하고 있다(그러나 더 높지는 않다). 이것들은 P에³ 있는 선들의 1-모수 및 2-모수 계열에 해당한다.

예를 들어, L과 L이 각각 x, y, x′, y′ 점으로 결정되는³ P의 구별되는 선이라고 가정하자. 결정 지점의 선형 조합은 Plucker 좌표의 선형 조합을 제공하여 L과 L을 포함하는 선들의 단일 매개변수 집합을 생성한다. 이것은 클라인 사분면에 속하는 1차원 선형 하위 공간에 해당한다.

평면 내 선

세 개의 구별되는 선과 평행하지 않은 선이 일직선인 경우, 이들의 선형 조합은 평면의 모든 선과 같은 두 개의 매개변수 선군을 생성한다. 이것은 클라인 사분면에 속하는 2차원 선형 아공간과 일치한다.

점 통과 선

세 개의 구별되는 선과 비 동일 평면선이 한 점에서 교차하는 경우, 이들의 선형 조합은 점을 통과하는 모든 선에 대해 2-모수 선군을 생성한다. 이것은 또한 클라인 사분면에 속하는 2차원 선형 아공간과도 일치한다.

지배면

지배된 표면은 반드시 선형적이지 않은 선들의 집합이다. 그것은 클라인 사분면에 있는 곡선에 해당한다. 예를 들어, 한 장의 하이퍼볼로이드는 두 개의 서로 다른 선군이 표면의 각 지점을 통과하는 선들의 각 한 줄로 다스리는 P의³ 4중 표면이다. 각 선은 P의⁵ 클라인 4중격 내의 원뿔 섹션에 Plucker 지도에 따라 대응한다.

선 기하학

19세기 동안 선 기하학이 집중적으로 연구되었다. 위에서 주어진 편향의 관점에서, 이것은 클라인 사분면의 본질적인 기하학적 형상에 대한 설명이다.

레이 트레이싱

선 기하학은 광선의 기하학적 구조와 교차점을 3D로 계산해야 하는 광선추적 어플리케이션에 광범위하게 사용된다. 구현은 Touis Jones의 Ray Tracking 포럼을 위해 작성된 Plucker 좌표 소개에 설명되어 있다.

참고 항목

• 평면 투영 평면
• 플뤼커 행렬

참조

• Hodge, W. V. D.; D. Pedoe (1994) [1947]. Methods of Algebraic Geometry, Volume I (Book II). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46900-5.
• Behnke, H.; F. Bachmann; K. Fladt; H. Kunle, eds. (1984). Fundamentals of Mathematics, Volume II: Geometry. trans. S. H. Gould. MIT Press. ISBN 978-0-262-52094-2.
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