플루리수바하모닉 함수
Plurisubharmonic function수학에서 플러리수불화함수(때로는 psh, plsh, plush 함수로 축약되기도 한다)는 복합 분석에 사용되는 함수의 중요한 계급을 형성한다.Kahler 다지관에서는 Plurisubharmonic 함수가 하위 고조파 함수의 하위 집합을 형성한다.그러나 하위 조화 함수(리만 다지관에 정의되어 있음)와 달리 복합 분석 공간에 대해 완전한 일반성으로 정의될 수 있다.
형식 정의
도메인 C 을(를) 사용하여 상위 반연속인 경우, 그리고 모든 복합 선에 대해 Plurisubharmonic이라고 한다.
- + b n C n a{b}{
전체적으로 볼 때, 개념은 다음과 같이 임의의 복잡한 다지관이나 심지어 복합 분석 공간 에 정의될 수 있다.상부 반연속 함수
홀모픽 : →X {\ \\Delta \의 경우에만 purisubharmonic이라고 한다.
하위 하모닉이며, 서 C 은 단위 디스크를 나타낸다.
상이한 플뤼리수바하모닉 함수
이 (가) 클래스 2 C인 경우 은둔자 행렬 =( ) 인 경우에만 리바이 행렬이
양성 반물질이다.
마찬가지로, 2 }} - 기능 f는 - {\{-1partial 가 양수(1,1) 형태인 경우에만 purisubharmonic이다.
예
Kahler 다지관과 관계: n차원 복합 유클리드 공간 n ) = 2{\ z 는 플뤼수바하모닉이다.실제로- ∂ {-1}\은 (는) ^{에 있는 표준 Kahler 양식과 일정 배까지 같다.일반적으로 이 (가) 충족되는 경우
일부 Kahler 형식 에 대해g 은 (는) Plurisubharmonic이며, 이를 Kahler probled라고 한다.
디락 델타 관련 : 1차원 복합 유클리드 공간 1}, ( )= (z) 는 플러리수바하모닉이다. 이 (가) 콤팩트 서포트가 있는 C-클래스∞ 함수라면 Cauchy 적분 공식은 다음과 같다.
에 수정될 수 있는.
- 의 로그 z= d z z =
그것은 출발지 0에서의 디락 측정일 뿐이다.
추가 예제
- 이 (가) 열린 세트의 분석 함수인 경우, 열린 세트의 로그 f은 (는) purisubharmonic이다.
- 볼록함수는 플루리수바하모닉이다.
- 이 (가) 홀로모피 도메인인 경우 - (는) purisubharmonic이다
- 고조파 함수가 반드시 PLURisubharmonic인 것은 아니다.
역사
풀리수바하모닉 함수는 1942년 오카[1] 기요시와 피에르 렐롱에 의해 정의되었다.[2]
특성.
- 플루리수불화함수의 집합은 볼록콘과 같은 다음과 같은 성질을 가진다.
- 이 (가) 플러리수버하모닉 이고c > {\c> 양수인 경우, 함수 은 플러리수버하모닉,
- 2 }}이 플러리수버하모닉 함수라면, 합계 + 2}}은 플러리수버하모닉 함수다.
- Plurisubharmony는 국부적 성질 즉, 각 점의 근방에서 Plurisubharmonic인 경우에만 함수가 Plurisubharmonic이다.
- 이 (가) 플러리수버하모닉이고 and : → {R 단조롭게 증가하면 볼록함수가 }이다
- 및 2 }}이 plurisubharmonic 함수인 f( x ) ( ( ), 2( x) 은 (는) purisubharmonic이다.
- , 2… }이(가) 단조롭게 감소하는 플러리수브하모닉 함수의 순서인 경우
( ) → n ( ) f}f_{은 (는) plurisubharmonic이다.
- 모든 연속적인 플러리수불함수는 부드러운 플러리수불함수의 단조롭게 감소하는 순서의 한계로서 얻을 수 있다.더구나 이 순서는 일률적으로 수렴하여 선택할 수 있다.[3]
- 일반적인 반연속성 조건에서의 불평등은 동등하게 유지된다. , f{\f}이(가) plurisubharmonic이라면 다음이다.
(임시 Sup의 정의에 대해서는 상한과 하한선을 참조한다.)
- Plurisubharmonic 함수는 모든 Kahler 메트릭에 대해 하위 고조파 함수를 의미한다.
- 따라서, plurisubharmonic 함수는 최대 원리를 만족시킨다. 즉, {\이 (가) 연결된 열린 D 에서 plurisubharmonic인 경우 및
일부 지점 D의 경우 은(는) 일정하다.
적용들
복잡한 분석에서, Plurisubharmonic 함수는 유사 콘벡스 도메인, 홀로모피 도메인 및 스타인 다지관을 설명하기 위해 사용된다.
오카 정리
플루리수불화함수론의 주요 기하학적 적용은 1942년 오카 기요시가 입증한 유명한 정리다.[1]
연속 함수 : R f is called exhaustive if the preimage is compact for all . A plurisubharmonic function f is called strongly plurisubharmonic if the form 은(는) M에 있는 일부 Kahler 형식 Ω 에 대해 양수임.
오카 정리: M을 매끄럽고, 철저하고, 강한 플러리수불화 함수를 인정하는 복잡한 다지관이 되게 하라.그렇다면 M은 스타인이다.반대로 어떤 스타인 매니폴드라도 그러한 기능을 인정한다.
참조
- Bremermann, H. J. (1956). "Complex Convexity". Transactions of the American Mathematical Society. 82 (1): 17–51. doi:10.1090/S0002-9947-1956-0079100-2. JSTOR 1992976.
- 스티븐 크랜츠몇 가지 복잡한 변수의 함수 이론, AMS 첼시 출판, 프로비던스, 로드아일랜드, 1992.
- 로버트 C. 포닝.Wadsworth & Brooks/Cole의 여러 변수의 홀로모르픽 함수에 대한 소개.
- 클라렌돈 프레스 1992년 클라이멕, 플뤼리포텐셜 이론.
외부 링크
- "Plurisubharmonic function", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
메모들
- ^ a b 오카, 기요시(1942년),"analytiquesplusieurs 변수들을 지불한 수르도 fonctions.6세. 도멘 pseudoconvexes", 도호쿠 수학 저널, 퍼스트 시리즈, 49:15–52, ISSN 0040-8735, Zbl 0060.24006 편지그 논문에서, pseudoconvex 기능인데, 이 페이지의 주체인plurisubharmonic 기능이 아니라 볼록한 분석의 pseudoconvex 기능을 의미합니다.브레머만(1956년)
- ^ P. Leong, Definition desfonnects plurisousharmique, C. R. Acd. Sci.파리 215호(1942년), 398–400.
- ^ R. E. 그린과 H.Wu, - 볼록함수, 하화함수, 플러리수불함수 근사함수 , Ann.사이언톨로지EC. Norm.Sup. 12 (1979), 47–84.