칼러 다지관

수학, 특히 미분 기하학에서 케흘러 다지관은 복잡한 구조, 리만 구조, 그리고 같은 세 가지 상호 호환되는 구조를 가진 다지관이다.이 개념은 1930년 얀 아놀더스 슈텐과 데이비드 반 단치히가 처음 연구한 뒤 1933년 에리히 케흘러에 의해 소개됐다.이 용어는 안드레 웨일에 의해 고쳐졌다.케흘러 기하학은 케흘러 다지관, 그 기하학 및 위상에 대한 연구뿐만 아니라 에르미트 양-밀스 연결과 같은 특수 연결부 또는 케흘러-아인슈타인 메트릭스와 같은 특수 메트릭스의 존재와 같이 케흘러 다지관에서 수행될 수 있는 구조와 시공에 대한 연구를 말한다.

모든 매끄러운 복잡한 투영 품종은 Kahler 다지관이다.호지 이론은 케흘러 지표를 사용하여 증명된 대수 기하학의 중심 부분이다.

정의들

Kahler 다지관은 여러 개의 호환 가능한 구조물을 갖추고 있기 때문에 다른 관점에서 설명할 수 있다.

동정적 관점

Kahler 다지관은 Ω과 호환되는 통합형 거의 복합 구조 J를 갖춘 복합형 다지관(X, Ω)으로, 이린형(bilinar)을 의미한다.

${\displaystyle g(u,v)=\omega(u,Jv)}$

각 지점에서 X의 접선 공간은 대칭적이고 확실한 것이다(^[1]따라서 X의 리만 계량).

복잡한 관점

Kahler 다지관은 관련 2-폼 Ω이 닫히는 에르미트 미터법을 가진 복합 다지관 X이다.좀 더 자세히 설명하면, h는 X의 각 지점의 접선 공간 TX에 양적인 확실한 에르미트 형식을 부여하며, 2-폼 Ω은 에 의해 정의된다.

${\displaystyle \omega(u,v)=\operatorname {Re}h(iu,v)=\operatorname {Im}h(u,v)}$

접선 벡터 u 및 v(여기서 i는 ${\displaystyle \sqrt{\mathrm{복합}}}$ 번호 -${\displaystyle \sqrt{}}$1 ${\$Kahler 다지관 X의 경우, Kahler 형식 Ω은 실제 폐쇄형(1,1) 형식이다.Kahler 다지관은 리만 다지관으로도 볼 수 있으며, 리만 미터법 g는 다음과 같이 정의된다.

${\displaystyle g(u,v)=\operatorname {Re}h(u,v).}$

마찬가지로, Kahler 다지관 X는 복잡한 치수 n의 은둔 다지관으로서 X의 모든 점 p에 대해 측정지표가 C에ⁿ 있는 표준 미터법과 일치하여 p에 가까운 2를 주문할 수 있도록 p 주위에 홀로모르픽 좌표 차트가 있다.^[2]만약 차트를 0으로 Cn에서 p를 받아들여서 이것을, 메트릭 이 좌표로 hab=(.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output.sfrac.tion,.mw-parser-output.sfrac .tion{디스플레이:inline-block, vertical-align:-0.5em, font-size:85%;text-align:센터}.mw-parser-output.sfrac .num,.mw-parser-output.sfrac .den{로 쓰여 있다.디스플레이:블록, line-height:1em, 마진:00.1em}.mw-parser-output.sfrac .den{border-top:1px 고체}.mw-parser-output .sr-only{국경:0;클립:rect(0,0,0,0), 높이:1px, 마진:-1px, 오버 플로: 숨어 있었다. 패딩:0;위치:절대, 너비:1px}∂/∂za, ∂/∂zb), 그럼.

${\displaystyle h_{ab}=\delta _{ab}+O(\ z\ ^{2})}$

모든 a, b in {1, ..., n}에 대해

2-폼 Ω은 닫히기 때문에 Kahler 등급으로 알려진 de Rham cohomology H²(X, R)의 요소를 결정한다.

리만족의 관점

케흘러 다지관은 단일 군집 U(n)에 포함된 짝수 2n의 리만 다지관 X이다.^[3]동등하게, 각 지점의 X의 접선 공간(즉, JX에서² J = -1)으로 그 자체로 이어지는 실제 선형 지도)에 복잡한 구조 J가 있어, J는 미터법 g(g(Ju, Jv) = g(u, v)와 J를 병렬 전송에 의해 보존한다.

칼러 포텐셜

복합다지관의 매끄러운 실측값 함수 ρ은 진짜 폐쇄형(1,1)형일 경우 엄밀하게 플러리수버하모닉(plurisubharmonic)이라고 한다.

${\displaystyle \omega ={\frac {i}{2}}\pair {\bar {\pair }\rho }$

케흘러 형태는 긍정적이다.여기 $\partial {\displaystyle \mathrm{}}$ ,$∂{\$이(가) 돌보트 운영자 입니다.ρ 함수는 Ω에 대한 Kahler 전위라고 불린다.

반대로 푸앵카레 보조정리법의 복잡한 버전에 의해 모든 케흘러 측정기준은 이런 식으로 국지적으로 설명될 수 있다.That is, if (X, ω) is a Kähler manifold, then for every point p in X there is a neighborhood U of p and a smooth real-valued function ρ on U such that ${\displaystyle \omega \vert _{U}=(i/2)\partial {\bar {\partial }}\rho }$.^[4] Here ρ is called a local Kähler potential for ω.일반적인 리만 메트릭스를 단일 함수의 관점에서 설명할 수 있는 비교할 수 있는 방법은 없다.

칼러 포텐셜의 공간

단일 Kahler 전위를 사용하여 전세계적으로 Kahler 형태를 설명하는 것이 항상 가능한 것은 아니지만, 동일한 de Rham cohomology 클래스에 있는 경우, 두 Kahler 형태의 차이를 이렇게 설명할 수 있다.호지 이론의 from${{\$leemma의$$ 결과다${\displaystyle \stackrel{}{.}}$

즉$,{\displaystyle }$ (${\displaystyle X}$, ${\displaystyle \Omega }$) ${\displaystyle (X,\omega )}$이(가) 컴팩트 케흘러 다지관이라면, 코호몰로지 클래스${\displaystyle }$[${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\text{H}}_{}^{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{}}_{}^{}}$ 2${\displaystyle {}_{}^{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle [\omega$]\$in$ H_${\text}d$.$R}}^{2}(X)}$을(를) 케흘러 클래스라고 한다$$.Any other representative of this class, ${\displaystyle \omega '}$ say, differs from ${\displaystyle \omega }$ by ${\displaystyle \omega '=\omega +d\beta }$ for some one-form ${\displaystyle \beta }$. The ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$-lemma further states that thisexact form ${\displaystyle d\beta }$ may be written as ${\displaystyle d\beta =i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ for a smooth function ${\displaystyle \varphi :X\to \mathbb {C} }$. In the local discussion above, one takes the local Kähler class ${\displaystyle [\omega ]=0}$$$ 개방형 서브셋 $U{\displaystyle }$ ${\displaystyle \subset }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subset X}$및 Poincaré lem마에 의해 모든 Kahler 양식은 로컬로 0으로 코호몰로 처리된다.따라서 로컬 Kahler 잠재력 $\rho {\displaystyle }$ ${\displaystyle \rho }$은$({\displaystyle }$는) 로컬에서$$ [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$= ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle [\omega$]=$0}$에 대해 동일한$$ $\phi {\displaystyle }${\$displaystyle \varphi }$이다.

일반적으로 [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\omega ]}$이(가) Kahler 등급이라면, 그러한 원활한 기능을 위해 다른 Kahler$$ 메트릭은 $\Omega {\displaystyle {}_{}}$ =${\displaystyle {}_{}{\Omega }_{}}$ = ${\displaystyle \Omega }$ + i${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega _{\varphi$}\partial$}$로 기록할 수 있다.이 양식은 자동적으로 양식이 아니므로 클래스 [${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle [\omega ]}$에 대한 Kahler 전위 공간은 그러한 양성으로 정의되며$$, $일반적$으로 K ${\$ :

${\displaystyle {\mathcal{K}_{[\omega ]}=\\\varphi :X\to \mathb {R}{\text{fline}}\mid \omega +i\partial {\bar}\partial }}\varphi >0\}}}$

If two Kähler potentials differ by a constant, then they define the same Kähler metric, so the space of Kähler metrics in the class ${\displaystyle [\omega ]}$ can be identified with the quotient ${\displaystyle {\mathcal {K}}/\mathbb {R} }$. The space of Kähler potentials is a contractible space.이러한 방식으로 Kahler 전위성의 공간은 주어진 클래스의 모든 Kahler 메트릭스를 동시에 연구할 수 있게 하고, Kahler 메트릭스의 존재 연구에서의 이러한 관점은 Kahler 메트릭스의 결과를 산출한다.

Kahler 다지관 및 부피 최소화기

소형 Kahler 매니폴드 X의 경우 닫힌 복합 하위 공간 X의 부피는 호몰로지 등급에 의해 결정된다.어떤 의미에서 이것은 복합적인 하위 공간의 기하학이 그 위상에 있어서 경계되어 있다는 것을 의미한다.(이것은 진짜 서브매니폴드에 대해 완전히 실패한다.)분명히 워터링거의 공식은 다음과 같다.

${\displaystyle \mathrm {vol}(Y)={\frac {1}{r!}}}\int _{Y}\omega ^{r}}$

여기서 Y는 r차원 폐쇄 복합 하위 공간이고 Ω은 Kahler 형태다.^[5]Ω은 닫히기 때문에 이 적분은 H_2r(X, R)의 Y 등급에만 의존한다.이 책들은 항상 긍정적이며, 이것은 복잡한 서브 스페이스에 관하여 H²(X, R)에서 Kahler 등급 Ω의 강한 긍정을 표현한다.특히 복합 치수 n의 콤팩트한 케흘러 다지관 X에 대해서는 H²ⁿ(X, R)에서 Ω이ⁿ 0이 아니다.

관련 사실은 컴팩트한 Kahler 매니폴드 X의 모든 폐쇄된 복합 하위 공간 Y가 최소 서브매니폴드(단수 세트 바깥쪽)라는 것이다.더욱이, 교정된 기하학의 이론에 의해, Y는 동일한 호몰로지 클래스의 모든 (실제) 사이클 중에서 볼륨을 최소화한다.

칼러 다지관의 라플라시안

On a Riemannian manifold of dimension N, the Laplacian on smooth r-forms is defined by ${\displaystyle \Delta _{d}=dd^{*}+d^{*}d}$ where ${\displaystyle d}$ is the exterior derivative and ${\displaystyle d^{*}=-(-1)^{Nr}\star d\star }$, where ${\displaystyl$$e \star }$은($동일$하게 d${\displaystyle {}^{}}$star {\$displaystyle d^{*}$은(는$)$ r-폼의 L² 내측 제품에 대한$$ $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$의 부선임.에르미트 다지관 X의 경우 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$ 및$$ d${\displaystyle {}^{}}d{\displaystyle {}^{}}$ ${\$은(는) 다음과 같이 분해된다$$.

${\displaystyle d=\bar +{\bar {\bar},\\\\\\bar{*}=\bar }+{\bar {\bar {}^{}},}$

그리고 두 개의 다른 라플라시안(Laplacian)이 정의된다.

${\displaystyle \Delta _{\bar {\partial }}={\bar {\partial }}{\bar {\partial }}^{*}+{\bar {\partial }}^{*}{\bar {\partial }},\ \ \ \ \Delta _{\partial }=\partial \partial ^{*}+\partial ^{*}\partial .}$

X가 Kahler인 경우, 이 라플라크인들은 모두 상수까지 동일하다.^[6]

${\d}=2\Delta _{d}=2\Delta _{\bar {\partial }=2\Delta _{\partial }}$

이 정체성은 케흘러 다지관 X에서

${\displaystyle {\mathcal {H}^{r}(X)=\bigoplus _{p+q=r}{\mathcal {H}^{p,q}(X),}$

여기서 $H{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle r^{}}$ ${\$는 X(α Δα = 0) 및 $H{\displaystyle {\mathcal{}}^{}}$ ${\displaystyle p^{}}$에 있는 고조파 r-폼의 공간이며,${\displaystyle q^{}}$ ${\$는 고조파(p,q) 형태의 공간이다$$.즉, 차동 형식 $\alpha {\displaystyle }$ ${\displaystyle \alpha }$은 그 (p,q) 성분 각각이 조화인 경우에만 조화된다$$.

또한, 소형 Kahler 매니폴드 X의 경우, Hodge 이론은 Kahler 메트릭의 선택에 따라 달라지지 않는 위의 분할에 대한 해석을 제공한다.즉, 복잡한 계수를 가진 X의 코호몰로지 H^r(X, C)는 특정 일관성 있는 피복 코호몰로지 그룹의 직접적인 합으로 분할된다.^[7]

${\displaystyle H^{r}(X,\mathbf {C} )\cong \bigoplus _{p+q=r}H^{q}(X,\Oomega ^{p}).}$

왼쪽의 집단은 위상학적 공간으로서 X에만 의존하는 반면 오른쪽의 집단은 복합적인 다지관으로서 X에 의존한다.그래서 이 호지 분해 정리는 소형 Kahler 다지관을 위한 위상과 복잡한 기하학을 연결한다.

H^p,q(X)를 주어진 Kahler 메트릭과 관련하여 고조파 형태의 $공간$ ${\displaystyle H^{}}$ p ,${\displaystyle {}^{}q{}^{}}$(${\displaystyle }$X ) ${\displaystyle {\h}^{p,q}(X)}$로 식별할 수 있는 복합 벡터 공간^q H(X, Ω^p)가 되도록 한다.X의 Hodge 번호는 h^p,q(X) = dimH_C^p,q(X)로 정의된다.Hodge 분해는 Hodge 숫자의 관점에서 콤팩트 Kahler 다지관 X의 Betti 번호의 분해를 의미한다.

${\displaystyle b_{r}=\sum _{p+q=r}h^{p,q}.}$

소형 Kahler 다지관의 호지 번호는 몇 가지 정체성을 만족시킨다.호지 대칭 h^p,q = h가^q,p 잡히는 것은 라플라시안 $\Delta {\displaystyle {\mathrm{}}_{}}$ ${\displaystyle d_{}}$ ${\$가 실제 연산자이기 때문에 $h{\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle {p,}^{}}$ ${\displaystyle q^{}}$= ${\displaystyle H\stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{{q,}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{p^{}}}$의${\$Hodge^p,q star 운영자가 이형성 H ${\displaystyle p^{}}$ ,${\displaystyle q^{}}$ ${\displaystyle {}^{}}$ ${\displaystyle H\stackrel{}{{}^{}}}$ ${\displaystyle \stackrel{}{n^{}}}$- p${\displaystyle \stackrel{}{{}^{}}}$, ${\displaystyle \stackrel{}{n^{}}}$ -$`{\$을(를) 부여한다는 것을 사용하여 h = h를^n−p,n−q 증명할 수 있다$.$ 또한 Serre 이중성에서 따온 것이다.

소형 Kahler 다지관의 위상

호지 이론의 간단한 결과는 콤팩트 케흘러 다지관의 모든 홀수 베티 수 b는_2a+1 호지 대칭에 의해 짝수라는 것이다.이는 일반적으로¹ 소형 복합 다지관의 경우, S × S와³ 다르고 따라서₁ b = 1을 갖는 Hopf 표면의 예에서 알 수 있듯이 사실이 아니다.

'케를러 패키지'는 소형 케를러 다지관의 코호몰로지(cohomology)에 대한 추가적인 제약의 집합체로서, 호지 이론을 바탕으로 하고 있다.그 결과 렙체츠 하이퍼플레인 정리, 하드 렙체츠 정리, 호지-리만 이린 관계 등이 있다.^[8]관련된 결과는 모든 소형 Kahler 다지관이 합리적인 호모토피 이론의 의미에서 형식적이라는 것이다.^[9]

어떤 집단이 케흘러 집단이라고 불리는 컴팩트한 케흘러 다지관의 기본 집단이 될 수 있는가에 대한 의문은 활짝 열려 있다.호지 이론은 가능한 케흘러 집단에 많은 제약을 준다.^[10]가장 간단한 제한은 소형 Kahler 다지관의 베티 번호 b가₁ 짝수이기 때문에 Kahler 그룹의 아벨리아화는 짝수여야 한다는 것이다. (예를 들어, 정수 Z는 소형 Kahler 다지관의 기본 그룹이 될 수 없다.)비아벨리안 호지 이론과 같은 이론의 확장은 어떤 집단이 케흘러 집단이 될 수 있는지에 대한 추가적인 제한을 준다.

케흘러 조건이 없다면 상황은 간단하다: 클리포드 타우베스는 모든 정밀하게 표시된 그룹이 치수 3의 어떤 콤팩트 복합 다지관의 기본 그룹으로 발생한다는 것을 보여주었다.^[11] (반대로, 닫힌 다지관의 기본 그룹은 정밀하게 표시된다.)

복합 투영 품종과 소형 Kahler 다지관의 특성

고다이라 임베딩 정리는 모든 콤팩트한 케흘러 다지관 중에서 매끄러운 복잡한 투영 품종을 특징으로 한다.만일이 X에서 H2(X, R)의 수업 H2(X, Z).(왜냐하면 켈러 형태의 긍정적인 배수는 한 켈러 형태, X는 켈러 형태를 가지고 있다고 말하는 것과 동일하다의 수업 시간에 H2(X, R)H2(X, Q)에 있는 적분 cohomology 그룹의 이미지에 있는 켈러 형태 ω은 즉, 작은 복잡한 매니폴드 X.)Equivalently, Xi. 사영은sp곡률 형태 Ω이 양수인 은둔자 메트릭을 가진 X에 홀로모르프 라인 번들 L이 있는 경우에만(그러므로 Ω은 H²(X, Z)에서 L의 첫 번째 체르누스 클래스를 나타내는 Kahler 형식이다.

모든 콤팩트 콤플렉스 곡선은 투영적이지만, 적어도 콤플렉스 차원에서는 투영성이 없는 컴팩트 케흘러 다지관이 많다. 예를 들어, 대부분의 콤팩트 콤플렉스 토리는 투영성이 없다.모든 소형 Kahler 다지관은 최소한 (복합 구조를 지속적으로 변화시킴으로써) 부드러운 투영 다양성으로 변형될 수 있는지 여부를 물을 수 있다.고다이라 구니히코의 표면 분류 작업은 복잡한 치수 2의 모든 소형 케흘러 다지관은 실로 매끄러운 투영 품종으로 변형될 수 있음을 암시한다.그러나 클레어 보이신은 이것이 적어도 4차원에서는 실패한다는 것을 발견했다.그녀는 어떤 매끄러운 복잡한 투영 품종과 동등한 호모토피도 아닌 복잡한 치수 4의 콤팩트한 케흘러 다지관을 건설했다.^[12]

또한 모든 소형 복합 다지관 중 소형 카흘러 다지관의 특성화를 요구할 수 있다.복합 치수 2에서 고다이라와 염-통 시우는 콤팩트 복합 표면이 첫 번째 베티 번호가 짝수일 경우에만 케흘러 미터법을 가지고 있다는 것을 보여주었다.^[13]따라서 "Kahler"는 소형 복합 표면의 순전히 위상적 특성이다.그러나 히로나카 씨의 예는 이것이 적어도 3차원에서는 실패한다는 것을 보여준다.좀 더 자세히 설명하자면, 그 예는 대부분의 섬유는 케흘러(그리고 심지어 투영적이기도 하지만 한 섬유는 케흘러가 아닐 정도로 부드러운 콤팩트 콤플렉스 3배의 1-모수 계열이다.따라서 소형 Kahler 다지관은 Kahler가 아닌 복합 다지관과 차이가 있을 수 있다.

켈러-아인슈타인 다양체

칼러 다지관은 일정한 리치 곡률을 가지고 있다면 칼러-아인슈타인이라고 불린다.동등하게, Ricci 곡률 텐서는 미터법 텐서보다 상수 times배, Ric = λg와 같다.아인슈타인에 대한 언급은 일반상대성이론에서 나왔으며, 일반 상대성 이론은 리치 곡률이 0인 4차원 로렌츠 다지관이라고 주장한다.자세한 내용은 아인슈타인 다양성에 대한 기사를 참조하십시오.

리치 만곡은 어떤 리만 다지관에도 정의되어 있지만, 케흘러 기하학에서 특별한 역할을 한다: 케흘러 다지관 X의 리치 만곡은 H²(X, R)에서₁ c(X) (접선다발의 제1 체르누스급)를 나타내는 진짜 폐쇄형(1,1)형식으로 볼 수 있다.따라서 소형 Kahler-아인슈타인 다지관 X는 아인슈타인 상수 λ이 양수, 영수 또는 음수인지 여부에 따라 반샘플, 동질학적으로 사소한 것 또는 넉넉한 규격의 묶음_X K를 가져야 한다.이 세 종류의 케를르 다양체는 파노, 칼라비-라고 불린다.Yau 또는 각각 충분한 표준 번들(일반 유형을 암시함)을 가지고 있다.고다이라 임베딩 정리에 의해, 충분한 규범다발을 가진 파노다지관과 다지관은 자동으로 투영 품종이 된다.

신퉁 야우는 칼라비 추측을 증명했다: 충분한 표준 묶음을 가진 모든 매끄러운 투영 품종들은 케를러-아인슈타인 미터법을 가지고 있다(부정적인 리치 곡률을 가진), 모든 칼라비-Yau 매니폴드는 Kahler-Ainstein 측정지표(리치 곡률 0)를 가지고 있다.이러한 결과는 Miyaoka–과 같은 응용을 가진 대수 품종의 분류에 중요하다.충분한 표준 다발을 가진 품종의 경우 Yau 불평등, 칼라비를 위한 보빌-보고몰로프 분해-Yau 다지관.^[14]

대조적으로, 모든 부드러운 파노 품종이 케흘러-아인슈타인 메트릭스를 가지고 있는 것은 아니다. (이 메트릭은 일정한 양의 Ricci 곡률을 가지고 있을 것이다.그러나 쉬시옹 첸, 사이먼 도날드슨, 송선은 야우-톈-도날드슨 추측을 증명했다: 매끄러운 파노 품종은 K-stable인 경우에만 Kahler-Einstein 측정기준을 가지고 있다.

Kahler-Ainstein 메트릭이 존재할 수 없는 상황에서는 일정한 스칼라 곡률 Kahler 메트릭과 극단적 Kahler 메트릭을 포함한 경미한 일반화를 연구할 수 있다.Kahler-Ainstein 메트릭스가 존재할 수 있는 경우, 이러한 광범위한 일반화는 자동으로 Kahler-Ainstein이다.

홀로모르프 단면곡률

유클리드 공간에 대한 표준 미터법에서 리만 다지관 X의 편차는 단면 곡률로 측정되며, 이는 한 점에서 X의 접선 공간에 있는 실제 2면과 연관된 실제 수이다.예를 들어, CP에ⁿ 대한 표준 메트릭의 단면 곡률(n section 2)은 1/4과 1 사이에서 변화한다.에르미트 다지관(예: Kahler 다지관)의 경우, 홀로모르프 단면 곡률이란 접선 공간의 복잡한 선으로 제한된 단면 곡률을 의미한다.이는ⁿ CP가 1과 동일한 홀로모르프 단면 곡률을 갖는다는 점에서 더 단순하게 작용한다.다른 극한에서 C의ⁿ 개방 단위 공은 -1과 같은 홀로모르픽 단면 곡률을 가진 완전한 케흘러 지표를 가지고 있다.(이 측정법으로 공은 복잡한 쌍곡 공간이라고도 한다.)

홀로모르프 단면 곡률은 복합 다지관으로서 X의 특성과 밀접하게 연결되어 있다.예를 들어, 음수 상수에 의해 위쪽으로 경계가 된 홀로모르프 단면 곡률을 가진 모든 에르미트 다지관 X는 코바야시 쌍곡선이다.^[15]모든 홀로모픽 지도 C → X가 일정하다는 것을 따른다.

복합 기하학의 주목할 만한 특징은 복합 서브매니폴드에서 홀로모르프 단면 곡률이 감소한다는 것이다.^[16] (더 일반적인 개념인 홀로모르프 이분절 곡률도 마찬가지다.)예를 들어, C의ⁿ 모든 복합 하위 관리 기준(C의ⁿ 유도 측정 기준 포함)은 홀모픽 단면 곡률 ≤ 0을 갖는다.

예

1. 표준 에르미트식 지표를 가진 복합 공간 C는ⁿ 케흘러 다지관이다.
2. 콤팩트 콤플렉스 토러스 Cⁿ/TH(전체 격자)는 C의ⁿ 유클리드 메트릭으로부터 평탄한 메트릭을 상속받으며, 따라서 콤팩트 케흘러 다지관이다.
3. 지향성 2 매니폴드의 모든 리만족 메트릭스는 케를러다. (실제, 그 홀노노미 그룹은 단일군 그룹 U(1)와 같은 회전군 SO(2)에 포함되어 있다.) 특히 지향성 리만족 2 매니폴드는 표준적인 방식으로 복잡한 곡선이다. 이것은 등온 좌표의 존재라고 알려져 있다.
4. 복잡한 투영 공간 CP인ⁿ 푸비니-스터디 메트릭에 대한 Kahler 메트릭의 표준 선택이 있다.한 가지 설명은 표준 에르미타르의 형태를 보존하는 C의ⁿ⁺¹ 선형 자동화 그룹인 U(n + 1)를 포함한다.푸비니-스터디 메트릭은 CP의ⁿ U(n + 1) 작용에 따라 불변하는 CPⁿ(양수 배수까지)에 대한 리만족 고유의 메트릭이다.CP의ⁿ 자연스러운 일반화는 그라스만인과 같은 콤팩트한 형태의 에르미트 대칭 공간에 의해 제공된다.컴팩트한 형태의 에르미트 대칭 공간에 대한 자연 케흘러 메트릭은 단면 곡률 curvature 0이다.
5. 케흘러 다지관의 복잡한 하부매니폴드에 유도된 측정기준은 케흘러다.특히 모든 스타인 다지관(C에ⁿ 내장) 또는 부드러운 투영 대수학 품종(CP에ⁿ 내장)은 케를러다.이것은 많은 종류의 예다.
6. C에서ⁿ 열린 단위 공 B는 버그만 미터법이라고 불리는 완전한 케흘러 미터법을 가지고 있으며, 홀로모르프 단면 곡률은 -1과 같다.공의 자연 일반화는 시겔 상부 절반 공간과 같이 비 컴팩트 유형의 은둔자 대칭 공간에 의해 제공된다.비 컴팩트 유형의 모든 에르미트 대칭 공간 X는ⁿ 일부 C에서 경계된 영역과 이형성이며, X의 버그만 메트릭은 단면 곡률 ≤ 0을 갖는 완전한 케흘러 메트릭이다.
7. 모든 K3 표면은 케흘러(Siu by)이다.^[13]

참고 항목

• 거의 복잡한 다지관
• 하이퍼켈러 다지관
• 콰터니온-케흘러 다지관
• K-에너지 기능

메모들

참조

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외부 링크

• "Kähler manifold", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
• Moroianu, Andrei (2004), Lectures on Kähler Geometry (PDF)