폴리매트로이드

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수학에서 다항체는 수하함수와 연관된 폴리토프다.이 개념은 1970년에 잭 에드몬드에 의해 소개되었다.^[1]그것은 또한 매트로이드의 멀티셋 아날로그로도 설명된다.

정의

Let ${\displaystyle E}$ be a finite set and ${\displaystyle f:2^{E}\rightarrow \mathbb {R} _{+}}$ a non-decreasing submodular function, that is, for each ${\displaystyle A\subseteq B\subseteq E}$ we have ${\displaystyle f(A)\leq f(B)}$, and for each ${\disp$$laystyle A,B\subseteq E}$ we have ${\displaystyle f(A)+f(B)\geq f(A\cup B)+f(A\cap B)}$. We define the polymatroid associated to ${\displaystyle f}$ to be the following polytope:

${\displaystyle P_{f}={\Big \{}{\textbf {x}}\in \mathbb {R} _{+}^{E}~{\Big }~\sum _{e\in U}{\textbf {x}}(e)\leq f(U),\forall U\subseteq E{\Big \}}}$.

$x{\displaystyle }$ ${\$의 입력을 음수로 허용하면 이 폴리토프를 $E{\displaystyle }$ P ${\displaystyle f_{}}$ ${\$에 의해 나타내며, $이$를 f ${\displaystyf f}$과(와) 연관된 확장된 폴리마트로이드라고 부른다$.$^[2]

등가정의

Let ${\displaystyle E}$ be a finite set and ${\displaystyle {\textbf {u}},{\textbf {v}}\in \mathbb {R} ^{E}}$. We call the modulus of ${\displaystyle {\textbf {u}}}$ to be the sum of all of its entries, denoted ${\displaystyle {\textbf {u}} }$, and denote ${$$\displaystyle {\textbf {u}}\leq {\textbf {v}}}$ whenever ${\displaystyle v_{i}-u_{i}\geq 0}$ for every ${\displaystyle i\in E}$ (notice that this gives an order to ${\displaystyle \mathbb {R} _{+}^{E}}$).접지 세트 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 폴리매트로이드(polymatroid)는 독립 벡터 집합인$$$R{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$+ E ${\$의 비어 있지 않은 콤팩트 $서브셋{\displaystyle }$ P ${\displaysty P}$이다.

1. 만약 $v{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle P}${\$displaystyle${\$textbf {v}\in P}$이$($가) 있다면, 모든${\displaystyle }u{\displaystyle }$ ${\displaystyle v}$ ${\${v$}$에 대해$$$$$u{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystystyle${\textbf}\c}\$textbf {v$$}}}:$
2. 만약 u, v∈ P{\displaystyle{\textbf{너}},{\textbf{v}}P}v>로;{\displaystyle{\textbf{v}}>{\textbf{너}}}, \in는 벡터 w∈ P{w\in P\displaystyle}그런 네가<>&w≤(max{너 1, v1}, 달려가서, max{니가 E, vE}){다.\displays$tyle {\textbf{w}}}{\textbf${w$}\leq (\max\{u_{1}\}}},\dots,\max\{u_{E}}},v_{E$

이 정의는 어디 f{\displaystyle f}은 함수 f(A)에 의해 정의된 누구도 설명한 before,[3]max{∑ 나는 P∈ v(나는)v∈}{\displaystyle f(A)=\max{)\Big{}\sum _{Ai\in}{\textbf{v}}(나는)~{\Big}~{\textbf{v}에}\in P{\Big)}}}를 위해 한 ⊂ E{\displaystyle A\subset 해당합니다. E}$$.

모종과의 관계

지면 세트 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle E}$의 모든 $매트로이드{\displaystyle }$ M ${\displaystyle M}$에 대해$$ $세트{\displaystyle {}_{}}$ P${\displaystyle {}_{}{M}_{}}$= {${\displaystyle W{}_{}}$ F${\displaystyle m}$ M$}$ {\$displaystyle P_{M}=\{\textbf {w}}$_{\textbf {$w}}}$_{{{}}}}}}}}}{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$F}~ ~F\in$ M$\backslash \},$ 모든 $i{\displaystyle }$ ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle i\in E}$에 대해 해당$$ 기능이 있음

${\displaystyle {\textbf{w}_{F}(i)={\begin{case}1,&i\in F;\0,&i\not \in F.\end{case}}}$

$P{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle M_{}}$ ${\$의 볼록한 선체를 취함으로써 $M{\displaystyle }$ ${\displaystyle M}$의 순위 기능과 연관된 두 번째 정의의 의미에서 다면체를 얻게 된다$$$.$

일반화된 permutehedra와의 관계

일반화된 permutehedra는 하위 함수로 구성될 수 있고, 모든 일반화된 permutehedra는 관련 하위 함수를 가지고 있기 때문에, 우리는 일반화된 permutehedra와 polymatroids 사이에 일치성이 있어야 한다.사실 모든 다면체는 기원에 꼭지점이 있다고 번역된 일반화된 전유두면체다.이 결과는 다물질의 결합체 정보가 일반화된 permutahedra와 공유된다는 것을 암시한다.

특성.

${\displaystyle P_{}}$ ${\displaystyle f_{}}$ ${\$는 $f{\displaystyle }$}} ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle f\geq$ 0$}$인 경우에만 비어 있고, ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$ ${\$ EP_${f}$는 $f{\displaystyle }$ (${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$ )${\displaystyle \{}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystystyf(\empt )\geq 0$인 경우에만 비어 있다$$.

확장된 폴리매트로이드 $E{\displaystyle }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle EP}$에 ${\displaystyle \mathrm{대해}}$ f (${\displaystyle \mathrm{\varnothing }}$)${\displaystyle }$= 0 ${\displaystyle f(\empt )=0}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle P_{}}$= ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle EP_{f}=EP}$와 같은 고유한 하위 함수 $f{\displaystyle }$ ${\displaystystystyle f}$가 있다$$$.$

항균성 물질

초변형 f의 경우 유사한 방법으로 상계선을 정의할 수 있다.

${\displaystyle {\Big \{}w\in \mathb {R} _{+}^{E}~{\Big }~\all S\subseteq E,\sum _{e\in S}w(e)\geq f(S){\Big \}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}"$

이것은 유사하게 모종류의 스패닝 세트 폴리토프의 지배를 일반화한다.

이산 다매트로이드

우리가 우리의 다종류의 격자점에만 초점을 맞출 때 우리는 이산 다종류라고 불리는 것을 얻는다.정식으로 말하면, 이산 다면체의 정의는 벡터가 살 $곳$을 제외하고 다면체의 정의와 정확히 일치하며, R${\displaystyle {}_{}^{}}$+ E ${\$는 $Z{\displaystyle {\mathbb{}}_{}^{}}$+ ${\displaystyle {}_{}^{}}$ ${\$에서 살게 된다$.$이 결합 대상은 단일한 이상과의 관계 때문에 큰 관심을 가지고 있다.

참조

각주

추가 판독값

• Lee, Jon (2004), A First Course in Combinatorial Optimization, Cambridge University Press, ISBN 0-521-01012-8
• Fujishige, Satoru (2005), Submodular Functions and Optimization, Elsevier, ISBN 0-444-52086-4
• Narayanan, H. (1997), Submodular Functions and Electrical Networks, ISBN 0-444-82523-1