포스트의 정리

계산가능성 이론에서, 에밀 포스트의 이름을 딴 포스트의 정리는 산술적 위계질서와 튜링 도수 사이의 관계를 설명한다.

배경

포스트의 정리는 정의 가능성과 재귀 이론과 관련된 몇 가지 개념을 사용한다.이 섹션에서는 이러한 개념에 대해 간략히 설명합니다.이러한 개념에 대해서는, 각 기사에서 자세하게 설명합니다.

산술 계층은 페아노 산술 언어로 정의 가능한 특정 자연수 집합을 분류합니다.공식을 δ $\Sigma _{m}^{0}$ 0 $\Sigma _{m}^{0}$ \ $Sigma$ _ ${m}^0}$ 이라고 $\Sigma _{m}^{{0}}$ 하며, 유계정량자가 있는 공식에만 존재하는 m {\ $displaystyle$ m $}$ 의 교대로 $m$ $m$ 되는 프리넥스 정규 형식(전면에 있는 모든 양자)의 존재문이다.형식적으로 Peano 산술 언어의 $공식$ $\phi (s)$ ( $\phi (s)$ ) { display $\ phi$ ( s $\phi (s)$ ) $\Sigma _{m}^{0}$ m 0 ( \ $display style$ \ $Sigma$ _ { m }^ $0$ 입니다.

\displaystyle \left(\exists n_{1}^{1}\cdots \exists n_{j_{1}^{1}\right)\left(\forall n_{1}^{2}\cdots \forall n_{j_{1}\right)\left(\exists n_{1}^{1}{1}\cdots\left)\left(\cdots\forn_{1}^{1}^{1}\forts\forn_{1}\light)

$\rho$ 서 ${\$ { $displaystyle \rho$ }는 $\rho$ 한정 수량자만 포함되며 Q는 m이 짝수인 경우 ${\$ { \ $displaystyle$ \ $forall$ }, m이 홀수인 경우 ${\$ { \ $displaystyle$ \ $exists$ }입니다 $\forall$ $\exists$ .

$자연수$ A $(\displaystyle$ A $)$ 의 $A$ 집합은 $\Sigma _{m}^{0}$ (\ $displaystyle$ $\Sigma$ _ ${m}^0})$ 으로 $\Sigma^0_m$ $\Sigma^0_m$ 정의 가능한 경우, 즉 $\Sigma _{m}^{0}$ 0(\ $displaystyle \Sigma$ _ ${m$ $\phi (s)$ $0$ $\phi (s)$ 이라고 $\Sigma^0_m$ 합니다. $)\displaystyle\phi(n)$ 가 $\phi (n)$ 유지되는 경우에만 n\ $displaystyle$ n은 $n$ $A$ 에 $A$ $있습니다$ .세트가 $\Sigma _{m+1}^{0}$ $n>m$ $\Sigma _{m}^{0}$ ({ $displaystyle \Sigma$ _ ${m}^0$ 인 경우 $n>m$ n $\Sigma _{n}^{0}$ $>$ m({ $displaystyle$ $\Sigma _{n}^{0}$ \ $Sigma$ _ ${n$ $}^$ $0})$ 인 $\Sigma _{n}^{0}$ 것으로 알려져 있지만, 각 $\Sigma _{m+1}^{0}$ 에는 0 $({$ n $>$ $m$ $})$ 이 $\Sigma _{{m+1}}^{0}$ 설정되어 있지 않습니다.따라서 집합을 정의하는 데 필요한 정량자 교대의 수는 집합의 복잡성을 측정합니다.

포스트의 정리는 방금 정의된 비상대화 계층뿐만 아니라 상대화 산술 계층도 사용한다.자연수의 $집합$ A({ $displaystyle$ A $}$ 는 $A$ $\Sigma _{m}^{0,B}$ $({displaystyle$ B $B$ 에 대해 $({$ displaystyle 0 $\Sigma _{m}^{0,B}$ $({$ _ ${m}^0,B$ 로 $\Sigma^0_m$ 되어 있는데 $,$ $만약$ A({ $displaystyle$ A $)$ 가 $A$ $)$ 으로 정의되어 있는 경우B $(\displaystyle$ B $B$ 멤버십에 $대한$ 술어를 포함하는 확장 언어.

산술적 위계질서가 자연수 집합의 정의 가능성을 측정하는 반면, 튜링 도수는 자연수 집합의 계산 불능 수준을 측정합니다. $A$ $세트$ A는 $A$ A $세트$ B의 $A$ 을 계산하는 오라클 $A\leq _{T}B$ 튜링 기계가 $있는$ 경우 A $세트$ $B로$ 할 수 있다고 합니다 $A$ $A$ 의 튜링점프 $({displaystyle$ A $A$ 는 $A$ $A$ 에 $대한$ 정지 문제의 한 형태입니다. $A$ 의 경우 $튜링점프$ A ${\$ { $displaystyle$ A $A$ 는 $A'$ $입력$ $0$ 에 정지하는 $오라클$ 튜링 머신의 $인덱스$ 세트입니다 $0$ ({ $display$ $style$ 0} $laystyle$ A $A$ 모든 $세트$ A $(\displaystyle$ A $)$ 는 $A$ 튜링 점프로 환원되지만 세트의 튜링 점프는 원래 세트로 환원되지 않습니다.

포스트의 정리는 완전히 반복되는 튜링 점프를 사용한다.임의의 자연수 $집합$ A(\ $displaystyle$ A $)$ 에 $A$ 대해 A $($ $n)$ { $displaystyle$ A $^{(n$ )}} 표기법은 A(\ $displaystyle$ A $A$ 의n(\ $displaystyle$ n $)$ $n$ - 반복 튜링 점프를 나타냅니다. $A^{(0)}$ A( $)$ 는 $A^{{(0)}}$ $A$ (\ $displaystyle$ A $A$ $A^{(n+1)}$ $A$ style $)$ 입니다. $(n+1)}$ 은 $A^{{(n+1)}}$ $A^{(n)}$ 는) A의 튜링 점프입니다(n $).$ { $displaystyle$ A $^{(n$

포스트의 정리 및 결과

Post의 정리는 산술적 계층과 $δ$ displaystyle $\emptyset ^{(n$ 형식의 튜링 도수 사이에 밀접한 관계를 확립한다. 즉, 빈 집합은 정리의 진실성을 바꾸지 않고 다른 계산 가능한 집합으로 대체될 수 있다.

Post의 정리는 다음과 같습니다.

$집합$ B(\ $displaystyle$ B $)$ 는 $B$ B $(\$ $displaystyle$ $\$ $Sigma$ _ ${n+1}^{0})$ 가 $\Sigma^0_{n+1}$ 오라클 $B$ 튜링 머신에 의해 $\emptyset ^{(n)}$ ( $\emptyset ^{(n)}$ $)\$ ^{( $n$ 에 $B$ 대해 재귀적으로 열거되는 $B$ 에만 $\Sigma _{n+1}^{0}$ n + $\Sigma _{n+1}^{0}$ 이다 $.$ ${\displaystyle$ \ $Sigma _{$ 1}^{ $0,\emptyset$ ^{( $n$
세트 $\emptyset ^{(n)}$ ' $\emptyset ^{(n)}$ ( $n$ ) \ $displaystyle$ \ $emptyset$ ^ { ( $\emptyset ^{(n)}$ $n$ ) } 0 $\emptyset ^{(n)}$ 0 $n>0$ >n 0 $\Sigma _{n}^{0}$ > $0$ 0 $n>0$ 0 0 $\Sigma _{n}^{0}$ n $n>0$ $0$ 。즉, 설정된 $\Sigma _{n}^{0}$ $\Sigma _{n}^{0}$ 0 $(\displaystyle$ \ $Sigma _{n}^{$ 0 $\Sigma _{n}^{0}$ })은 $\emptyset ^{(n)}$ ( $\emptyset ^{(n)}$ ) \ $displaystyle \emptyset ^{$ ( $\emptyset ^{(n)}$ n ) $\emptyset ^{(n)}$ } 。

포스트의 정리는 산술적 위계질서와 튜링 도수 사이의 추가적인 관계를 드러내는 많은 상관관계를 가지고 있다.여기에는 다음이 포함됩니다.

$세트$ C $(\displaystyle$ C $C$ 를 수정합니다. $세트$ B(\ $displaystyle$ B $)$ 는 $B$ $\Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}$ $\Sigma _{n+1}^{0,C}$ $\Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}$ + $\Sigma _{n+1}^{0,C}$ 0 $\Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}$ $\Sigma _{n+1}^{0,C}$ $\Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}$ $displaystyle \$ $\Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}$ _ ${n+1}^0,C}$ 는 $\Sigma _{{n+1}}^{{0,C}}$ B $(\displaystyle$ $\Sigma _{1}^{0,C^{(n)}}$ B)가 _ 10 $,C(\$ \ $Sigma$ _0 $^0,$ C)인 경우만입니다. $isplaystyle$ C $C$ 입니다.
$세트$ B $(\$ $displaystyle$ $\Delta _{n+1}$ B $)$ 는 $B$ $B$ B $B\leq _{T}\emptyset ^{(n)}$ T $B\leq _{T}\emptyset ^{(n)}$ $B\leq _{T}\emptyset ^{(n)}$ n $)$ 일 $\Delta _{{n+1}}$ 경우에만 $\Delta _{n+1}^{C}$ $\Delta _{n+1}$ n + $\Delta _{n+1}^{C}$ 입니다.더 일반적으로 $B$ \ $displaystyle$ $\Delta _{n+1}^{C}$ $B$ \ $leq$ _ ${$ $T$ } \ $emptyset$ ^ { ( $B\leq _{T}\emptyset ^{(n)}$ n ) $B\leq _{T}\emptyset ^{(n)}$ $\Delta _{n+1}^{C}$ $C}$ B $\Delta _{n+1}^{C}$ and $B\leq _{T}C^{(n)}$ ( $B\leq _{T}C^{(n)}$ n $B\leq _{T}C^{(n)}$ ) { $displaystyle$ B \ $leq$ _ { $T$ } $C^$ { ( $B\leq _{T}C^{(n)}$ n ) $B\leq _{T}C^{(n)}$ 인 $B\leq _{T}C^{(n)}$ 만.
$\Sigma _{n}^{0}$ 은 $\Sigma _{n}^{0}$ $(\displaystyle\$ $Sigma_{n$ $n$ $0})$ 인 $\Sigma _{n}^{0}$ $경우$ 산술적으로 정의됩니다.Post의 정리에서는 집합이 turing이 $displaystyle\emptyset ^(m)})$ 로 $\emptyset ^{{(m)}}$ 환원되는 경우에만 산술적으로 정의됩니다.

우편 증명 정리

튜링 기계의 1차 산술 공식화

$입력$ n $\$ $displaystyle$ n $\displaystyle$ T의 $T$ $n$ 동작은 1차 산술로 논리적으로 공식화할 수 있습니다.예를 들어 $,$ k\ $displaystyle$ k 스텝 $k$ 후 $테이프$ 구성, 머신 상태 및 테이프에 따른 위치에는 $B_{k}$ $A_{k}$ k(\ $displaystyle A_{k$ B $B_{k}$ (\ $displaystyle B_{k$ 및 $C_{k}$ (\ $displaystyle$ $C_{k$ }) $A_{k}$ 를 $C_{k}$ 사용할 수 있습니다. $(\displaystyle$ $(A_{k},B_{k},C_{k})$ T $T$ 의 트랜지션 시스템은 ( $A$ k $,$ B $k$ $(A_{k},B_{k},C_{k})$ k $(A_{k},B_{k},C_{k})$ )(A_{k}, B_ ${k$ }, ${$ $k})$ 와 $(A_{k},B_{k},C_{k})$ $(A_{k+1},B_{k+1},C_{k+1})$ + $(A_{k+1},B_{k+1},C_{k+1})$ 1, $(A_{k+1},B_{k+1},C_{k+1})$ + 1, $(A_{k+1},B_{k+1},C_{k+1})$ + $)(A_{k+1}) 사이$ 의 $(A_{k},B_{k},C_{k})$ 관계를 결정합니다.각각 0과 0입니다. $B_{k}$ 는 $B_{k}$ B k(\ $displaystyle B_{$ k $B_{k}$ })가 정지 상태가 $B_{k}$ 숫자k(\ $displaystyle$ k $)$ 가 $k$ 있는 경우에만 정지합니다.

정확한 관계는 튜링 기계 개념의 구체적인 구현에 달려 있다(예를 들어 알파벳, 테이프를 따라 허용되는 동작 모드 등).

$n_{1}$ $(\displaystyle$ T $)$ 가 시간 $(\$ 로 정지하는 $T$ $경우$ ( $A_k,B_$ ${$ $k},C_{k})$ 와 $(A_{k},B_{k},C_{k})$ $1$ 의 $(A_{k+1},B_{k+1},C_{k+1})$ 관계(\style_ ${K})$ $\displaystyle n_{1$

따라서 무한정 수량자를 사용하지 않는 1차 산술에서는 $\varphi (n,n_{1})$ $(\displaystyle$ $T$ $)$ 가 $\varphi (n,n_{1})$ $n_{1}$ $(\$ $displaystyle$ $n)$ 에서 $n$ $T$ 하는 $T$ 공식 $\varphi (n,n_{1})$ $n$ ${$ $1$ 이 $\varphi (n,n_{1})$ 만족하고 있습니다.

구현 예시

예를 들어, 프리픽스 프리 튜링 머신에 바이너리 알파벳이 있고 공백 기호가 없는 경우 다음 표기를 사용할 수 있습니다.

$(\$ 는 $A_{k}$ k $(\displaystyle$ k $)$ 스텝 $k$ 후에 $테이프$ 전체를 구성하는 1-ary 기호입니다(이것은 LSB를 사용하여 수치로 쓸 수 있습니다.테이프상의 m번째 위치는 m번째 최하위 비트입니다). $A_{0}$ $A_{0}$ 0 $(\$ 은 $A_{0}$ 테이프의 초기 구성이며 기계 입력에 해당합니다.
$B_{k}$ k $(\$ 는 $B_{k}$ k $(\style$ k $)$ 단계 $k$ $후$ 튜링 기계 상태를 나타내는 1-ary 기호입니다. $B_{0}=q_{I}$ B $B_{0}=q_{I}$ $B_{0}=q_{I}$ $B_{0}=q_{I}$ I { $displaystyle$ B _ { 0 } = $q$ _ { $I$ 튜링 머신의 초기 상태.
$C_{k}$ k(\ $displaystyle C_{k})$ 는 $C_{k}$ k $(\displaystyle$ k $)$ $k$ 후 테이프에서 튜링 기계 위치를 나타내는 1-ary 기호입니다. $C_{0}=0$ C $C_{0}=0$ $=$ (\ $displaystyle$ C_ ${0$ }= $0$
$M(q,b)$ $M(q,b)$ { $displaystyle M(q,b)}$ 은 $M(q,b)$ Turing 기계의 전환 기능으로, 더블렛(기계 상태, 기계에 의해 읽히는 비트)에서 트리플렛(새로운 기계 상태, 기계에 의해 쓰여진 비트, 테이프를 따라 +1 또는 -1 기계 이동)으로 함수로 쓰여집니다.
$bit(j,m)$ i $bit(j,m)$ ( $bit(j,m)$ , $bit(j,m)$ $){$ $display$ $style$ $bit(j,m)$ bit ( $j$ , $m$ )는 $bit(j,m)$ 숫자m의 j번째 $비트$ 입니다 $m$ 이는 무한 수량화 없이 1차 산술식으로 작성할 수 있습니다.

프리픽스 프리 튜링 머신의 경우 입력n에 대해 초기 테이프 $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ t ( $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ a $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ ( $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ ( $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ g 2 $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ ) - $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ 1 , $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ , n $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ ){ $displaystyle$ $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ t ( n ) $= cat$ ( $2$ ^ { $log _$ { $n$ ) }- $1$ n $t(n)=cat(2^{ceil(log_{2}n)}-1,0,n)$ } ( cat )를 사용할 수 있습니다. $t(n)$ 서 cat은 cat는 $t(n)$ catincatation을 나타냅니다 $.$ $1-s$ 이 $1-s$ - $1-s$ s {\ $displaystyle 1-s}$ 에 $1-s$ $이어$ 0 {\ $displaystyle$ 0 $},$ n{\ $displaystyle$ n $n$ 이 $0$ 차례로 울립니다.

따라서 $n_{1}$ 머신의 첫 번째 $n1$ 에서의 $n_{1}$ 동작은 초기 조건과 모든 $k<n_{1}$ < $k<n_{1}$ \ $displaystyle$ k < n $_$ ${$ $n$ _ {1} $k<n_{1}$ } k k k $k$ k k k k k {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ {\ itions k \ $displaystyle$ k \ { n _ { n _ {1} $k<n_{1}$ : k k k k k k k k k k k {\ {\itionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitionsitions 。

$(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ k + $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ , $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ i $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ ( $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ k , $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ + $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ ) $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ ) $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ ( $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ , $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ t ( $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ , $A$ k $(B_{k+1},bit(C_{k},A_{k+1}),D)=M(B_{k},bit(C_{k},A_{k}))$ ) $、$ \ $display$ style ( $B$ _ { $k + 1$ ) 、 B _ { $k$ + $1$ } , $D$ ) $= M$ ( B $_$ { $k$ + 1 ) 、 B _ { k + 1 } 、 $Bit$ ( C )정확한 공식은 분명히 M에 달려있다.
$C_{k+1}=C_{k}+D$
$\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ : j $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ ≠ $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ → $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ t ( $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ , $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ k $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ + 1) $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ = $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ t $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ ( j $,$ ){ $displaystyle$ \ $forall j:j\neq C_{k$ }\ $rightarrow bit$ ( j , $A$ _ $k$ + 1) = $bit$ ( j , A _ { k $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ } } $style$ n ) $\forall j:j\neq C_{k}\rightarrow bit(j,A_{k+1})=bit(j,A_{k})$ 첫 $n_{1}$ $순서에서 주의$ 해 주세요 $.$ 따라서 j 위의 범용 수량자는 n $(\$ + $n_{1}$ 로 제한될 수 있습니다. 이 위치를 벗어난 비트는 기계 작동과 관련이 없기 때문입니다.

$n_{1}$ 는 $({$ $displaystyle$ n})이 $n$ 시간n 1({ $displaystyle n_{$ 1 $n_{1}$ $})$ 에 정지합니다 $n,$ $\varphi (n,n_{1})$ 1) { $displaystyle \varphi(n,$ n_ ${1$ }}).

{\displaystyle {aligned}\varphi(n,n_{1})=&(A_{0}=t(n)\land(B_{0}=q_{I)\land (C_{0}=0)\land (B_{n_{1}}=q_{H)\&\land \forall k<n_{1}:(B_{k+1}, bit(C_{k}, A_{k+1}), 1)=M(B_{k}, bit(C_{k}, A_{k})\land C_{k}(\lor)\lor(\lor)

이것은 무제한 수량자가 없는 1차 산술식입니다.즉, $\Sigma _{0}^{0}$ $\Sigma _{0}^{0}$ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { $0$ }^ $0$ 입니다.

반복 열거 가능한 집합

$(\displaystyle$ S $)$ 를 $S$ 튜링 머신에 의해 재귀적으로 열거할 수 있는 집합이라고 합니다.다음으로 튜링 $머신$ T $(디스플레이$ 스타일 T $)$ 가 $T$ 있습니다.T $($ 디스플레이 스타일 T)는 S( $디스플레이$ 스타일 $n$ S $S$ 에서n( $디스플레이 스타일$ N $)$ 마다 n $(디스플레이$ $스타일$ N $)$ 을 $n$ 으로 지정하면 $T(디스플레이$ 스타일 T $)$ 가 $T$ $멈춥니다$ .

이것은 위에 제시된 1차 산술식으로 공식화할 수 있다.S{\ $displaystyle$ S $}$ 의 $S$ 멤버는 다음 공식을 만족하는 $n$ $숫자$ n {\ $displaystyle$ n $}$ 입니다.

$\displaystyle \varphi (n,n_{1})$

이 공식은 $\Sigma _{1}^{0}$ $\Sigma _{1}^{0}$ 0 $(\$ _ ${1}^0$ 입니다.따라서 S $(\displaystyle$ S $)$ 는 $S$ $\Sigma _{1}^{0}$ (\ $displaystyle \Sigma$ _ ${1}^0$ 에 있습니다.따라서 재귀적으로 열거할 수 있는 모든 세트는 $\Sigma _{1}^{0}$ 1 $(\$ _ ${1}^{0$ 에 있습니다.

그 반대도 마찬가지입니다.k개의 실재량자를 가진 $\Sigma _{1}^{0}$ $\Sigma _{1}^{0}$ 의 모든 공식 $\varphi (n)$ ( $n )\displaystyle$ $\Sigma$ $\varphi (n)$ _ ${1}^{$ 0 $\Sigma _{1}^{0}$ }에 $\varphi (n)$ 대해k\ $displaystyle$ k $k$ – tuples를 $k$ 하고 공식이 충족될 때까지 모든 자연수를 통과하는 튜링 기계를 실행할 수 있습니다.이 튜링기계는 $\varphi (n)$ ( $\varphi (n)$ ) $\varphi (n)$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ )를 만족시키는 자연수의 집합을 정확하게 정지시켜 대응하는 집합을 열거한다.

오라클 머신

마찬가지로 $(\displaystyle$ n $)$ 에서 $n_{1}$ $n$ $n_{1}$ $n_{1}$ 의 스텝 $(\$ 후에 정지하는 오라클 O를 가진 오라클 $머신$ T(\ $displaystyle$ T $)$ 의 $T$ 동작은 1차 공식 $\varphi _{O}(n,n_{1})$ O $(n,$ $)$ 로 나타낼 수 있습니다. 단 $\varphi _{1}(n,n_{1})$ n(\ $displaystyle n$ , $n_{1$ 은 다음과 같습니다. $\varphi _{1}(n,n_{1})$ $\varphi _{1}(n,n_{1})$ 1 $)({displaystyle \varphi$ _ ${1}(n,n_{1})$ 에는 $\varphi _{1}(n,n_{1})$ 다음이 포함됩니다.

새로운 술어 $($ m $O_{m}$ 이 오라클의 답변을 제공합니다.이 술어는 아래에서 설명하는 몇 가지 공식을 충족해야 합니다.
$\displaystyle$ T는 $T$ Oracle에 대한 모든 호출 O(m)에 대해 숫자 m을 기록해야 하는 추가 테이프(Oracle 테이프)입니다. 이 테이프에 쓰는 것은 기계의 테이프에 쓰는 것과 유사한 방식으로 논리적으로 공식화할 수 있습니다. $n_{1}$ $n_{1}$ 의 $n_{1}$ 1단계({ $displaystyle n_{1})$ 후에 $n_{1}$ 정지하는 Oracle 머신은 Oracle 테이프에 $n_{1}$ 의 $1자리$ ({ $displaystyle$ n_ ${1$ })를 $n_{1}$ 쓸 수 있습니다. $따라서$ oracle은 m $m<2^{n_{1}}$ < $m<2^{n_{1}}$ $m<2^{n_{1}}$ 1 { $displaystyle$ m < $2^{n_{1$ 을 $m<2^{n_{1}}$ 하는 숫자m만으로 호출할 수 있습니다.

Oracle이 의사결정 문제인 경우 $(\$ 은 $O_{m}$ 항상 "예" 또는 "아니오"이며, 0 또는 1로 공식화할 수 있습니다.판정문제 자체를 1차 산술식 $){displaystyle \psi$ ^{ $O}($ $\varphi _{O}(n,n_{1})=\forall m<2^{n_{1}}:((\psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\psi ^{O}(m)$ 로 $n_{1}$ 공식화할 수 있다고 가정합니다. $다음$ 공식이 $\varphi _{O}(n,n_{1})=\forall m<2^{n_{1}}:((\psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 될 경우에만 최대 $(\$ 의 스텝 후에T(\ $displaystyle$ T)가 $T$ n $\varphi _{O}(n,n_{1})=\forall m<2^{n_{1}}:((\psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 로 $n$ 정지합니다 $\varphi _{O}(n,n_{1})=\forall m<2^{n_{1}}:((\psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi ^{O}(m)\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $m$ $\land {varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$

${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 서 ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 1 ( n ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ , ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 1 $){ displaystyle$ { $varphi _$ { O ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ } ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ _ { $1$ } （ ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ n , n _ n _ { $1$ } } is ${\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 、무제한 수량화자가 없는 1차 공식입니다.

튜링 점프

O가 기계 $T$ problem { $displaystyle$ T $}$ 의 $m_{1}$ 정지 문제에 대한 신탁인 경우, $\psi ^{O}(m)$ O ( $\psi ^{O}(m)$ ) { $displaystyle \psi$ ^ { $O$ } ( $m$ )는 $\psi ^{O}(m)$ $m_{1}$ " $m_{1}$ 이 $m_{1}$ $T'$ 하므로 $m_style$ $m_{1}$ style m_step $m_1 이후$ T ${\$ { $displaystyle$ T $`$ 가 $T'$ 정지 상태가 됩니다.. : $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ ( $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ m ) $=$ $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ : $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ H ( $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ , $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ $displaystyle \psi$ ^ { $O$ （ m ） =\ $exists m_{$ 1} ( $여기$ 서 $\psi _{H}(m,m_{1})$ H ( $\psi _{H}(m,m_{1})$ , $\psi _{H}(m,m_{1})$ $){$ $displaystyle \psi$ _ psi ^ { $H }$ ( m , m _ m _ { m _ { m _ { m _ { m $\psi _{H}(m,m_{1})$ $}$ ) - { m _ { m _ { m $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ _ { m $\psi _{H}(m,m_{1})$ $}$ } ) } } } } } } } } 。 $\psi _{H}(m,m_{1})$ $\psi _{H}(m,m_{1})$ H ( $\psi _{H}(m,m_{1})$ , m $\psi _{H}(m,m_{1})$ ) $\psi _{H}(m,m_{1})$ （ { $displaystyle \psi _$ { $H }$ ( m , m _ { m _ { { { { { m _ { { { 0 $}$ ） $\Sigma _{0}^{0}=\Pi _{0}^{0}$ 0 $\Sigma _{0}^{0}=\Pi _{0}^{0}$ $\Sigma _{0}^{0}=\Pi _{0}^{0}$ （ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { $0$ } $=$ \ $Pi$ _ { $0$ ） $（$ 0 ）（））。 (무제한 수량자는 없습니다.

많기 때문에 숫자의 6<>를 충족시키면 인류 유한수;2n1{\displaystyle m<, 2^{n_{1}}}, 우리는 그들 모두에게:연결 수 m1{\displaystyle m_{1}}처럼 Tm1{\displaystyle m_{1}후{\displaystyle T자형}이 중지되 ′}바로 그런 inp를 밟는다는 단계들이 같은 숫자를 선택할 수 있다.uts $m<2^{n_{1}}$ < $m<2^{n_{1}}$ $m<2^{n_{1}}$ 1 ({ $displaystyle$ m < $2$ ^ { $n _$ {1} })이 $m<2^{n_{1}}$ (가) 정지합니다.

prenex normal 형태로 이동하면 입력 $n$ ({ $displaystyle$ n})에서 $n$ Oracle 머신이 정지하는 것은 $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 공식이 충족되는 경우뿐입니다. $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ n ) $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ n 1 $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 2 : $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ H ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ , m 2 $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ( O $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ H ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ H ( , $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ , $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) → $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ （））、 M ） ∧ 、 M $\varphi (n)=\exists n_{1}\exists m_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,m_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ （） $\varphi (n)=\capsi n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1)\land (\lnot \psi _{H}(m,m_1})\rightarrow (O_0={$ $\land {varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$

(일반적으로 첫 $m_{1}$ $m_{1}$ $({$ 스텝 $m_{1}$ $m_{1}$ 내에서 정지하지 않는 모든 오라클은 전혀 정지하지 않습니다.단, $({$ $m_{2}$ 마다 정지하는 각 오라클은 $({$ }}) $m_{1}$ $m_{2}$ $m_{2}$ 에 정지합니다).

$(\$ 과 $n_{1}$ $(\$ 을 $m_{1}$ 모두 1개의 숫자(최대)로 대체할 수 $\varphi (n)$ 값은 n $(\displaystyle \varphi (n$ 의 true 값을 변경하지 않습니다.따라서 $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 과 같이 쓸 수 있습니다. $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 1 $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 2 $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ : ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ H $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ , $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) $→$ ( $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ m $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ 0 $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ O $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ( n $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ , $\varphi (n)=\exists n_{1}\forall m_{2}:(\psi _{H}(m,m_{2})\rightarrow (O_{m}=1))\land (\lnot \psi _{H}(m,n_{1})\rightarrow (O_{m}=0)))\land {\varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$ ) \ $display$ style $\ var$ _ $phi$ （） $\land {varphi _{O}}_{1}(n,n_{1})$

튜링 머신의 정지 문제에 대한 오라클의 경우, $\psi _{H}(m,m_{1})$ ( $\psi _{H}(m,m_{1})$ , $\psi _{H}(m,m_{1})$ 1 ) { $displaystyle$ \ $psi$ _ ${H$ } ( m , $m$ _ { $\psi _{H}(m,m_{1})$ {1} )는 $\psi _{H}(m,m_{1})$ $\varphi (n)$ $\Pi _{0}^{0}$ 0 ( \ $displaystyle$ \ $Pi$ _ { $0$ }{ $0$ $\Pi _{0}^{0}$ }{ $\varphi (n)$ 는 $\Pi^0_0$ $\Sigma _{2}^{0}$ $\Sigma _{2}^{0}$ \ $display$ style \ $varphi$ ( $\varphi (n)$ n ){ 2 \ $sigma }$ 에 있습니다. $\emptyset ^{(1)}$ $\emptyset ^{(1)}$ ( $\emptyset ^{(1)}$ 1 ) \ $displaystyle$ \ $emptyset ^$ { (1) } $\emptyset ^{(1)}$ an an an머신에 의해 반복적으로 열거되는 모든 세트는 $\Sigma _{2}^{0}$ $\Sigma _{2}^{0}$ \ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { 2 }^ $0$ 입니다.

$\varphi (n)$ 반대도 마찬가지입니다.예를 들어 $\varphi (n)$ ( ( $\varphi (n)$ n ) $\varphi (n)$ { $displaystyle$ \ $varphi$ ( n ) $\varphi (n)$ $\Sigma _{2}^{0}$ 2 $\Sigma _{2}^{0}$ $k_{2}$ $\Sigma _{2}^{0}$ （ \ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { }^ $0}$ $k_{1}$ 、 $k_{1}$ 1 $k_{1}$ { $displaystyle k$ _ { $1}$ } 、 $k_{2}$ { $displaystyle$ k $_$ { $k_{2}$ } } ifiers $k_{2}$ quant quant quant quant quantifiersifiersifiersifiersifiersifiersifiersifiers 。Equivalently,φ(n){\displaystyle \varphi(n)}, 실존 quantifiers 공식의 부정에 의해 Σ 10{\displaystyle \Sigma_{1}^{0}에}뒤에 오는데, 후자의 공식은 튜링 기계에 즉시 신탁으로∅(1){년인가를 확인할 수 있는 열거할 수 있1{\displaystyle k_{1}}을 k다.출신의. $splaystyle \emptyset ^{$ (1 $\emptyset ^{(1)}$

$k_{1}$ $(\$ 1 $k_{1}$ – 자연수의 tuples를 열거하고 공식에 만족할 때까지 $\emptyset ^{(1)}$ ( $\emptyset ^{(1)}$ ) $\emptyset ^{(1)}$ \ $displaystyle \emptyset$ ^{( $1)}$ 에 $\emptyset ^{(1)}$ 대한 오라클 머신을 실행할 수 있습니다. $\varphi (n)$ 오라클 머신은 $\varphi (n)$ ( $\varphi (n)$ ) $\varphi (n)$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ n )를 만족하는 자연수 세트를 정확하게 정지하여 대응하는 세트를 열거합니다.

높은 튜링 점프

보다 일반적으로 $\emptyset ^{(p)}$ 머신에 의해 반복 열거되는 모든 집합이 $\emptyset ^{(p)}$ $\Sigma _{p+1}^{0}$ $\emptyset ^{(p)}$ $\Sigma _{p+1}^{0}$ + $\Sigma _{p+1}^{0}$ \ $display style$ \ $Sigma _$ { p + 1 $\emptyset ^{(p)}$ } {{ p + $\Sigma _{p+1}^{0}$ } { $0$ } 입니다 $\emptyset ^{(p)}$ . $\emptyset ^{(p+1)}$ ( $\emptyset ^{(p+1)}$ + $\emptyset ^{(p+1)}$ ) $\emptyset ^{(p+1)}$ { { $displaystyle \emptyset$ ^ { ( p + $1$ ) $\emptyset ^{(p+1)}$ } } $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ machine with with with ( with with with with with with with with with with $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ with O ( $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ ) $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ ( m , $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ $){ displaystyle$ \ $psi$ ^ { $O （$ m ） = \ $exists m$ _ { $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ { 1 $\psi ^{O}(m)=\exists m_{1}:\psi _{H}(m,m_{1})$ } :\ $psi$ { $h }$ } } 。

$\psi ^{O}(m)$ O $\psi ^{O}(m)$ ( $\psi ^{O}(m)$ ) \ $display$ \ $psi$ $\varphi (n)$ $^$ { $O$ $\psi ^{O}(m)$ （ $m$ ） display $\psi ^{O}(m)$ $\varphi (n)$ $\varphi (n)$ 、 n $displaydisplaydisplaydisplay$ display display display display $\varphi (n)$ display （ $n$ ） $\varphi (n)$ display $\varphi (n)$ $\varphi (n)$ $display$ $\psi _{H}(m,m_{1})$ display display （ n $\varphi (n)$ ） $\psi _{H}(m,m_{1})$ displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay display display $\psi _{H}(m,m_{1})$ display displaydisplaydisplay $\psi _{H}(m,m_{1})$ $\psi _{H}(m,m_{1})$ 、 m （ $display$ 1 $）displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay1$ display1 $displaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplaydisplay$ $ystyle \Pi$ _ ${p}^0$ 프리넥스 형식 form ( $\varphi (n)$ ){ $displaystyle \varphi ( n$ )는 $\varphi (n)$ $\varphi (n)$ + $\Sigma _{p+2}^{0}$ + $\Sigma _{p+2}^{0}$ { $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { $p$ + 2 }^ $0$ 입니다.

$\emptyset ^{(p)}$ 에 의해 $\emptyset ^{(p)}$ ( \ $\emptyset ^{(p)}$ ^ { ( $\emptyset ^{(p)}$ p ) $\emptyset ^{(p)}$ } oracle 머신에 의해 재귀적으로 열거되는 모든 세트는 $\Sigma _{p+1}^{0}$ $\Sigma _{p+1}^{0}$ + 1 \ $displaystyle$ \ $Sigma$ _ { $p$ + $1$ }^{ $0$ } 입니다.

다른 방향도 유도로 증명할 수 있습니다. $\Sigma _{p+1}^{0}$ p + $\Sigma _{p+1}^{0}$ ${$ \ $\Sigma _{p+1}^{0}$ \ $Sigma$ _ { $p$ + $1 }^{$ 0 $\Sigma _{p+1}^{0}$ } の $\emptyset ^{(p)}$ ( machine with with with with with with with with with with with머신에서 ( $p$ ) { $displaystyle \emptyset$ ^ { ( p ) $\emptyset ^{(p)}$ } $\emptyset ^{(p)}$ 。

$\varphi (n)$ 서 n $(\display$ style $\varphi (n))$ 이 $\varphi (n)$ $(\$ _ ${p+2}^0})$ 의 $\Sigma _{p+2}^{0}$ 식에 $(\$ 의 $k_{1}$ 뒤에 $(\$ }}의 $k_{2}$ 유니버설 수량자 등이 $k_{1}$ 가정합니다.Equivalently,φ(n){\displaystyle \varphi(n)}, 실존 quantifiers 공식의 Σ에 부정 판단에 의해 p+10{\displaystyle \Sigma_{p+1}^{0}를};후자의 공식 신탁 기계에 의해∅(p)에 대한 신탁과 함께 열거할 수 있1{\displaystyle k_{1}}을 k다{\displaystyle\emptyset ^{(p.)} $}$ 이므로 $\emptyset ^{(p)}$ $\emptyset ^{(p+1)}$ ( $p$ + $\emptyset ^{(p+1)}$ 1 ) { displaystyle \ $emptyset ^$ { ( $p$ + 1) $\emptyset ^{(p+1)}$ } } $\emptyset ^{(p+1)}$ for for for for for for for for for for for for for for for for immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi immedi

$k_{1}$ $({$ – 자연수의 tuples를 열거하고 공식에 만족할 때까지 $\emptyset ^{(p+1)}$ of ( $\emptyset ^{(p+1)}$ + $\emptyset ^{(p+1)}$ ) \ $displaystyle \emptyset ^{(p+1)}$ 에 $\emptyset ^{(p+1)}$ 대한 오라클 머신을 실행할 수 있습니다. $\varphi (n)$ 오라클 머신은 $\varphi (n)$ ( $\varphi (n)$ ) $\varphi (n)$ \ $displaystyle$ \ $varphi$ n )를 만족하는 자연수 세트를 정확하게 정지하여 대응하는 세트를 열거합니다.

레퍼런스

로저스, H재귀함수와 유효계산성의 이론, MIT 출판. ISBN0-262-68052-1, ISBN0-07-053522-1

Soare, R. 반복적으로 열거할 수 있는 집합과 도.수학 논리학의 관점.1987년 베를린 스프링거-벨라그ISBN 3-540-15299-7

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