사후 대응 문제

포스트 통신문제는 1946년 에밀 포스트가 도입한 불문율 결정 문제다.^[1]중단되는 문제와 Entscheidungsproroblem보다 간단하기 때문에 불복의 증거에 자주 사용된다.

문제의 정의

${\displaystyle A}$을(를) 두 개 이상의 기호가 있는 알파벳으로$$ 두십시오.The input of the problem consists of two finite lists ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{N}}$ and ${\displaystyle \beta _{1},\ldots ,\beta _{N}}$ of words over ${\displaystyle A}$. A solution to this problem is a sequence of indices ${\display$$스타일(i_{k})$${\displaystyle \mathrm{\_<img\; alt="(i\_\{k\})\_\{\{1\backslash leq\; k\backslash leq\; K\}\}"\; aria-hidden="true"\; class="mwe-math-fallback-image-inline"\; src="https://wikimedia.org/api/rest\_v1/media/math/render/svg/b907afe6f6a09c72bb2c5aa0ff73e1c649147d18"\; style="vertical-align:\; -0.838ex;\; width:9.629ex;\; height:2.843ex;"\; papago-attr-id="33">}}$${1$$\$$leq k\leq k}}:$ $K{\displaystyle }$$k$ 1 {\$displaystyle$ K$\$$geq 1}$ 및$$ $1{\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \le }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle k_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle 1\leq i_{k}\leq N$$\}.$

${\displaystyle \alpha _{i_{1}}\ldots \alpha _{{K}=\beta _{i_}}$

그때 결정문제는 그런 해결책이 존재하는지 없는지를 결정하는 것이다.

대체 정의

${\displaystyle g:(i_{1},\ldots, i_{K})\mapsto \alpha _{i_}}\ldots \alpha _{K}}}$

${\displaystyle h:(i_{1},\ldots, i_{K})\mapsto \beta _{i_1}}\ldots \beta _{i_{K}}}}$

이는 문헌에서 흔히 발견되는 동등한 대체 정의를 낳게 되는데, 이에 따라 공통 영역과 공통 코도메인이 있는 $두{\displaystyle }$ 개의$$ 동형체 g${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle g,h}$이(가) 포스트 서신 문제의 한 예를 형성하며, 이제 도마에$$ ${\displaystyle$ w$}$라는 비빈 단어가 존재하는지 여부를 묻는다.그렇게 해서

${\displaystyle g}$( ${\displaystyle w}$)${\displaystyle }$= ${\displaystyle h}$( w${\displaystyle }$) ${\displaystyle g(w)=h(w$

또 다른 정의는 이 문제를 퍼즐의 한 종류로 쉽게 설명한다.우리는 도미노의 모음으로 시작하는데, 각각 두 개의 현이 있고, 한 개의 현이 양쪽에 있다.각각의 도미노는

$(\displaystyle [a/ab])}$

도미노의 집합체는

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$/ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ],}$[ ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ],}$[ ${\displaystyle a}$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ],}$[ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ],}$ ${\$ [$a/a],$ [$ca/a],$ [$ca/c$

과제는 이러한 도미노의 리스트(반복 허용)를 만들어 상단의 기호를 읽음으로써 얻을 수 있는 끈이 하단의 기호 끈과 같도록 하는 것이다.이 리스트는 매치라고 불린다.포스트 서신 문제는 도미노들의 컬렉션에 일치하는 것이 있는지 여부를 결정하는 것이다.예를 들어, 다음 목록은 이 퍼즐과 일치한다.

${\displaystyle [}$ ${\displaystyle a}$/ a ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ],}$[ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle c}$/ c ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ],}$[ a${\displaystyle }$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle ],}$[ b${\displaystyle }$/ a ], [${\displaystyle b}$ / ${\displaystyle c}$ $],$ {\$displaystyle {[a/$ab$],$ [$bc/ca],[a/ab],[a/ab$

일부 도미노 컬렉션의 경우 일치하는 항목을 찾을 수 없을 수 있다.예를 들어, 컬렉션

${\displaystyle [}$ a ${\displaystyle b}$/ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b],}$[ ${\displaystyle c}$ a${\displaystyle }$/ ${\displaystyle a],}$[ ${\displaystyle c}$/ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ],}$ ${\$

모든 상단 문자열은 해당하는 하단 문자열보다 길기 때문에 일치 항목을 포함할 수 없다.

문제의 예

예 1

다음 두 가지 목록을 고려해 보십시오.

이 문제에 대한 해결책은 다음 순서(3, 2, 3, 1)가 될 것이다.

$\displaystyle \properties _{3}\pa _{2}\pa _{3}\pa _{3}\pa _{3}\pa _{3}pa _{3}pa _{3}pa\pa _{3}pair _{1}.}$

더욱이 (3, 2, 3, 1)은 해결책이기 때문에, (3, 2, 3, 1, 3, 2, 3, 1)과 같은 그 "반복"도 모두, 즉, 해결책이 존재할 때, 이 반복적인 종류의 해결책은 무한히 많다.

However, if the two lists had consisted of only ${\displaystyle \alpha _{2},\alpha _{3}}$ and ${\displaystyle \beta _{2},\beta _{3}}$ from those sets, then there would have been no solution (the last letter of any such α string is not the same as the letter before it, whereas β only constructs pairs of 같은 글자).

사후 대응 문제의 예를 보기 위한 편리한 방법은 양식의 블록 모음입니다.

각 블록의 종류에 따라 무제한의 공급이 있다.따라서 위의 예는 다음과 같다.

용해자가 이 세 블록 타입 각각에 대한 끝없는 공급을 가지고 있는 곳.용액은 맨 위 셀의 문자열이 맨 아래 셀의 문자열에 대응하도록 블록을 서로 옆에 놓는 어떤 방법에 해당한다.그렇다면 위의 예에 대한 해결책은 다음과 같다.

예 2

문제의 한 예를 나타내기 위해 블록을 다시 사용하면서, 다음은 단순히 해결책을 "반복"함으로써 얻은 종류에 추가하여 무한히 많은 해결책을 가지고 있는 예다.

이 경우, 양식의 모든 순서(1, 2, 2, . . 2, 3)는 해결책(모든 반복에 더하여)이다.

불해독성 증명 스케치

PCP의 불해독성에 대한 가장 일반적인 증거는 특정 입력에서 임의 튜링 기계의 계산을 시뮬레이션할 수 있는 PCP의 한 경우를 설명한다.튜링 기계가 입력을 수락하는 경우에만 일치한다.튜링 기계가 입력을 받아들일지 결정하는 것은 기본적인 불해독성 문제이기 때문에 PCP 역시 취소할 수 없다.다음 논의는 마이클 시퍼(Michael Sipser)의 교과서 '계산 이론 소개'에 기초한다.^[2]

좀 더 자세히 설명하자면, 상단과 하단을 따라 늘어선 끈이 튜링 기계의 연산 이력이 될 것이라는 생각이다.즉, 초기 상태를 설명하는 문자열과 다음 상태를 설명하는 문자열 등을 나열하고, 승인 상태를 설명하는 문자열로 끝날 때까지 나열한다.상태 문자열은 일부 구분 기호(일반적으로 #로 작성됨)로 구분된다.튜링 기계의 정의에 따르면 기계의 전체 상태는 다음 세 부분으로 구성된다.

• 테이프의 현재 내용.
• 테이프 헤드를 작동하는 유한 상태 머신의 현재 상태.
• 테이프에서 테이프 헤드의 현재 위치.

테이프에는 셀이 무한히 많지만, 이것의 일부 한정된 접두사만 비어 있지 않을 것이다.우리는 이것들을 우리 주의 일부로 적는다.유한 제어의 상태를 설명하기 위해, 우리는 q₁ ~ q라는_k 새로운 기호를 각 유한 상태 기계의 k 상태에 대해 생성한다.테이프 헤드의 위치에서 테이프 내용을 설명하는 문자열 안에 올바른 기호를 삽입하여 테이프 헤드의 위치와 유한 제어의 현재 상태를 모두 표시한다.{0,1} 알파벳의 경우 일반적인 상태는 다음과 같을 수 있다.

101101110q₇00110.

간단한 계산 이력은 다음과 같이 보일 것이다.

q₀101#1q₄01#11q₂1#1q₈10.

여기서 x는 입력 문자열이고 q는₀ 시작 상태:

q0x#

상단은 한 상태씩 바닥을 "끌어잡기" 시작하며, 바로 마지막 단계까지 이 지연을 유지한다.다음으로, #와 마찬가지로 테이프 알파벳의 각 기호 a에 대해 "복사본" 블록이 있으며, 이 블록은 한 상태에서 다음 상태로 수정되지 않은 블록으로 복사된다.

a

a

우리는 또한 테이프 헤드가 어떻게 움직이는지, 유한 상태가 어떻게 변화하는지, 그리고 주변 기호에 어떤 일이 일어나는지를 보여주는 기계가 할 수 있는 각각의 위치 전환에 대한 블록을 가지고 있다.예를 들어, 테이프 헤드가 상태 4에서 0을 초과한 다음 1을 쓰고 오른쪽으로 이동하여 상태 7로 변경하십시오.

q40

1q7

마지막으로, 상단이 수락 상태에 도달하면, 하단은 경기를 끝내기 위해 마침내 따라잡을 기회가 필요하다.이를 허용하기 위해, 일단 수용 상태에 도달하면, 그 이후의 각 기계 스텝은 테이프 헤드 근처의 기호가 한 번에 하나씩 사라지도록 연산을 확장한다.q가_f 승인 상태일 경우, a는 테이프 알파벳 기호인 다음과 같은 전환 블록으로 이를 나타낼 수 있다.

상태 사이의 경계를 다루는 것, 우리의 초기 타일이 시합에서 먼저 가는 것을 확인하는 것 등 해결해야 할 많은 세부사항들이 있지만, 이것은 정적 타일 퍼즐이 튜링 기계 계산을 어떻게 시뮬레이션할 수 있는지에 대한 일반적인 생각을 보여준다.

앞의 예

q₀101#1q₄01#11q₂1#1q₈10.

포스트 통신문제의 해결책은 다음과 같다.

변형

많은 변종 PCP가 고려되었다.한 가지 이유는 PCP를 줄임으로써 어떤 새로운 문제에 대한 불찰성을 증명하려고 할 때, PCP 자체에서가 아니라 명백히 더 약한 버전에서 발견되는 첫 번째 감소가 종종 일어나기 때문이다.

• 이 문제는 자유 모노이드 B에서^∗ 자유 모노이드 A까지^∗ 단모형 형태 f의 관점에서 표현될 수 있다.문제는 b에⁺ f(w) = g(w)와 같은 w 단어가 있는지 판단하는 것이다.^[3]
• $알파벳{\displaystyle }$ A$$${\$$displaystyle A$}이(가) 기호가 하나만 있는$$ 경우 문제를 해독할 수 있으므로 최소 두 개의 기호를 갖는 조건이$$ 필요하다.
• 단순한 변형은 타일 수인 n을 고치는 것이다.이 문제는 n ≤ 2일 경우 해제할 수 있지만 n 5 5일 동안 미해결 상태로 남아 있다.^[4]이 문제가 3 n n ≤ 4에 대해 디커블이 가능한지는 알 수 없다.^[5]
• The circular Post correspondence problem asks whether indexes ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots }$ can be found such that ${\displaystyle \alpha _{i_{1}}\cdots \alpha _{i_{k}}}$ and ${\displaystyle \beta _{i_{1}}\cdots \beta _{i_{k}}}$ are conjugate 단어, 즉, 동일한 모듈로 회전한다.이 변종은 불분명하다.^[6]
• PCP의 가장 중요한 변종 중 하나는 반복 타일을 포함하여 k 타일만 사용하여 성냥을 찾을 수 있는지 묻는 경계 포스트 통신 문제다.잔인한 힘 검색은 시간 O(2^k)에 문제를 해결하지만, 문제는 NP-완전이기 때문에 개선하기가 어려울 수 있다.^[7]부울 만족도 문제와 같은 일부 NP-완전한 문제와 달리, RNP에 대해서도 경계된 문제의 작은 변형이 완결된 것으로 나타났는데, 이는 입력을 무작위로 선택하더라도 (일률적으로 분산된 입력에 비해 평균적으로 힘들다는 것을 의미한다.^[8]
• 또 다른 변종인 PCP는 표시된 Post Communications Problem이라 불리며, 여기서 각 ${\displaystyle {\alpha i}_{}}$ ${\$는 다른 기호로 시작해야 하며$$, 각 ${\displaystyle {\beta i}_{}}$ ${\$도 다른 기호로 시작해야 한다$$.할라바, 히르벤살로, 데 울프는 이 변화가 기하급수적인 시간에 해독될 수 있다는 것을 보여주었다.더욱이, 그들은 이 요건이 처음 두 문자 중 한 문자만 다를 필요가 있도록 약간 느슨해지면( 소위 2자로 표시된 우편 통신 문제) 그 문제는 다시 돌이킬 수 없는 문제가 된다는 것을 보여주었다.^[9]
• The Post Embedding Problem is another variant where one looks for indexes ${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots }$ such that ${\displaystyle \alpha _{i_{1}}\cdots \alpha _{i_{k}}}$ is a (scattered) subword of ${\displaystyle \beta _{i_{1}}\cdots \beta _{$$i_{k$ 이 변형은 일부 솔루션이 존재할 때, 특히 length-1 솔루션이 존재하기 때문에 쉽게 해독할 수 있다.더 흥미로운 것은 정규 포스트 임베딩 문제인데, 이 문제는 주어진 정규 언어에 속하는 해결책을 찾는 또 다른 변종이다(예: ${\displaystyle \mathrm{세트}}$ $\{{\displaystyle }$1,${\displaystyle }$…${\displaystyle N\}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}).$정규 포스트 임베딩 문제는 여전히 결정 가능하지만, 추가된 정규 제약 때문에 모든 곱하기 반복 기능을 지배하는 매우 높은 복잡성을 가지고 있다.^[10]
• 아이덴티티 서신 문제(ICP)는 (그룹 알파벳을 통한) 한 쌍의 유한한 집합이 일련의 결합에 의해 아이덴티티 쌍을 생성할 수 있는지 여부를 묻는다.이 문제는 이해할 수 없고 다음과 같은 그룹 문제와 동등하다: 그룹 알파벳을 통한 유한한 단어 쌍에 의해 생성되는 세미그룹이다.^[11]

참조

외부 링크

• 에이탄 M.구라리.계산 이론 소개, 제4장 포스트의 대응 문제촘스키형 0형 그래머에 근거한 PCP의 불해독성을 증명한다.
• 동, 징.「PCP 인스턴스의 분석·해결」. 2012년 전국 정보기술·컴퓨터과학 총회.이 논문은 일부 특정 PCP 인스턴스(instance)를 해결하기 위한 경험적 접근 규칙을 설명한다.
• 온라인 PHP 기반 PCP 해결사
• 가정용 PCP
• PCP - 좋은 문제
• Java의 PCP 해결사