분리된 집합

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수학의 위상 및 관련 분기에서 분리된 집합은 특정 방식으로 서로 관련되는 주어진 위상학적 공간의 하위 집합 쌍이다. 즉, 대략적으로 말하면 겹치거나 만지지 않는다.두 세트가 분리되거나 분리되지 않는 경우의 개념은 위상적 공간에 대한 분리 공리뿐만 아니라 연결된 공간(및 이들의 연결된 구성요소)의 개념에도 중요하다.

분리된 집합은 다소 관련이 있지만 다른 분리된 공간(아래 정의)과 혼동해서는 안 된다.분리 가능한 공간은 다시 완전히 다른 위상학적 개념이다.

정의들

위상학적 공간 X의 두 하위 집합이 분리되는 것으로 간주될 수 있는 방법은 다양하다.

• A와 B는 교차점이 빈 집합일 경우 분리된다.이 속성은 위상과는 전혀 관계가 없고 단지 이론만 설정해 놓은 것이다.다른 관념의 순서에서 가장 약하기 때문에 여기에 포함된다.
  • A와 B는 각각 상대방의 폐쇄와 분리될 경우 X로 분리된다.폐점 자체는 서로 분리할 필요가 없다. 예를 들어, 점 1이 폐점 양쪽 모두에 속함에도 불구하고, 실제 라인 R에서 [0, 1)과 (1, 2)] 구간이 분리된다.보다 일반적인 예로는 어떤 메트릭스 공간에서든 d(x₁, y) = {y : d(x₁, y) < r}과 B_s(x₂) = {y : d(x, x₂) ≥ r + s가 분리될 때마다 두 개의 오픈볼 B_r(x₁) = {y : d(x₂, y) < s}이 분리되어 있다는 것이다.두 개의 분리된 세트가 자동으로 분리되어야 한다는 점에 유의하십시오.
  • A와 B는 이웃에 의해 분리되어 U와 V가 분리되어 있으면 이웃에 의해 분리된다. (때로는 U와 V가 개방된 이웃이라는 요구사항을 보게 되지만, 이것은 결국 아무런 차이가 없다.)A = [0, 1)과 B = (1, 2)의 예에서는 U = (-1, 1)와 V = (1, 3)를 취할 수 있다.두 세트가 이웃에 의해 분리되면 확실히 분리된다는 점에 유의하십시오.A와 B가 개방되어 분리되어 있으면 반드시 이웃에 의해 분리되어야 한다. U = A와 V = B를 취하기만 하면 된다. 이러한 이유로 분리성은 종종 닫힌 집합(정상 분리 공리에서와 같이)과 함께 사용된다.
    • A와 B는 A의 폐쇄적인 이웃 U와 B의 폐쇄적인 이웃 V가 있어서 U와 V가 분리되어 있으면 폐쇄적인 이웃에 의해 분리된다.우리의 예인 [0, 1)과 (1, 2)는 폐쇄적인 이웃에 의해 분리되지 않는다.포인트 1을 포함하면 U나 V 중 하나를 닫을 수 있지만, 이 둘을 분리해서 닫을 수는 없다.두 세트가 닫힌 이웃에 의해 분리되는 경우, 확실히 이웃에 의해 분리된다는 점에 유의하십시오.
      • f(A) = {0}, f(B) = {1} 등 공간 X에서 실제 라인 R까지 연속 함수f가 존재한다면 A와 B는 함수에 의해 분리된다.(이 정의에서 R 대신 사용되는 단위 간격 [0,1]을 볼 수 있지만, 이것은 아무런 차이가 없다.)본 예에서 [0, 1)과 (1, 2)는 점 1에서 f를 연속적으로 정의할 수 있는 방법이 없기 때문에 함수에 의해 분리되지 않는다.한 함수에 의해 두 세트가 분리되는 경우, 그 세트는 폐쇄된 이웃에 의해서도 분리된다는 점에 유의하십시오. e가 1/2 미만의 양의 실제 숫자인 한, 이웃은⁻¹ U := f⁻¹[-e, e] 및 V :==f[1 - e, 1 + e]로 f의 사전 이미지로 제공될 수 있다.
        • f(0⁻¹) = A 및 f⁻¹(1) = B와 같은 연속 함수 f가 X에서 R까지 존재하는 경우 A와 B는 함수에 의해 정확하게 분리된다(Again, 당신은 R 대신에 단위 간격을 볼 수도 있고, 다시 한 번 차이가 없다).만약 어떤 두 세트가 함수에 의해 정확하게 분리된다면, 확실히 함수에 의해 분리된다는 것에 유의한다.{0}과(와) {1}은(는) R로 닫혀 있기 때문에 닫힌 세트만 함수에 의해 정밀하게 분리될 수 있지만, 두 세트가 닫히고 함수에 의해 분리된다고 해서 함수(다른 기능도)에 의해 자동으로 정밀하게 분리되는 것은 아니다.

분리 공리와 분리된 공간과의 관계

분리 공리는 위상학적 공간에 부과되는 다양한 조건이며, 그 중 많은 것은 여러 종류의 분리 집합의 관점에서 설명될 수 있다.예를 들어 분리된 공간에 부과되는 조건인₂ T 공리를 정의한다.특히, 위상학적 공간은 두 개의 구별되는 지점 x와 y가 주어진 경우 싱글톤 세트 {x}과(와) {y}이(가) 이웃에 의해 분리되는 경우 분리된다.

분리된 공간은 보통 하우스도르프 공간 또는 T₂ 공간이라고 불린다.

연결된 공간과의 관계

위상학적 공간 X를 주어진다면, 부분 집합 A가 그것의 보완물에서 분리되는 것이 가능한지를 고려하는 것이 유용할 때도 있다.A가 빈 세트나 전체 공간 X 중 하나라면 이것은 분명 사실이지만, 다른 가능성도 있을 수 있다.위상학적 공간 X는 이 두 가지 가능성만 있다면 연결된다.반대로 비어 있지 않은 부분 집합 A가 자체 보완에서 분리되어 있고, 이 속성을 공유할 수 있는 유일한 부분 집합이 A인 경우, A는 X의 개방형 연결 구성요소다. (X 자체가 빈 집합인 경우, 당국은 $\varnothing {\displaystyle \mathrm{}}$ ${\displaystyle \$$emptyeset$$},$∅ ${\displaystystyle$ \empt}, }의 여부에$$ 대해 서로 다르다.연결된$$ 구성 요소인지 여부$({\displaystyle \emptyset })$

위상학적으로 구별할 수 있는 점과의 관계

위상학적 공간 X에 따라 한 점이 속하지만 다른 점이 속하지 않는 오픈 세트가 존재하는 경우 두 점 x와 y를 위상학적으로 구별할 수 있다.x와 y를 위상학적으로 구별할 수 있는 경우 싱글톤 세트 {x}과(와) {y}이(가) 분리되어야 한다.반면 단골격 {x}과(와) {y}이(가) 분리되면 x와 y 점을 위상학적으로 구분할 수 있어야 한다.따라서 단골격의 경우 위상학적 구별성은 분리성과 분리성 사이의 조건이다.

인용구

원천