오픈세트

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수학에서 열린집합(open set)은 실선에서의 열린 구간을 일반화한 것입니다.

미터법 공간(임의 두 점 사이에 정의된 거리와 함께 집합)에서 열린 집합은 모든 점 P와 함께 P에 충분히 가까운 모든 점(즉, P에 따라 P와의 거리가 일부 값보다 작은 모든 점)을 포함하는 집합입니다.

더 일반적으로, 열린 집합은 주어진 집합의 부분 집합의 주어진 집합의 집합의 집합이며, 집합의 모든 결합, 집합의 모든 유한한 교집합, 빈 집합 및 집합 자체를 포함하는 속성을 갖는 집합입니다.그러한 집합이 주어진 집합을 위상 공간이라고 하고, 집합을 위상 공간이라고 합니다.이러한 조건은 매우 느슨하며 개방형 세트를 선택할 때 엄청난 유연성을 허용합니다.예를 들어, 모든 부분 집합은 열려 있거나(불연속 토폴로지), 공간 자체와 빈 집합(불연속 토폴로지)을 제외한 부분 집합은 열려 있지 않을 수 있습니다.^[1]

그러나 실제로, 오픈 세트는 일반적으로 거리 개념을 정의하지 않고 미터법 공간과 유사한 근접성 개념을 제공하기 위해 선택됩니다.특히, 토폴로지는 원래 거리를 통해 정의된 연속성, 연결성 및 압축성과 같은 속성을 정의할 수 있습니다.

거리가 없는 위상의 가장 일반적인 경우는 각 점 근처에서 유클리드 공간의 열린 집합과 유사하지만 일반적으로 거리가 정의되지 않는 위상 공간인 다양체에 의해 주어집니다.수학의 다른 분야에서는 덜 직관적인 위상이 사용됩니다. 예를 들어 대수기하학과 스킴 이론에서 기본적인 자리스키 위상입니다.

동기

직관적으로, 열린 집합은 두 점을 구별할 수 있는 방법을 제공합니다.예를 들어 위상 공간에 있는 두 점 중 하나 정도가 다른(고유의) 점을 포함하지 않는 열린 집합이 존재하는 경우 두 점을 위상적으로 구별할 수 있다고 합니다.이런 식으로, 사람은 거리를 구체적으로 정의하지 않고 위상 공간의 두 점 또는 더 일반적으로 두 부분 집합이 "근접"인지 여부를 말할 수 있습니다.따라서 위상공간은 거리의 개념을 갖춘 공간을 일반화한 것으로 볼 수 있는데, 이를 미터법 공간이라고 합니다.

모든 실수의 집합에서 자연 유클리드 미터법, 즉 두 실수 사이의 거리를 측정하는 함수 d(x, y) = x - y. 따라서 실수 x가 주어지면 그 실수에 가까운 모든 점들의 집합, 즉 x의 ε 내에서 말할 수 있습니다. 본질적으로,x의 ε 내에 있는 점들은 x를 정도 ε의 정확도에 근사합니다.ε > 0이지만 ε이 점점 작아지면 x에 가까운 점을 점점 더 높은 정확도로 얻을 수 있습니다.예를 들어, x = 0이고 ε = 1인 경우 x의 ε 내에 있는 점은 정확히 구간(-1, 1)의 점, 즉 -1과 1 사이의 모든 실수의 집합입니다.그러나 ε = 0.5인 경우 x의 ε 내에 있는 점은 정확히 (-0.5, 0.5)의 점입니다.분명히 이러한 점들은 ε = 1일 때보다 x에 더 큰 정확도로 근사합니다.

앞의 논의에서는 사례 x = 0의 경우 ε를 점점 더 작게 정의하여 x에서 더 높은 정확도로 근사화할 수 있음을 보여줍니다.특히 (- ε, ε) 형태의 집합은 x = 0에 가까운 점에 대한 많은 정보를 제공합니다.따라서, 구체적인 유클리드 메트릭에 대해 말하는 것보다 x에 가까운 점을 설명하기 위해 집합을 사용할 수 있습니다.이 혁신적인 아이디어는 광범위한 결과를 가져옵니다. 특히 0을 포함하는 집합의 다른 집합을 정의함으로써 0과 다른 실수 사이의 거리에 대한 다른 결과를 찾을 수 있습니다.예를 들어, R을 "거리 측정"을 위한 유일한 집합으로 정의한다면, 대략 0에서 얻을 수 있는 정확도는 R의 멤버라는 단 하나뿐이므로 모든 점은 0에 가깝습니다.따라서 어떤 의미에서는 모든 실수가 0에서 0으로 떨어진 거리라는 것을 알게 됩니다.이 경우 측도가 이진 조건이라고 생각하는 것이 도움이 될 수 있습니다. R에 있는 모든 것은 동일하게 0에 가깝고 R에 없는 항목은 0에 가깝지 않습니다.

일반적으로, 하나는 0을 포함하는 집합들의 패밀리를 가리키며, 이 인접 베이스의 멤버를 열린 집합이라고 합니다.사실, 사람들은 이 개념들을 실수가 아닌 임의의 집합(X)으로 일반화할 수 있습니다.이 경우, 그 집합의 점 (x)가 주어지면, x의 근사에 사용되는 집합 "주변" (즉, 포함) x의 집합을 정의할 수 있습니다. 물론, 이 집합은 어떤 성질 (공리학이라고 함)을 만족시켜야 할 것입니다. 그렇지 않으면 거리를 측정할 수 있는 잘 정의된 방법이 없을 수 있기 때문입니다.예를 들어, X의 모든 점은 어느 정도의 정확도로 x에 근사해야 합니다.따라서 X는 이 과에 속해야 합니다.일단 x를 포함하는 "작은" 집합을 정의하기 시작하면 x를 더 큰 정확도로 근사화하는 경향이 있습니다.이 점을 염두에 두고, x에 대한 집합들의 패밀리가 만족해야 하는 나머지 공리들을 정의할 수 있습니다.

정의들

여기에는 몇 가지 정의가 기술성의 증가 순서로 제시되어 있습니다.각각은 다음 경우의 특별한 경우입니다.

유클리드 공간

$유클리드$ $n-공간$ $R$의 부분 $집합$ U {\displaystyle $U}$는, U$$${\$displaystyle U$}$의 모든 점 x에 대하여$,$ (x에 따라) 양의 실수 ε이 존재하여, x로부터 유클리드 거리가 ε보다 작은 R의 모든 점이 $U$ ${\displaystyle U}$에 속한다면 열려 있습니다$.$ 이와 동등하게, $U$의 모든 점이 U에 속한다면,$R$의 $부분$ 집합 U {\displaystyle $U}$는 열려 있습니다.$$${\$$displaystyle U}$은${\displaystyle (}$는) $U$에 포함된 열린 공의 $중심$입니다. {\displaystyle $U.}$

0 - ε 또는 1 + ε 모두 0보다 작은 ε에 대해 [0,1]에 속하지 않으므로 개방되지 않은 R의 부분 집합의 예는 [0,1] 구간입니다.

미터법 공간

만약 U의 임의의 점 x에 대하여, d(x, y) < ε를 만족시키는 $임의$의 점 y${\displaystyle }$∈ ${\displaystyle M}${\$displaystyle$ y$\in$ M$}$이 U에 속하도록 실수 ε > 0이 존재한다면, 메트릭 공간 (M, d)의 부분 집합 U를 open이라고 합니다. 이와 동등하게, U의 모든 점이 U에 포함된 이웃을 가지면 U는 open입니다.

유클리드 거리가 있는 유클리드 공간은 미터법 공간이기 때문에, 이것은 유클리드 공간 예제를 일반화합니다.

위상공간

집합 X의 위상 τ ${\displaystyle \tau$}은$($는) 아래 속성을 가진 X의 부분 집합입니다.τ ${\displaystyle$ \$tau$}의$$각 멤버를 열린 집합이라고 합니다.

• ${\displaystyle X}$ ∈ ${\displaystyle \tau }$ ${\displaystyle X\in \tau$ ∈ τ ${\displaystyle \varnothing \in \tau}$
• ${\displaystyle \tau }$ τ의 모든 집합 조합이 ${\displaystyle \tau }$ τ에 속합니다$.$ {${\displaystyle {Ui}_{}}$ :${\displaystyle {}_{}i}$ ∈ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \}}$ ⊆ τ ${\displaystyle \left\{$$U_{i}:i\in I\right\}\subseteq \tau }$ 그러면$$
  $${\displaystyle \bigcup _{i\in I}U_{i}\in \tau }$$

  
• ${\displaystyle \tau }$ τ의 모든 집합의 유한 교차점은 ${\displaystyle \tau }$ τ에 속합니다$.$ $U$가 ${\displaystyle 1_{}}$ ,${\displaystyle }$…,${\displaystyle U_{}}$가 ${\displaystyle U_{1},\ldots, U_{n}\in \tau }$인 경우
  $${\displaystyle U_{1}\cap \cdots \cap U_{n}\in \tau }$$

  

τ ${\displaystyle$ \$tau$}과$($와) 함께 X를 위상 공간이라고 합니다.

열린 집합의 무한 교차점은 열려 있을 필요가 없습니다.예를 들어$,{\displaystyle }$ ${\displaystyle n}$이(가$$${\displaystyle )}$ 양의 정수인 ${\displaystyle \left(-1/n,1/n\right)}$형식의 모든 간격의 교점은 $\{{\displaystyle 0\}}$ 집합 ${\displaystyle \{0\}$이며 실제$$ 줄에서 열려 있지 않습니다.

메트릭 공간은 위상 공간으로, 위상은 열린 공의 결합인 모든 부분 집합의 집합으로 구성됩니다.그러나 미터법 공간이 아닌 위상 공간이 있습니다.

특수 유형의 오픈 세트

열린 집합 및 비열린 집합 및/또는 비닫힌 집합

집합이 열리거나 닫히거나 둘 다일 수도 있고 둘 다일 수도 있고 둘 다일 수도 있습니다.특히, 열린 집합과 닫힌 집합은 상호 배타적이지 않으며, 이는 일반적으로 위상 공간의 부분 집합이 열린 부분 집합과 닫힌 부분 집합이 동시에 되는 것이 가능하다는 것을 의미합니다.이러한 부분 집합을 클로닝 집합이라고 합니다.명시적으로, $위상$$$공간$$($X$, τ) ${\$displaystyle (${\displaystyle X}$$,\tau)}$의 부분 집합 $S$ ${\displaystyle ($X,\tau)}와 그 보 $X$ ∖ S ${\displaystyle X\setminus S}$가 모두 $({\displaystyle X,}$ τ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X,\tau)}$의 열린 부분 집합이거나$,$ $S$가 ${\displaystyle$ S$\in \tau }$와 $X$ ∖ ${\displaystyle S}$ ∈ τ인 경우${\displaystyle ,}$ {\displaystyle X\setmi}를 clopen이라고 합니다.$$${\displaystyle X\setmi$$nus S\in \tau.}$

위상 공간$({\displaystyle X,}$ τ${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle(X,\tau),}$ 빈 집합 ∅ ${\displaystyle \varnothing}$ 및 집합 $X$ ${\displaystyle X}$ 자체는 항상 열려 있습니다.이 두 집합은 가장 잘 알려진 닫힌 부분 집합의 예이며 모든 위상 공간에 닫힌 부분 집합이 존재함을 보여줍니다.$X$ ${\displaystyle X}$이(가) 열린 이유를 확인하려면 먼저 $집합$ X$${\$displaystyle X}$ 및$$∅$${\$displaystyle \varnothing}$이(가) 정의에 따라 항상 열려 있는 $부분$집합입니다($X$ {\displaystyle $X}$의).또한 정의에 따라 집합 ${\displaystyle X}$ ∖ S, {\displaystyle $X,}$의 보어인 $X$${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X\$setminus S,}$이(가) 열린 부분 집합일 경우에는 부분 집합 $S$ ${\displaystyle S}$를 닫힘이라고 합니다.전체 집합 $S$:= ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle X}$의 보어$(X$ ${\$$displaystyle$S:=$X})$는 빈 집합(${\displaystyle 즉}$, X ∖ S = ∅ ${\displaystyle X\setminus$ S=\$varnothing})$이므로, $S$ = ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ S=$X}$는 X ${\displaystyle$ X$}("$닫힌 부분 집합"의 정의에 따라)의 $닫힌$ 부분 집합임을 의미합니다.따라서 $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle X}$ 위에 어떤 토폴로지를 놓든 ${\displaystyle$ $X$$}$ 전체 $공간$은 열린 부분 집합이면서 $동시$에 X ${\displaystyle$ $X$$}$의 닫힌 부분 집합입니다$.$ 달리 말하면, $X$ ${\displaystyle$ X$}$는 항상 $X$의 열린 부분 집합입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ $X$$}$ 빈 집합의 여집합은 $X$ ∖ ∅ = ${\displaystyle X}$이므로${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X열린 부분 집합인 $\setminus \varnothing$ $=$ $X,}$도 같은 추론을 사용하여 $S$ :$=$$$$∅$ {\$displaystyle$S:$=$\$varnothing}$도 $X$의 열린 부분 집합이라고 결론지을 수 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$

열린 집합이 다음과 같이 정의되는 유클리드 위상수학이 부여된 $실수선$ R$${\$displaystyle \mathbb {R}}$을 생각해 보자: 실수의 모든 구간$$(${\displaystyle a,b}$)$${\$displaystyle (a,$ b$)}$은 위상수학에 속하고, 그러한 구간의 모든 합,${\displaystyle 예}$를${\displaystyle \mathrm{들어}}$(a${\displaystyle ,}$ b$)$∪${\displaystyle }$(${\displaystyle c,}$d), {\$displaystyle$ (a,$b)\cup$ (c$,$ d),}은 위상수학에 속하고,항상 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$ 및 ∅ ${\displaystyle \varnothing}$ 모두 토폴로지에 속합니다.

• 구간 $I$ =${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1)}$ ${\displaystyle$I = ($0, 1)}$은(는) 유클리드 위상에 속하므로 $R$ ${\displaystyle \mathbb {R}}$에서 열려 있습니다.$I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$이(가) 열린 보어를 가지면$$ I ${\displaystyle I}$이(가) 닫혔다는 것을 의미합니다.그러나 $I$ ${\displaystyle I}$은(는) 열린 보어를 가지고 있지 않습니다. 그 보어는 $R$ ∖ ${\displaystyle I}$ = (${\displaystyle }$-${\displaystyle }$∞${\displaystyle ,}$ 0 ]${\displaystyle }$∪${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1,}$ ∞${\displaystyle \mathbb {R} \setminus$I = (-\$infty,0]\cup [1,\infty],$ 이는 형식$$(${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle )}$의 열린 구간의 합이 아니기 때문에 유클리드 위상에 속하지 않습니다$.${\$displaystyle (a,b$).$}$따라서$$ $I{\displaystyle }$ ${\displaystyle I}$은(는) 열려 있지만 닫히지 않는 집합의 예입니다.
• 비슷한 인수로 구간 $J$ =${\displaystyle }$[${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1}$] ${\displaystyle$J = [$0,1]}$은(는) 닫힌 부분 집합이지만 열린 부분 집합이 아닙니다.
• 마지막으로, $K$ =${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1]}$ ${\displaystyle$K = [ $0,$ 1$]}$과 그 보 $R$ ∖ ${\displaystyle K}$ = (${\displaystyle }$-${\displaystyle }$∞${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle 0)}$ ∪${\displaystyle }$[ ${\displaystyle 1,}$ ∞${\displaystyle ]}$ ${\displaystyle \mathbb {R} \setminus$K = (-\$infty, 0)\cup [1,\infty ]}$은 유클리드 위상에 속하지 않으므로(형식$$(${\displaystyle a,}$ b${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (a,b)})$$K{\displaystyle }$ ${\displaystyle K}$이(가) 열려 있지도 닫히지도 않음을 의미합니다.

위상 공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 이산 위상이 부여된 경우$(정의상$ X {\$displaystyle$ X}의 모든 부분 집합이 열려$$ 있음) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 모든 부분 집합은 열린$$ 부분 집합입니다.이산 토폴로지를 연상시키는 더 고급 예를 위해 $U$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}$가 비어 있지 않은 집합 $X$의 울트라 필터라고 가정합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle$ X$.}$ 그런 다음 유니언 τ${\displaystyle }$:= ${\displaystyle U}$ ∪${\displaystyle }${∅ } ${\displaystyle$\tau :={\$mathcal {U}}\cup \{\varnothing \}$는 비어 있지 않은 모든 적절한 부분군의 속성을 가진 $X$ ${\displaystyle X}$의 토폴로지입니다.$X$ ${\displaystyle X}$의 $et$ S ${\displaystyle S}$는 열린 부분 집합이거나 닫힌 부분 집합이거나 둘 다 아닙니다. 즉, ∅ ≠ ${\displaystyle S}$가 X ${\displaystyle \varnothing \neq$ S$\subsetneq X}($여기서 $S$는 ${\displaystyle X}$ ≠$${\$displaystyle S\neq$ X$\})$를 ⊊하면 다음 두 문장 중 하나만 참입니다. (1) $S$ ∈ τ ${\displaystyle S\in \tau }$ 또는 (2) $X$ ∖ ${\displaystyle S}$ ∈ τ입니다${\displaystyle .}$ ${\d$$isplaystyle X\setminus S\in \tau.}$ 다르게 말하면, 모든 부분 집합은 열리거나 닫히지만 둘 다(즉, 닫힌) 유일한 부분 집합은 $∅$ ${\displaystyle \varnothing}$과 $X$입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$

정규 오픈 세트

위상 공간 $X$ ${\displaystyle X}$의 부분 $집합$ S ${\displaystyle S}$는 ${\displaystyle \mathrm{Int}}$⁡$($ ¯${\displaystyle )}$= ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Int}$ \$left$ ({\$overline {S}\right)$일 경우 정규 열린 집합이라고 합니다.$=$${\displaystyle S}$$}$ 또는 이와 동등하게, 만일 ${\displaystyle \mathrm{Bd}}$ $⁡$${\displaystyle }$(${\displaystyle S}$ $¯$)${\displaystyle \stackrel{}{}}$$=$$$$Bd$ $⁡$$$${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left$ $({$\$overline {S}\right$) $=$\$operatorname {Bd} S$$}$이고${\displaystyle ,}$ $여기$서 Bd$$$⁡$ S {\$displaystyle$\${\displaystyle \mathrm{operatorname}}$${Bd$${\displaystyle \stackrel{}{\}}}$ S, $Int$ $⁡$ S ${\displaystyle$ \$operatorname$${Int}$ S$,$ S $¯$ ${\displaystyle$ {\overline ${S}}$는 각각 S의$$위상 $경계$, 내부 및 폐쇄를 나타냅니다.$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에서$\displaystyle$ S$\}.$ 규칙적인 열린 집합들로 이루어진 기저가 존재하는 위상 공간을 반규칙 공간이라고 합니다.$X$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합은 X ${\displaystyle X}$의 보어가 정규 닫힌 집합인 경우에만 정규 열린 집합입니다. 정의에 따라 $X$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $S$ ${\displaystyle S}$를 정규 닫힌 집합이라고 합니다. 만약 ${\displaystyle \stackrel{}{\mathrm{Int}}}$ ⁡ S = S ${\overline {\operatorname {Int}$ S} = S$} 또는$ 이와 동등하게 ${\displaystyle \mathrm{Bd}}$ ⁡(${\displaystyle \mathrm{Int}}$ ⁡ ${\displaystyle S}$ )${\displaystyle }$= ${\displaystyle \mathrm{Bd}}$인 경우입니다.${\displaystyle S.}$ ${\displaystyle \operatorname {Bd} \left(\operatorname {Int} S\right$)${\displaystyle =}$\$operatorname {Bd}$ S$.} 모든$ 정규 열린 집합(resp. 정규 닫힌 집합)은 열린 부분 집합(resp.는 닫힌 부분 집합)이지만 일반적으로 변환이 참이 아닙니다.

특성.

임의 수의 열린 집합 또는 무한히 많은 열린 집합의 결합이 열려 있습니다.^[4]유한 개의 열린 집합의 교집합이 열려 있습니다.^[4]

(위상도가 정의된 공간에 상대적인) 열린 집합의 여집합을 닫힌 집합이라고 합니다.집합은 열려 있을 수도 있고 닫힐 수도 있습니다(닫혀 있는 집합).빈 집합과 전체 공간은 열린 집합과 닫힌 집합의 예입니다.^[5]

사용하다

오픈 세트는 토폴로지에서 기본적인 중요성을 갖습니다.이 개념은 메트릭 공간, 균일 공간과 같은 공간에 대한 근접성 및 수렴성 개념을 다루는 위상 공간 및 기타 위상 구조를 정의하고 이해하는 데 필요합니다.

위상 공간 X의 모든 부분 집합 A는 (아마도 비어있는) 열린 집합을 포함합니다. 이러한 열린 집합의 최대(포함 하에 순서화됨)를 A의 내부라고 합니다.A에 포함된 모든 오픈 세트의 조합을 취하여 구성할 수 있습니다.^[6]

$Y$ ${\displaystyle Y$$}$에 있는 모든 열린 집합의 이전 이미지가 $X$에서 열려 있으면 두 위상 공간 $X$ ${\displaystyle X}$와 $Y$ ${\displaystyle Y}$ 사이의 ${\displaystyle \mathrm{함수}}$ $:X\to Y}$는 연속입니다.${\displaystyle$ $X$$}$에 있는 모든 열린 집합의 이미지가 열려 있으면 함수${\displaystyle f:X}$ → Y {\$displaystyle f:$X\$to$ Y$}$가 열려 있습니다.$Y{\displaystyle }$.${\displaystyle Y.}$

실제 선의 열린 집합은 서로소 열린 구간의 카운트 가능한 결합이라는 특성을 갖습니다.

주의사항 및 주의사항

"Open"은 특정 토폴로지에 대해 정의됩니다.

집합이 열려 있는지 여부는 고려 중인 토폴로지에 따라 달라집니다.더 명확한 것보다 더 간결한 것을 선택한 우리는 모든 위상 데이터가$$τ에 포함되어 있음에도 불구하고 위상 τ {\displaystyle $\tau }$가 부여된 집합 X를 "위상 공간$$(${\displaystyle X,}$ τ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X,\tau }"$이 아닌 "위상 공간 X"라고 말합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \tau .}$ 두 개의 위상이 t에 있는 경우동일한 집합, 첫 번째 토폴로지에서 열려 있는 집합 U가 두 번째 토폴로지에서 열려 있지 않을 수 있습니다.예를 들어, X가 임의의 위상 공간이고 Y가 X의 임의의 부분 집합이면 집합 Y는 "집합 U가 X의 원래 위상에서 열린 집합과 Y의 교집합인 경우에만 Y의 부분 공간 위상에서 열린 상태"로 정의된 자신의 위상('부분 공간 위상'이라고 함)을 부여할 수 있습니다.^[8]이로 인해 X의 원래 토폴로지에서는 V가 열려 있지만 X의 $원래$ 토폴로지에서는 V ∩$$Y {\$displaystyle$ V\$cap Y}$이(가) 열려 있지 않은 경우 V ∩ ${\displaystyle Y}${\$displaystyle V\cap$ Y$}$이(가) Y의 하위 공간 토폴로지에서 열려 있습니다.

이것의 구체적인 예로서, U가 구간${\displaystyle }$(${\displaystyle 0,}$ ${\displaystyle 1),}$ ${\displaystyle (0, 1),}$에서 유리수의 집합으로 정의된다면, U는 유리수의 열린 부분집합이지만 실수의 부분집합은 아닙니다.이것은 주변 공간이 유리수일 때, U에 있는 모든 점 x에 대하여, x의 거리 a 내에 있는 모든 유리점들이 U에 있는 양수 a가 존재하기 때문입니다. 반면에 주변 공간이 실수일 때,그러면 U에 있는 모든 점 x에 대해 x의 거리 a 내에 있는 모든 실제 점이 U에 있는 양의 a는 없습니다(U는 비이성적인 수를 포함하지 않기 때문입니다).

오픈 세트의 일반화

전체적으로$$(${\displaystyle X,}$ τ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle (X,\tau )}$은(는) 위상 공간이 됩니다.

위상 공간 $X$ ${\displaystyle X}$의 부분 집합 $A$ ⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A\subseteq X}$를 다음과 같이 부릅니다.

• ${\displaystyle {\mathrm{int}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⊆의 $A$가 ⁡하면 α-open이며$({\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ ${\displaystyle ({\mathrm{int}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ ${\displaystyle A))}$ ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int}$ _${X}\left(\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int}$ $_{X}A\right)\right)}.$
• 다음과 같은 동등한 조건 중 하나를 만족하는 경우 사전개방, 거의 개방 또는 국부적으로 조밀합니다.
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)}$^[10]
  2. $U$ ${\displaystyle U}$이(가) $X{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle$ X$,}$ $D$에 열려 있는 부분 집합 D${\displaystyle ,}$ ${\displaystyle U}$ ⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle$ $D$$,U\subseteq X}$이$($가) $있습니다$.${\displaystyle }$${\displaystyle$ X$,}$ 및 $A$ = ${\displaystyle U}$ ∩ ${\displaystyle D}$의 조밀 부분 $집합$입니다. ${\displaystyle$A=$U\cap$ D$.}$
  3. $A{\displaystyle }${\$displaystyle$$A$$}$이(가$$) $U{\displaystyle }$ {\displaystyle U}의 조밀한 부분 집합인 열려 ${\displaystyle \mathrm{있는}(}$$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle U\subseteq X}$이(가$)$ 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle U}$

  프리오픈 집합의 여집합을 프리클로즈드(preclosed)라고 합니다.

• ⊆${\displaystyle {int}_{}}$ X ⁡${\displaystyle }$($cl{\displaystyle }$X ⁡${\displaystyle {}_{}A}$ )${\displaystyle }$∪${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ ${\displaystyle (\mathrm{int}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ A )${\displaystyle$A$~\subseteq ~\operatorname {int}$ _${X}\left(\operatorname {cl}$ _${X}A\right)$ ~\$cup ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int$ _${X}A\right)}.$b-open set의 여집합을 b-closed라고 합니다.^[9]
• 다음과 같은 동등한 조건을 만족하는 경우 β-open 또는 semi-preopen.
  1. ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl} _{X}\left(\operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}A\right)\right)}$^[9]
  2. ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}A}$은(는) $X$의 정규 닫힌 부분 집합입니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle X.}$
  3. $U$ ⊆ ${\displaystyle A}$ ⊆ ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ U. ${\displaystyle X}$의 미리 열린 하위 집합 $U$ ${\displaystyle U}$이(가) 있습니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle U\subseteq A\subseteq \operatorname {cl} _{X}U.}$

  β-개방 집합의 보체를 β-폐쇄라고 합니다.

• 다음과 같은 동등한 조건을 만족하는 경우 순차적으로 열립니다.
  1. $X$ ${\displaystyle X}$의 시퀀스가 $A{\displaystyle ,}$ ${\displaystyle A}$의 특정 지점으로 수렴될 때마다 해당 시퀀스는 결국 $A$에${\displaystyle }$속합니다$.$ {\$displaystyle$A.} 명시적으로 이는 만약 $x$ ∙ = (${\displaystyle {}_{}^{}}$x ${\displaystyle {i_{}}_{}^{}}$ )${\displaystyle {{}_{}}_{}^{}}$ = ${\displaystyle 1_{}^{}}$ ∞ ${\displaystyle x_{\$bullet }=\$left(x_{i}\right)_{i$=$1}^{\infty }}$인 $경우$ X ${\displaystyle$ $X}$의 ${\displaystyle \mathrm{시퀀스}}$입니다.$e a\in A}$는$$(${\displaystyle X,}$$τ$${\displaystyle ),}$ ${\displaystyle$$x_{\$$bullet$}\$to x}$에서 x$$$∙$ $→$ x {\$displaystyle$ x_${\$$bullet$$}\$to x}이($가$) $A$${\$$displaystyle$ $x_${\$≥$}이(가) 존재하는 $정수$ i ${\displaystyle$ i$}($즉, $j$가 ${\displaystyle i,}$ ${\$${\displaystyle {displaystyle}_{}}$ j$\geq i,}$를 $∈$하면 x j가 A ${\displaystyle x_{j}\in A}$을(를) $∙$하는 정수 $i$ {\displaystyle x_{j}\in A})가 됩니다.
  2. ${\displaystyle A}$은(는$$) $정의상{\displaystyle }$집합인$$X, {\$displaystyle X}$의 순차적 내부와 동일합니다.

     ${\displaystyle {\begin{alignat}{4}\operatorname {SeqInt} _{X}A:&=\{a\in A~:~{\text{}}}a{\text{in }(X,\tau)},{\text{그러면 해당 시퀀스는 결국 }A\}\&=\{a\in A~:~{\text{}}X\setminusA{{{in }}(X,\tau ){\text{}}{A\}\\end{alignedat}}$

  순차적으로 열린 집합의 여집합을 순차적으로 닫힘이라고 합니다.부분${\displaystyle }$$집합$ S$$⊆ X {\$displaystyle$ S\$subseteq X}$은(는) S {\$displaystyle S}$이(가) 해당 순차적 닫힘과 동일한 $경우$에만$$X {\$displaystyle$ X$}$에서 순차적으로 닫힙니다.정의에 따라 S {\${\displaystyle {\mathrm{displaystyle}}_{}}$ x$}($X {\displaystyle $X})$에 $x$ ${\displaystyle x}($$X$ ${\$$displaystyle$ X})로 수렴되는 시퀀스가 존재하는 $모든$ $x$ ∈ ${\displaystyle X}$ ${\$$displaystyle$ $x\in X}($X ${\$$displaystyle$ X})로 구성된 $집합$ SeqCl ${\displaystyle X_{}}$⁡ ${\displaystyle S}$ ${\$displaystyle x\in $X}$입니다.

• $A$ △ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle A\bigtriangleup$ U$}$와 같이 열린 부분 집합 $U$ ⊆ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$이(가) 존재하면 거의 열려 있으며 Baire 속성을 갖는다고 합니다. 여기서 △ ${\displaystyle \bigtriangleup }$은(는) 대칭 차이를 나타냅니다.
  • 부분 집합 ${\displaystyle A}$ ⊆ X ${\displaystyle A\subseteq X}$은(는) $X$ ${\displaystyle X}$의 모든 $부분$ 집합 ${\displaystyle E}$$${\$displaystyle$ $E}$에 대해 $E${\$displaystyle$ A\$cap$ $E$$}$과(와$)$ 관련된 Baire 속성을 갖는 경우 제한된 의미에서 Baire 속성을 갖는다고 합니다$.$
• ${\displaystyle A_{}}$ ⊆ ${\displaystyle {\mathrm{cl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$⁡가 ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname {cl$ $_{X}\left(\operatorname {int} _{X}A\right)}$인 경우 반열림.반열림 집합의 $X$ ${\displaystyle X}$의 보어를 반닫힘 집합이라고 합니다.^[13]
  • ${\displaystyle {\mathrm{sCl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ ${\displaystyle A}$로${\displaystyle }$표시되는 부분 $집합$ A ⊆ $X$$,$ ${\displaystyle$ A\subseteq X$,}$의$$반닫힘$(X$ {\$displaystyle$ A$\subseteq X,})$은 ${\displaystyle A}$을(를) 부분 집합으로 포함하는 $X$ ${\displaystyle X}$의 모든 반닫힘 부분 집합의 교집합입니다.
• 각 $x개$의${\displaystyle }$∈에$$대해 {\$displaystyle$x\$in$$}$ X {\$displaystyle$ X$}$의 일부 반열린 부분 $집합$ U$${\$displaystyle U}$가 존재하여 $x개$의 ∈ ${\displaystyle U}$가 ${\displaystyle {\mathrm{sCl}}_{}}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ U ⊆ ${\displaystyle A}$를 ⊆합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle x\in U\subseteq \operatorname {sCl} _{X}U\subseteq$ A$.}$
• θ열린X ${\displaystyle$ X$}$의 보어가 θ 닫힘인 경우 δ-open).δ-closed) 집합(정의상 X ${\displaystyle$ X$}$의 $부분$ 집합을 θ-closed(resp)라고 합니다.모든 θ 클러스터 포인트의 집합과 동일한 경우 δ-closed).δ-클러스터 포인트).∈${\displaystyle }$${\displaystyle x$$\$in X}을$($를) 하위 집합 B ∩ X {\$displaystyle$ x\$in$$X}$의 θ${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle$ U}에$$대해 X, {\displaystyle x},$${\displaystyle X,}의 열린 모든 $이웃$에 대해 B ⊆ CL$$ ⁡ ${\displaystyle U_{}}$ ${\displaystyle$ B$\operatorname$ {cl$}_{X}이($ 비어 있지 않으면 X δ${\displaystyle }$X {\${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ B\operatorname {cl}_{X}U$}$을$($를) 하위 집합 B $클러스터$ $점$(를$)$이라고 합니다.${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}t}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle (c_{}l}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡ ${\displaystyle U)}$ ${\displaystyle B\cap \operatorname {int} _{X}\left(\operatorname {cl} _{X}U\right}}$이(가) 비어 있지 않습니다.

그 사실을 이용해서

${\displaystyle }$ X ${\displaystyle {}_{}{A}_{}}$ ⊆ ${\displaystyle cl}$ ${\displaystyle X_{}}$ ⁡${\displaystyle {}_{}}$${\displaystyle B_{}}$ ${\displaystyle A~\subseteq ~\operatorname$ {$} _{X}A~\subseteq ~\operatorname$ {cl$} _{X}B} 및$ ${\displaystyle {\mathrm{in}}_{}}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle }$${\displaystyle {}_{}}$A ⊆ ${\displaystyle \mathrm{in}}$${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{}}$ ${\displaystyle }$${\displaystyle }$B $⊆$ {\$displaystyle$ \$operatorname$ {$} _{X}A~\subseteq ~\operatorname$ {int}$_{X}B~\subseteq$ ~$B}$

두 부분 집합 ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle B}$ ⊆ X ${\displaystyle A,B\subseteq X}$가 $A$ ⊆ ${\displaystyle B,}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$를 만족할 때마다 다음을 추론할 수 있습니다.

• 모든 α-open 서브셋은 반-open, 반-preopen, preopen 및 b-open입니다.
• 모든 b-open 세트는 반-프리오픈(즉, β-open)입니다.
• 모든 프리오픈 세트는 비오픈과 세미 프리오픈입니다.
• 모든 세미 오픈 세트는 비 오픈과 세미 프리 오픈입니다.

또한 부분 집합은 미리 열려 있고 반닫혀 있는 경우에만 정규 열린 집합입니다.^[10]α-오픈 세트와 세미-프리오픈(semi-open, pre-open, b-open) 세트의 교차점은 세미-프리오픈(semi-open, pre-open, b-open) 세트입니다.^[10]미리 열기 세트는 반열린 상태일 필요가 없고 반열린 상태의 세트는 미리 열기 세트는 미리 열 필요가 없습니다.^[10]

preopen의 임의 조합(resp).α-open, b-open, semi-preopen) 집합이 다시 한 번 프리오픈됩니다(resp.α-open, b-open, semi-preopen).^[10]그러나 사전개방 집합의 유한 교차점은 사전개방될 필요가 없습니다.^[13]공간$({\displaystyle X,}$ τ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle(X,\tau )}$의 모든 α-open 부분 집합 집합은 $X$ ${\displaystyle X}$에서 τ보다 더 세밀한 토폴로지를 형성합니다${\displaystyle .}$ ${\displaystyle \tau .}$

$위상$ 공간 $X$ ${\displaystyle X}$은(는) X ${\displaystyle X}$의 모든 콤팩트 부분 공간이 θ 닫혀 있는 경우에만 하우스도르프입니다.공간 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$은(는) 모든 정규 닫힌 부분 집합이 미리 열려 있거나 또는 이와 동등한 경우에만, 모든 반 열린 부분 집합이 미리 열려 있는 경우에만 완전히 연결이 끊어집니다$$.또한, 모든 프리오픈 서브셋의 클로즈가 열려 있는 경우에만 공간이 완전히 단절됩니다.^[9]

참고 항목

• 거의 열린 맵 – 열린 맵과 유사한 조건을 만족하는 맵입니다.
• 기본(토폴로지) – 토폴로지를 정의하는 데 사용되는 열린 세트 모음
• Clopen set – 열린 부분 집합과 닫힌 부분 집합
• 닫힌집합 – 열린 부분집합의 상보
• 도메인(수학적 분석) – 위상 공간의 연결된 열린 부분 집합
• 국소 동형 – 각 점 근처에서 수학적 함수를 되돌릴 수 있음
• 지도 열기 – 열려 있는(닫혀 있는) 하위 집합을 열려 있는(닫혀 있는) 하위 집합으로 보내는 기능 리디렉션 대상에 대한 간단한 설명을 표시하는 페이지
• 하위 기반 – 토폴로지를 생성하는 하위 집합 모음

메모들

참고문헌

서지학

• Hart, Klaas (2004). Encyclopedia of general topology. Amsterdam Boston: Elsevier/North-Holland. ISBN 0-444-50355-2. OCLC 162131277.
• Hart, Klaas Pieter; Nagata, Jun-iti; Vaughan, Jerry E. (2004). Encyclopedia of general topology. Elsevier. ISBN 978-0-444-50355-8.
• Munkres, James R. (2000). Topology (Second ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall, Inc. ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260.

외부 링크

• "Open set", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]