압류 연산자

토폴로지에서, 프리클로저 연산자 또는 체치 폐쇄 연산자는 위상학적 폐쇄 연산자와 유사하게 집합의 하위 집합 사이의 지도로서, 공차(idempotent)가 필요하지 않다는 점을 제외한다. 즉, 비공개 운영자는 쿠라토프스키 폐쇄 공리 4개 중 3개만 준수한다.

정의

세트 $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$의 프리클로저 연산자는 지도${\displaystyle }$[ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이다.

${\displaystyle [\quad ]_{p}:{\mathcal {P}(X)\to {\mathcal {P}(X)}$

여기서 $P{\displaystyle \mathcal{}}$( ${\displaystyle X}$) ${\displaystyle {\mathcal {P}(X)}$은(는) $X{\displaystyle }$ ${\displaystyle$ X$}$의 전원 집합이다$.$

압류 운영자는 다음 특성을 충족해야 한다.

1. ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle \varnothing }$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$= ${\displaystyle \varnothing }$ ${\$무효조합 보존);
2. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \subseteq }$ [ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$확장성);
3. ${\displaystyle [}$ ${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle \cup }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$ p${\displaystyle {}_{}}$=${\displaystyle }$[ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$[ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle p_{}}$ ${\$이진 조합의 보존).

마지막 공리는 다음을 내포한다.

4. ${\displaystyle \subseteq }$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A\subseteq B}$은$({\displaystyle }$는) [${\displaystyle A_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$p ${\displaystyle {}_{}}$ [${\displaystyle B}$ ${\displaystyle p_{}}$ {\$displaystyle [A]_{p}\subseteq [B]_{p}}}}}}}$을(를) 의미한다$.$

위상

A set ${\displaystyle A}$ is closed (with respect to the preclosure) if ${\displaystyle [A]_{p}=A}$. A set ${\displaystyle U\subset X}$ is open (with respect to the preclosure) if ${\displaystyle A=X\setminus U}$ is closed. 프리클로저 운영자에 의해 생성된 모든 오픈 세트의 수집은 토폴로지지만,^[1] 위 토폴로지는 운영자와 관련된 정합성의 개념을 포착하지 못하므로, 그 대신에 사전 포폴로지를 고려해야 한다.^[2]

예

프리메트릭스

$d{\displaystyle }$ ${\displaystyle d}$에 X ${\displaystyle X$의 사전$$ 측정값이 지정된 다음

${\displaystyle [A]_{p}=\{x\in X:d(x,A)=0\}}$

$X{\displaystyle }$ ${\displaystyle X}$에 대한 사전 폐쇄$.$

순차공간

순차 폐쇄 연산자${\displaystyle }$[ ${\displaystyle ]{}_{}}$ ${\displaystyle {\text{seq}}_{}}$ ${\$은(는) 사전 폐쇄 연산자다$$. 순차 폐쇄 연산자가 정의된 토폴로지$$ $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$이(가) 지정된 경우$,{\displaystyle }$ 위상 공간$({\displaystyle X}$, ${\displaystyle T}$) ${\displaystyle(X,$ {\$mathcal {T})$은 []에서${\displaystyle {}_{\text{생성}}}$된 토폴로지 T ${\displaystyle {\text{Seq}}_{}}$ ${\$에만 순차 공간이다.${\displaystyle {\text{q}}_{}}$ ${\$$seq$$}}}$은(는) $T{\displaystyle \mathcal{}}$ ${\$$mathcal$${T}}}$과$($는) 같으며$$, $즉{\displaystyle {\mathcal{}}_{}}$, ${\displaystyle {\text{Tseq}}_{}}$= ${\displaystyle T\mathcal{}}${\$displaystystyle {\t}_{\textq}={\mathcal$

참고 항목

• 에두아르트 체흐

참조

• A.V. 아칸겔스키, L.S.Pontryagin, General Topology I, (1990) Springer-Verlag, 베를린. ISBN3-540-18178-4.
• B. Banascheski, Bourbaki의 Fixpoint Remema Comment, Comment. 수학. 유니브. 카롤리나에 33 (1992), 303-309.