프리이미지 정리

수학에서, 특히 미분위상의 분야에서, 프리이미지 정리는 매끄러운 지도의 작용 아래 다지관의 특정 지점의 프리이미지에 관한 암묵적 함수 정리의 변형이다.^[1][2]

정리명세서

정의.$f{\displaystyle }$: ${\displaystyle X}$→ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$을(를) 다지관 사이의 매끄러운 지도가 되도록 한다$$.${\displaystyle \mathrm{우리}}$는 점 $y{\displaystyle }$ ∈${\displaystyle }$Y ${\displaystyle y\in Y$$}$이(${\displaystyle 가}$) $모든$ x ${\displaystyle \in }$ ${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}}$( y${\displaystyle }$) ${\displaystyle x\in$ f$^{-1(y$)} 지도 $d{\displaystyle }$ ${\displaystyle x_{}}$: ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$→ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle df_{x}:$$T_{x}X\to T_{Y}Y}$Y}은$$(는) 처절하다.여기서$$ T ${\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle T_{X}X$$}$ 및 ${\displaystyle {}_{}}$ $Y{\displaystyle {}_{}}$ ${\$$displaystyle T_$${Y}Y}$는 $x{\displaystyle }$ ${\displaystyle x}$ $및$ y ${\displaystyle y}$지점의 $접선$$$공간이다.

정리.Let ${\displaystyle f:X\to Y}$ be a smooth map, and let ${\displaystyle y\in Y}$ be a regular value of ${\displaystyle f}$. Then ${\displaystyle f^{-1}(y)}$ is a submanifold of ${\displaystyle X}$. If ${\displaystyle y\in {\text{im}}(f)}$, then the codimension${\displaystyle {\mathrm{f}}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}^{}}$y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ f$^{-1}(y)}$은(는) $Y{\displaystyle }$ ${\displaystyle Y}$의 치수와 동일하며$,$ x ${\displaystyle x}$에서 $f{\displaystyle {}^{}}$- 1${\displaystyle {}^{}y)}$ ${\displaysty$ $f^{-1}(y)$의 접선 공간은 $d_{x})$과 동일하다$.$

또한 이 정리에는 다음과 같은 복잡한 버전이 있다.^[3]

정리.}, Ym{\displaystyle Y^{m}}일 경우 복잡한 치수 n의 두개 있을 복잡한 manifolds;입니다 나이{\displaystyle n>입니다 나이}. g:X→ Y{\displaystyle g:X\to Y} 적인. 지도와 y∈ 나는(g){\displaystyle y\in{\text{나는}}(g)}자 그런 모든 계급(dg)))mXn{\displaystyle X^{n}자 {\di모든 $x{\displaystyle }$$style$ g -${\displaystyle 1^{}}$ y ) ${\$${\displaystyle \mathrm{displaystyle}}$ x$\in g^{-1}(y$에 대한$$ splaystyle ${\$$text$${rank$}(dg_${x}=m}).$그러면 $g{\displaystyle {}^{}}$- ${\displaystyle 1}$ (${\displaystyle {}^{}}$y${\displaystyle }$) ${\displaystyle$ g$^{-1}(y)}$은(는) 복잡한 ${\displaystyle \mathrm{치수}}$ $n{\displaystyle }$- m {\$displaystyle$$n-m$$}$의 X {\$displaystyle X}$의 복잡한 하위 관리본이다.

참조

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