포인트 문제

지분의 분할 문제라고도 하는 점의 문제는 확률론에서는 고전적인 문제다. 17세기 현대 확률론의 시초에 동기를 부여한 유명한 문제들 중 하나로, 그것은 Blaise Pascal을 오늘날 기대 가치로 알려진 것에 대한 첫 번째 노골적인 추론으로 이끌었다.

문제는 각 라운드에서 승산이 같은 두 선수의 기회의 승부에 관한 것이다. 선수들은 똑같이 경품용 냄비에 기여하고, 일정 회차 수상을 한 첫 선수가 전체 경품을 받는다는 것에 미리 동의한다. 이제 두 선수 중 어느 한 선수가 승리를 거두기 전에 외부 상황에 의해 경기가 중단된다고 가정해보자. 그렇다면 어떻게 공평하게 냄비를 나눌 수 있을까? 우승에 가까운 선수가 솥뚜껑의 큰 부분을 차지하도록 선수별 라운드 수에 어떻게든 구분이 좌우돼야 한다는 것이 묵시적으로 이해된다. 그러나 문제는 단순한 계산의 하나가 아니라 "공정" 구분이 실제로 무엇인지 결정하는 것도 포함한다.

초기 솔루션

루카 파치올리는 1494년 교과서인 서마 데 산술, 기하학, 비례 등에서 이런 문제를 고려했다. 선수별 라운드 수에 비례해 판돈을 나누는 방식이었고, 우승에 필요한 라운드 수는 아예 계산에 들어가지 않았다.^[1]

16세기 중엽 니콜로 타르타글리아는 파키올리의 방법이 단 한 라운드만 치렀을 때 경기가 중단되면 직관에 반하는 결과로 이어진다는 것을 알아차렸다. 그런 경우 긴 경기 초반 1라운드 리드는 결정적인 것과는 거리가 멀지만, 파키올리의 룰은 그 단판 승자에게 솥 전체를 수여할 것이다. 타르타글리아는 리드의 크기와 경기 길이의 비율을 기준으로 하여 그 특별한 문제를 피하는 방법을 만들었다.^[1] 그러나 이 해결책은 여전히 문제가 없는 것은 아니다. 비록 전자가 상대적으로 공개적인 경기인 반면 후자의 경우 선두 주자의 승리가 거의 확실하지만, 100으로 경기할 때는 65-55로 앞선 것과 같은 방식으로 판돈을 나눈다. 타르타글리아 자신은 이 문제가 "어떤 식으로든 소송의 원인이 있을 것"^[2]이라는 공정성을 두 선수 모두에게 납득시킬 수 있는 방법으로 해결 가능한 것인지 확신하지 못했다.

파스칼과 페르마

문제는 1654년 즈음에 체발리에 드 메레가 블레즈 파스칼에게 제기하면서 다시 불거졌다. 파스칼은 피에르 드 페르마와의 계속되는 교신에서 그 문제를 토의했다. 이 토론을 통해 파스칼과 페르마트는 이 문제에 대해 설득력 있고, 자기 일관적인 해결책을 제공할 뿐만 아니라, 여전히 확률 이론에 기초하고 있는 개념을 개발하였다.

파스칼과 페르마의 출발 통찰은 경기가 중단되지 않았다면 경기가 계속되었을 수 있는 가능한 방식과 실제로 일어난 중단 경기의 일부의 역사에 너무 많이 의존해서는 안 된다는 것이었다. 7-5 대 10으로 앞선 선수는 결국 17 대 15로 20으로 앞선 선수와 같은 승산이 있다는 것은 직감적으로 분명하며, 따라서 파스칼과 페르마트는 두 상황 중 어느 한 상황에서든 방해를 받는 것이 동일한 지분 분할로 이어져야 한다고 생각했다. 다시 말해 중요한 것은 지금까지 각 선수가 이긴 라운드가 아니라, 전체적인 승리를 이루기 위해서는 각 선수가 여전히 우승해야 하는 라운드의 수라는 것이다.

Fermat은 이제 다음과 같이 추론했다:^[3] 한 선수가 이기려면 더 많은 라운드가 필요하고 다른 선수가 s를 필요로 한다면, $경기$는 r${\displaystyle }$+ ${\displaystyle s}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r+s-1}$의 추가 라운드 후에 누군가에 의해 반드시 승리했을 것이다. 따라서 플레이어가 $r{\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{s}}$- 1 ${\displaystyle r+s-1}$ 라운드를$$ 더 진행해야 한다고 상상해 보십시오. 총 ${\displaystyle {2r}^{}}$+ s -${\displaystyle 1^{}}$ ${\$의 가능한 결과가 서로$$ 다르기 때문이다. 이러한 가능성 있는 미래 중 일부에서 경기는 $실제로{\displaystyle }$ r${\displaystyle }$+ s${\displaystyle }$- ${\displaystyle 1}$ $(\displaystyle r+s-1}$ 라운드$$ 이하로 결정되었을 것이지만, 선수들이 목적 없이 경기를 계속하는 것을 상상하는 것은 나쁘지 않다. 똑같이 긴 미래만을 고려한다면 ${\displaystyle {2r}^{}}$+ ${\displaystyle s^{}}$- ${\displaystyle 1^{}}$ ${\$ 각각의 가능성이$$ 동등하다고 쉽게 납득할 수 있는 장점이 있다. 따라서 페르마트는 ${\displaystyle {2r}^{}}$+ ${\displaystyle {\mathrm{s}}^{}}$- 1 ${\$의 가능한 연속성 표를 모두 적고 그 중 몇 개가 각 선수의 우승으로 이어질 것인지를 세는 것만으로 각 선수가 승리할 확률을 계산할 수 있었다. 페르마트는 이제 그러한 확률에 비례하여 지분을 나누는 것이 분명히 공평하다고 생각했다.

오늘날의 기준으로 확실히 '정확히' 페르마의 솔루션은 파스칼에 의해 두 가지 방법으로 개선되었다. 첫째, 파스칼은 왜 결과적인 분열을 공정하게 보아야 하는지에 대해 보다 정교한 주장을 내놓았다. 둘째, $그$는 r +${\displaystyle s}$- ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle r+s-1}$이(가) 약 10 이상이면$$ 완전히 비실용적이 되는 페르마의 표식 방법보다 더 효율적으로 정확한 구분을 계산하는 방법을 보여주었다.

파스칼은 남은 경기 전체의 우승 확률만 따지지 않고 더 작은 스텝 원칙을 고안했다. 선수들이 방해를 받기 전에 한 판만 더 뛸 수 있었고, 그 한 판을 더 치른 후에 우리가 이미 판돈을 공평하게 나누는 방법을 결정했다고 가정하자(아마도 그 판은 선수들 중 한 명이 이기게 해주기 때문이다). 상상을 초월하는 추가 라운드는 공정한 지분이 다른 두 개의 미래 중 하나로 이어질 수 있지만 두 선수는 다음 라운드에서 승리할 가능성이 있기 때문에 향후 두 팀의 차이를 균등하게 나눠야 한다. 이런 식으로 라운드가 적은 게임에서 공정한 솔루션에 대한 지식을 활용하여 더 많은 라운드가 남은 게임에 대한 공정한 솔루션을 계산할 수 있다.^[4]

이 원칙이 페르마의 가능한 미래 테이블보다 공정하다고 스스로를 납득시키는 것이 더 쉬운데, 이것은 때때로 승리한 후에도 게임이 계속된다고 상상해야 하기 때문에 이중 가설이다. 여기서 파스칼의 분석은 확률에 대해 추론할 때 오즈 대신 기대치를 사용한 가장 초기 사례 중 하나이다. 얼마 지나지 않아, 이 생각은 크리스티아누 호이겐스의 확률에 대한 최초의 체계적인 논문의 기초가 될 것이다. 후에 현대적인 확률 개념은 파스칼과 후이겐스의 기대치 사용으로부터 성장했다.

파스칼의 단계별 룰을 직접 적용하는 것은 많은 라운드가 남아 있을 때 페르마의 방식보다 현저하게 빠르다. 그러나 파스칼은 그것을 좀 더 발전된 계산법을 개발하는 출발점으로 삼을 수 있었다. 오늘날 파스칼의 삼각형(유도에 의한 최초의 명시적 증명서 몇 개를 포함)과 관련된 신분의 교묘한 조작을 통해 파스칼은 마침내 플레이어가 승리하기 위해서는 needs r 포인트가 필요하고, b 선수가 승리하기 위해서는 s 포인트가 필요한 게임에서 a(왼쪽)와 b(오른쪽) i 선수 사이의 지분의 정확한 분할을 보여주었다.s (현대 표기법 사용):

${\displaystyle \sum _{k=0}^{s-1}{\binom {r+s-1}{k}}{\mbox{ : }}\sum _{k=s}^{r+s-1}{\binom {r+s-1}{k}}}$ where the ${\displaystyle {\binom {r+s-1}{k}}}$ term represents the combination operator.

판돈을 나누는 문제는 파스칼이 산술 삼각관계에 관한 논문에서 주요한 동기를 부여하는 예가 되었다.^{[4] [5]}

이 결과의 파스칼의 도출은 페르마의 표식 방식과는 무관했지만, 페르마트가 $제안$한 r${\displaystyle }$+ ${\displaystyle \mathrm{s}}$ -${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle$r+$s-1}$의 추가 라운드 결과에 대한 계산도 정확하게 기술하고 있음은 분명하다.

메모들

참조

• 안데르스 할드: 1750년 이전의 확률과 통계와 그 적용의 역사. Wiley 2003, ISBN 978-0-471-47129-5, 페이지 35, 54
• 키스 데블린: 미완성 게임: 파스칼, 페르마트, 그리고 세상을 현대적으로 만든 17세기의 편지. 기본 도서 2010, ISBN 978-0465018963

외부 링크

• Weisstein, Eric W. "Pascal's triangle". MathWorld.
• 수학적 확률의 초기 개발
• MathForum의 점 문제
• 확률과 통계에 관한 블로그의 포인트 문제에 대한 매우 접근하기 쉬운 설명.