투영 프레임

수학에서, 그리고 보다 구체적으로 투영 기하학에서 투영 프레임 또는 투영 기반은 투영 공간 내의 점들의 튜플이며, 이 공간에서는 균일한 좌표를 정의하는 데 사용될 수 있다.보다 정확히 말하면, 차원 n의 투영 공간에서 투영 프레임은 n + 2-tuple의 점으로, 하이퍼플레인이 n + 1을 포함하지 않는다.치수 n의 공간에 있는 심플렉스에는 최대 n + 1 정점이 있지만 ^[1]투영 프레임을 심플렉스라고 부르기도 한다.

이 글에서는 대부분의 결과가 분할 링 위의 투영 공간으로 일반화될 수 있지만, 필드 K 위에 투영된 공간만 고려된다.

P(V)를 차원 n의 투영 공간으로 하자. 여기서 V는 차원 n + 1의 K 벡터 공간이다. Let $p{\displaystyle }$: ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \setminus }${ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle \}}$→ ${\displaystyle P\mathbf{}}$(${\displaystyle V}$ ${\displaystyle )}$ ${\displaystyle p:$$V\setminus \{0\}\to \mathbf {P}(V)}$은 0이 아닌 벡터 v를 V(V)를 포함하는 벡터 선인 P(V)의 해당 지점에 매핑하는 표준 투영법이다$$.

Every frame of P(V) can be written as ${\displaystyle \left(p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n+1})\right),}$ for some vectors ${\displaystyle e_{0},\dots ,e_{n+1}}$ of V.The definition implies the existence of nonzero elements of K such that ${\displaystyle \lambda _{0}e_{0}+\cdots +\lambda _{n+1}e_{n+1}=0}$. Replacing ${\displaystyle e_{i}}$ by ${\displaystyle \lambda _{i}e_{i}}$ for ${\displaystyle i\leq n}$ and $e{\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle n_{}}$+ ${\displaystyle 1_{}}$ ${\$ -${\displaystyle {\lambda n}_{}}$+ ${\displaystyle {}_{}{}_{}}$ ${\displaystyle e_{}}$ + ${\displaystyle 1_{}}$ $displaystyle -\displayda _{n$+1}e_${n+$1}:{n+1$\},$ 프레임의 $다음$과 같은$$ 특성을 받는다.

n + P(V)의 점 2개가 V의 기초와 원소의 합에 의한 이미지인 경우에만 프레임을 형성한다.

더욱이, 두 번째 베이스의 원소가 K의 고정된 비제로 요소에 의한 첫 번째 원소의 산물인 경우에만, 두 베이스는 이와 같은 방식으로 동일한 프레임을 정의한다.

P(V)의 동음계는 V의 선형 내형성에 의해 유도되므로, 두 개의 프레임을 주어, 첫 번째 것을 두 번째 프레임에 매핑하는 동음이의어가 정확히 한 개 있다.특히 프레임의 포인트를 고정하는 동음이의어로는 아이덴티티 맵밖에 없다.이 결과는 합성 기하학(공리를 통해 투영 공간이 정의되는 곳)에서 훨씬 더 어렵다.그것은 때때로 투영 기하학의 첫 번째 근본적인 정리라고 불린다.^[2]

Every frame can be written as ${\displaystyle (p(e_{0}),\ldots ,p(e_{n}),p(e_{0}+\cdots +e_{n})),}$ where ${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_{n})}$ is basis of V.이 프레임 위에 있는 점 p(v)의 투사 좌표 또는 동종 좌표는 기준 벡터 v의 좌표$({\displaystyle {}_{}}$ ${\displaystyle {0\mathrm{}}_{}}$,${\displaystyle }$…${\displaystyle }$, ${\displaystyle e_{}}$ ${\displaystyle {}_{}}$)${\displaystyle (e_{0},\dots ,e_n})$이다.$}$ p(v) 지점과 프레임 원소를 나타내는 벡터를 변경하면$$ 좌표에 0이 아닌 고정 스칼라를 곱한다.

일반적으로 투영 공간 P_n(K) = P(Kⁿ⁺¹)를 고려한다.K의ⁿ⁺¹ 정론적 기준 p에 의한 이미지로 구성되는 정론적 프레임을 가지고 있다(비제로 엔트리가 1에 해당하는 원소만 일치한다), (1, 1, ..., 1)이를 근거로 p(v)의 균일한 좌표는 단순히 v의 입력(동수)일 뿐이다.

동일한 치수 n의 또 다른 투영 공간 P(V)와 그것의 프레임 F를 고려하면 P(Kⁿ⁺¹)의 표준 프레임에 정확히 하나의 동음이의 h 매핑 F가 있다.프레임 F에 있는 점 a의 투영 좌표는 P_n(K)의 표준 프레임에 있는 h(a)의 균일한 좌표다.

투영 선의 경우 프레임은 세 개의 구별되는 점으로 구성된다.P₁(K)를 무한도 ∞에 점을 더한 K와 동일시할 경우, 표준 프레임은 (∞, 0, 1)이다.임의의 프레임(a₀, a₁, a, a₂)이 주어진 경우, a ≠ a₀ are (r, 1) 지점의 투영 좌표, 여기서 r은 교차 비율(a, a; a₂₁, a, a₀)이다.a = a이면₀ 교차비는 무한대, 투영 좌표는 (1,0)이다.

참조

• Baer, Reinhold (2005) [First published 1952], Linear Algebra and Projective Geometry, Dover, ISBN 9780486445656
• 1977년 프랑스어 원본에서 M에 의해 번역되었다Berger, Marcel (2009), Geometry I, Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-11658-5.콜과 S.레비, 1987년 영문번역 4번역