프론의 방법

시간 영역 신호의 프라이니 분석

프레니 분석(Prony's method)은 1795년 가스파드 리치 데 프레니에 의해 개발되었다. 그러나 이 방법의 실용적 사용은 디지털 컴퓨터를 기다리고 있었다.^[1] 푸리에 변환과 유사하게 프론의 방법은 균일하게 샘플링된 신호에서 귀중한 정보를 추출하여 일련의 축축한 복합 지수나 축축한 사인파(synusoid)를 구축한다. 이를 통해 신호의 주파수, 진폭, 위상 및 댐핑 구성요소를 추정할 수 있다.

방법

$f$ $f(t)$ ( $f(t)$ ) $(t)$ 를 N $N$ 균일한 $N$ 간격으로 구성된 신호로 한다 $f(t)$ . 프라니의 방법은 함수에 적합하다.

{\f}(t)=\sum _{i=1}^{M}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi_{i}}}}}}}

관찰된 $f(t)$ ( $f(t)$ ) $(t$ 오일러의 공식을 활용한 일부 조작 후 다음과 같은 결과를 얻는다. 이것은 용어의 더 직접적인 계산을 가능하게 한다.

{\begin{ligned}{\hat {f}(t)&=\sum _{i=1}^{M}A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega_{i}t+\phi})\\&=\sum _{i=1}^{M}{\frac {1}{2}}A_{i}\왼쪽(e^{j\pi_{i^{}e^{\lambda _{i}^{+}t}+e^{-j\pi _{i}e^{lambda _{i}^{-}t}\right)\end{a}}}}}}}}}}}}

여기서:

$\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ $\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ ± = $\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ i $\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ ± $\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ i ${\$ \ \ $da _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega_{i}}}}$ 는 시스템의 $\lambda _{i}^{\pm }=\sigma _{i}\pm j\omega _{i}$ 고유값이다.
$\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ $\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ = - $\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ 0 $\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ i $\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ i ${\$ 은 $\sigma _{i}=-\omega _{0,i}\xi _{i}$ (는) 댐핑 구성 요소,
$\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ = $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ 0 $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ - $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ { $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ 2 {\ $displaystyle \omega _$ {i $}=\omega_{0,i}{\sqrt{1-\xi _{i}^{2$ }}는 $\omega _{i}=\omega _{0,i}{\sqrt {1-\xi _{i}^{2}}}$ 각도 주파수 성분이다.
$\phi _{i}$ $\phi _{i}$ $phi _{i}$ 은 $\phi _{i}$ (는) 위상 구성요소,
$A_{i}$ $A_{i}$ 는 $A_{i}$ 시리즈의 진폭 성분이며
$j$ 는 상상의 단위( $j^{2}=-1$ $j^{2}=-1$ = $j^{2}=-1$ - $j^{2}=-1$ $^{2}=-1$ $j^{2}=-1$ )이다 $j$ .

표현

Prony의 방법은 본질적으로 다음과 같은 과정을 $통해$ M $M$ 복합 $M$ 지수를 갖는 신호를 분해하는 것이다.

$N$ $샘플$ 의 $N$ $n$ ${\hat {f}}(t)$ 가 $n$ 다음과 같이 기록될 수 있도록 ${\hat {f}}(t)$ 정기적으로 샘플 ${\hat {f}}(t)$ ${\hat {f}}(t)$ ( t $){\hat{f}(t)$ 를 샘플링하십시오.

F_{n}={\hat{f}}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}\m}e^{\lambda _{t}n}\quad n=0,\dots ,N-1).

${\hat {f}}(t)$ f ${\hat {f}}(t)$ ( ${\hat {f}}(t)$ $){\hat{f}(t)$ 가 축축한 사인파(sincyoid)로 구성된다면, 다음과 같은 복잡한 지수 쌍이 있을 것이다.

{\begin{aigned}\mathrm {B} _{a}&={\frac {1}{2}}:A_{i}e^{\phi _{i}j}\\\mathrm {B} _{b}&={\frac {1}{2}}A_{i}e^{i}e^{-\pi _{i}j}\\\lambda _{a}j\i}=\lambda _{i}j\omega_{i}}\lambda _{b}=\i}j\omega _{i},\ed}}}

어디에

{\begin{aigned}\mathrm {B} _{a}e^{\lambda _{a}t}+\mathrm {B} _{b}e^{\lambda _{b}t}&={\frac {1}{1}{1}2}}:A_{i}e^{\pi _{i}j}e^{(\sigma _{i}+j\omega _{i}t}+{\frac {1}{1}:{2}}:A_{i}e^{-\phi _{i}j}e^{(\sigma _{i}-j\omega _{i}t}\&=A_{i}e^{\sigma _{i}t}\cos(\omega _{i}t+\phi _{i}).\end{aigned}}

복합 지수 합계는 선형 차이 방정식에 대한 동질적 해법이기 때문에 다음과 같은 차이 방정식이 존재할 것이다.

{\f}(\Delta _{t}n)=\sum _{m=1}^{M}{{f}[\Delta _{t}(n-m)]]P_{m},\quad n=M,\dots, N-1.

Prony의 방법의 핵심은 차이 방정식의 계수가 다음과 같은 다항식과 관련이 있다는 것이다.

z^{M}-P_{1}{1}z^{M-1-\dots -P_{M}=\prod _{m=1}^{M}\left(z-e^{\lambda _{m}}\right)

이러한 사실들은 프론의 방법론까지 다음과 같은 세 단계를 이끈다.

1) $P_{m}$ $P_{m}$ $P_{m}$ 값에 $P_{m}$ 대한 행렬 방정식 구성 및 해결:

{\bmatrix}F_{M}\\\vdots \\F_{N-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}F_{M-1}&\dots &F_{0}\\\vdots &\ddots &\vdots \\F_{N-2}&\dots &F_{N-M-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}P_{1}\\\vdots \\P_{M}\end{bmatrix}}.

$만약$ N $N\neq 2M$ $N\neq 2M$ $N\neq 2M$ $\neq$ $2M$ $N\neq 2M$ $P_{m}$ 을 찾기 $P_{m}$ 일반화 행렬 역행렬이 필요할 수 있다는 점에 유의하십시오 $P_{m}$

2) P $P_{m}$ $P_{m}$ 값을 $P_{m}$ 찾은 후 다항식의 루트(필요한 경우 숫자로)를 찾는다.

z^{M}-P_{1}z^{M-1}-\dots -P_{M}

이 다항식의 m $m$ $-th$ 루트는 e $e^{\lambda _{m}}$ $e^{\lambda _{m}}$ $^{\lambda _{m}$ 와 같을 것이다 $e^{\lambda _{m}}$

3) $e^{\lambda _{m}}$ $e^{\lambda _{m}}$ $^{\lambda _{m}$ 값을 $e^{\lambda _{m}}$ 사용하여 $F_{n}$ n $F_{n}$ 값은 $F_{n}$ B $\mathrm {B} _{m}$ $mathrm {B} _{m}$ 값에 $\mathrm {B} _{m}$ 대해 해결할 수 있는 선형 방정식 시스템의 일부임.

{\reason{bmatrix}F_{k_{1}}\\\vdots \\F_{k_{M}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(e^{\lambda _{1}})^{k_{1}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{1}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\(e^{\lambda _{1}})^{k_{M}}&\dots &(e^{\lambda _{M}})^{k_{M}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathrm {B} _{1}\\\vdots \\\mathrm {B} _{M}\end{bmatrix}},

$M$ 서 M $M$ 고유 $M$ 값 k $k_{i}$ $k_{i}$ 가 사용된다 $k_{i}$ . $일반화$ 행렬은 $M$ M M 샘플 이상을 사용할 경우 역행렬을 사용할 수 있다.

Note that solving for $\lambda _{m}$ will yield ambiguities, since only $e^{\lambda _{m}}$ was solved for, and $e^{\lambda _{m}}=e^{\lambda _{m}\,+\,q2\pi j}$ for an integer $q$ . This leads to the same Nyquist sampling criteria that discrete Fourier transforms are subject to:

\left \operatorname {Im}(\lambda _{m}\오른쪽 =\left \omega _{m}\right <{\frac {\pi }{\Delta _{t}}}).

참고 항목

일반화된 기능연필법
자기 회귀분석을 이용한 프라이니 분해법
시간주파수 분석에서 프론 분해의 적용

메모들

^ Hauer, J.F.; Demeure, C.J.; Scharf, L.L. (1990). "Initial results in Prony analysis of power system response signals". IEEE Transactions on Power Systems. 5: 80–89. doi:10.1109/59.49090. hdl:10217/753.

참조

Carriere, R.; Moses, R.L. (1992). "High resolution radar target modeling using a modified Prony estimator". IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 40: 13–18. doi:10.1109/8.123348.
Slyusar, V.I. (1998). "Interpretation of the Proni method for solving long-range problems" (PDF). Radioelectronics and Communications Systems. 41 (1): 35–39.

[1] Hauer, J.F.; Demeure, C.J.; Scharf, L.L. (1990). "Initial results in Prony analysis of power system response signals". IEEE Transactions on Power Systems. 5: 80–89. doi:10.1109/59.49090. hdl:10217/753.

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